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测心理年龄数学史上三个著名数学悖论与三次数学危机

作者:高考题库网
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2020-11-26 13:23
tags:数学史, 调查/报告, 表格/模板

幻影之灵-

2020年11月26日发(作者:盛祖嘉)
数学史上三个著名数学悖论与三次数学危机
关键词: 数学悖论,数学危机
希帕索斯悖论与第一次数学危机

希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关 。因此,我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最
著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏 几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中
有着极其广泛的应用,同时也是人类最早认识到 的平面几何定理之一。在我国,最早的一部天文数学著作
《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认 识。不过,在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。
一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第 一种证明。只能说中国是最早发现这一问题的,但没有最
早给出证明。也是一个遗憾啊。在国外,最早给 出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般
称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉 斯在完成这一定理证明后欣喜若狂,而杀牛百只以示庆贺。
因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称 号:“百牛定理”。

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立 了一个合政治、学术、宗教三位一体
的神秘主义派别:毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“ 万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一
切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而 ,具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达
哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕 达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员希
帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是 多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不
能用分数表示,而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现 导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小
√2的出现,却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。 它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,使毕达哥
拉斯学派为之大为恐慌。实际上,这一伟大发现不但 是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希
腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论 性表现在它与常识的冲突上:任何量,在任何精确度
的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是 人们普遍接受的信仰,就是在今天,测量技术已经高
度发展时,这个断言也毫无例外是正确的!可是为我 们的经验所确信的,完全符合常识的论断居然被小小
的√2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识,多 么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这 就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西
方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机 ”。

二百年后,大约在公元前370年,才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论 。他本人的著作已失传,
他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法 可以避开无理数这一“逻辑
上的丑闻”,并保留住与之相关的一些结论,从而解决了由无理数出现而引起 的数学危机。但欧多克索斯的
解决方式,是借助几何方法,通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬 地把数和量肢解开来。在这种
解决方案下,对无理数的使用只有在几何中是允许的,合法的,在代数中就 是非法的,不合逻辑的。或者
说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号,而不被当作真正的数。一直 到18世纪,当数学家证明了基
本常数如圆周率是无理数时,拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪 下半叶,现在意义上的实数理论
建立起来后,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学园地中才真正扎下了 根。无理数在数学中合法地位的
确立,一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数,另一方面也真正彻 底、圆满地解决了第一次数学危

贝克莱悖论与第二次数学危机

与第二次危机有关的一个比较有意思的悖论是芝诺悖论——阿基里斯追乌龟
公元前5世纪,芝 诺用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论:他提出让阿基里斯与
乌龟之间举行一场 赛跑,并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。
比赛开始,当 阿基里斯跑了1000米时,乌龟仍前于他100米;当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟依
然前于 他10米……所以,乌龟总会在他前面一些,阿基里斯永远追不上乌龟。

第二次数学危机 导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高,十七世纪几乎在同一
时期,微积分这 一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世,就显示出它的
非凡威力。许许 多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿,还是莱布尼兹所创立的微
积分理论都是不 严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对作为基本概念的无穷小量的理解
与运用却是混乱 的。因而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主
教贝克莱。

1734年,贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家;或一篇 致一位不信神数学家
的论文,其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的 要点有更清晰的表达,
或更明显的推理》。在这本书中,贝克莱对牛顿的理论进行了击。例如他指责牛顿 ,为计算比如说 x^2
的导数,先将 x 取一个不为0的增量 Δx ,由 (x + Δx)^2 - x^2 ,得到 2xΔx + (Δx^2) ,后再被 Δx
除,得到 2x + Δx ,最后突然令 Δx = 0 ,求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的< br>结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零,一会儿又说不是零。因此,贝克莱嘲笑无穷小量是“ 已
死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的,但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷,是切中要 害的。

数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说,贝克莱悖论可以表述为 “无穷小量究竟是否为0”
的问题:就无穷小量在当时实际应用而言,它必须既是0,又不是0。但从形 式逻辑而言,这无疑是一个矛
盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱,由此导致了第二次 数学危机的产生。

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