雾霾排名关于中国数学历史的全部问题

2020年11月26日发(作者：时朋)
关于中国数学历史的全部问题
数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展 的特点，可以分为五个时期：
萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。


中国古代数学的萌芽



原始公社末期，私有制和货物交换 产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文
化时期出土的陶器，上面已刻有表示
123 4
的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取
代结绳记事了。



西安半坡出土的陶器有用
1
～
8
个圆点组成的等边 三角形和分正方形为
100
个小正方形
的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。 为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、
矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记
·
夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。



商代中期，在 甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此
同时，殷人用十个天干和十二个 地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等
60
个名称来记
60
天的
日期； 在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示
64
种事物。< br>


公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、 远的方法，并举出勾
股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记
·
内则 》篇提到西周贵族子弟从九
岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练， 作为
“
六艺
”
之一的数已经开始成为专门的课程。



春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对
世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上
亦有 相应的提高。



战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是 对于正名和一些命题的争论直接与数
学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同， 他们提出
“
矩不方，规
不可以为圆
”
，把
“
大一< br>”
(
无穷大
)
定义为
“
至大无外
”
，
“
小一
”
(
无穷小
)
定义为
“
至小无内
”
。还
提出了
“
一尺之棰，日取其半，万世不竭
”
等命题。



而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面 和不同深度反映物。墨家给出一些数学定
义。例如圆、方、平、直、次
(
相切
)
、端
(
点
)
等等。



墨家不同意
“
一尺之棰
”
的命题，提出一个
“
非半
”
的命题来进行反驳：将一线段按一半一
半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的< br>“
非半
”
，这个
“
非半
”
就是点。



名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这 种无限分割
的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对中国古代数学理论的发展是很< br>有意义的。




中国古代数学体系的形成



秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体 系正是形成
于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数< br>学著作的出现。



《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创 立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就
来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术< br>(
西方称三率法
)
、开平方与开立方
(
包括二次方程数值解法
)
、盈不足术
(
西方称双设法
)
、各种面积和体积公式、线 性方程组解
法、正负数运算的加减法则、勾股形解法
(
特别是勾股定理和求勾股数的方 法
)
等，水平都是
很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥 领先的。就其特点来说，
它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。



《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算

记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。


这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当
时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年
的《 九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨
论，偏重于与当时 生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是
完全一致的。



《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教 科书。它的
一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传< br>到欧洲，促进了世界数学的发展。


中国古代数学的发展



魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻
辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末
魏初 徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在
这个时期。赵爽与 刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。



赵爽是中国古 代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算
经》书中补充的
“勾股圆方图及注
”
和
“
日高图及注
”
是十分重要的数学 文献。在
“
勾股圆方图
及注
”
中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股 形的五个公式；在
“
日高图及注
”
中，他用图形
面积证明汉代普遍应 用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占
有重要地位。



刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词
特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行
“
析理
”< br>，才能使数学著作
简明严密，利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式 和定理进行
一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想< br>证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为
157/50
和
3927/1250
。



刘徽用无穷分割的方法证明了直 角方锥与直角四面体的体积比恒为
2:1
，解决了一般立
体体积的关键问题。在证明方 锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提
出了正确途径。



东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移
以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统数
学大 大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在
3.1415926
～
3 .1415927
之间；提出祖
(
日恒
)
原理；提出二次与三次方程 的解法等。



据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接 正
6144
边形和正
12288
边形的面积，
从而得到了这个结果。 他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率
22/7
和密率
355/113
。
祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；



祖冲之之子祖
(
日恒
)
总结了刘徽的有关工作，提 出
“
幂势既同则积不容异
”
，即等高的两
立体，若其任意高处的水平 截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖
(
日恒
)
公理。
祖
(
日恒
)
应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。



隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉 古算经》，
主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时< br>期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会
的需要 ，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字
三次方程解决的。< br>


唐初封建统治者继承隋制，
656
年在国子监设 立算学馆，设有算学博士和助教，学生
30
人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为 算学馆学生用的课本，明算科考试亦以
这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著 作、为数学研究提供文献
资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》 所作的注解，
对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富
了中国古代数学的内容。



算筹是中国古代的主要计算工 具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用
面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错 误等缺点，因此很早就开始进行改革。其中
太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上 是重要的改革。尤其是
“
珠算
”
，
它继承了筹算五升十进与位值制的 优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性
十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个 横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，
因此仍没有普遍应用。



唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献
留下来的 算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除
法可以在一个横列中进 行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。




中国古代数学的繁荣


960
年，北宋王朝的建立结束了 五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前
繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术 三大发明就是在这种经济高涨的情况下得
到广泛应用。
1084
年秘书省第一次印刷出 版了《算经十书》，
1213
年鲍擀之又进行翻刻。这
些都为数学发展创造了良好的条 件。



从
11
～
14
世纪约< br>300
年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪的《黄帝九
章算法细草》， 刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古
演段》，杨辉的《详解九章 算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元
玉鉴》等，很多领域都达到古代数学 的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。



从开平方、开 立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。
杨辉在《九章算法纂类》中载 有贾宪
“
增乘开平方法
”
、
“
增乘开立方法
”；在《详解九章算法》
中载有贾宪的
“
开方作法本源
”
图、“
增乘方法求廉草
”
和用增乘开方法开四次方的例子。根据
这些记录可以 确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学
发生重大的影响，其中贾宪 三角比西方的帕斯卡三角形早提出
600
多年。



把增乘开方法推广到数字高次方程
(
包括系数为负的情形
)
解法的是刘益。 《杨辉算法》
中
“
田亩比类乘除捷法
”
卷，介绍了原书中
2 2
个二次方程和
1
个四次方程，后者是用增乘开
方法解三次以上的高次方程的最早例子。



秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了
21
个用增乘开方法解
高次方程
(
最高次数为
10)
的问题。为了适应增 乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为
负数，把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数 时，秦九韶采取继续求根的小数，
或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非 整数部分，这是《九
章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一 次项系
数除常数项为根的第二位数的试除法，这比西方最早的霍纳方法早
500
多年。



元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的 内插值问题。秦九韶在
“
缀术推星
”
题、朱世杰在《四元玉鉴》
“< br>如象招数
”
题都提到内插法
(
他们称为招差术
)
，朱 世
杰得到一个四次函数的内插公式。



用天元
(
相当于
x)
作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术，这是中国数学史
上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶
的《测圆海 镜》。



从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是 宋元数学家的又一项杰出的创
造。留传至今，并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》 。