国家检验检疫总局面向21世纪的我国数学科学前沿研究重点与方向

2020年11月26日发(作者：詹同)
院士论坛
　
面向
21
世纪的我国数学科学
前沿研究重点与方 向
Ξ
数学学科发展战略研究组
(
中国科学院数学物理学部
,
　北京
100864
)
摘　要
:
本文结合我国实际情况
,< br>将当今数学适当的归并与凝炼成四个大的方面的内容
,
通过剖析
当今国际研究热 点
,
提出了
21
世纪我国数学研究的重点方向与领域。
关键词
:
数学　前沿　
21
世纪
　　数学科学是研究数、量的关系和空间形式的一 个庞大
科学体系
,
它包含纯粹数学、应用数学以及这二者与其它学
科的交叉部 分。它是一门集严密性、逻辑性、精确性和创造
力与想象力于一体的学问
,
也是自然科 学、技术科学、社会科
学、管理科学等的巨大智力资源。
数学为其它科学提供语言、观念和工具
,
它与计算机技
术的紧密结合产生了可直接应用的数学技术
,
成为许 多高、
新技术的核心。按照马克思的看法
,
一门科学只有当它成功
地应用了数 学的时候
,
才算是成熟的科学。
数学也是一种文化
,
在人类理性的认 识世界的过程中起
着重要的作用。从古时候起
,
数学就被当作了人类文明的一
个智力顶峰。
数学的传播与发展对提高国民素质、提高人们的分析与
决策能力、推理与创造能力 至关重要。数学研究本身则造就
出一批富于创新精神的科学研究人才。
推动数学发展的动力既来 自于内部
,
即解决自身的问
题
,
也来自于外部研究现实世界提出的模 式。当今
,
数学科
学包含了许多分支与丰富的内容
,
其发展的主要趋 势为
:
数
学各分支的融汇
;
与其它科学更加深入的交叉
;< br>以及更加自
觉地扩大数学的应用范围
,
使它的触角伸向几乎一切领域。
本文结合我国实际情况
,
将其适当的归并与凝炼成四个大的
方面的内容
,通过剖析当今国际研究热点
,
提出我国数学研
究的重点方向与领域
,以逐步形成我国自己的研究风格和理
论体系。
大部分。核心数学是纯粹数学的核心
,
也是应用数学乃至整
个数学科学的基础。它的发展常常受到其它分支和其它科
学的影 响和推动
,
但其发展的主要推动力来源于自身提出的
问题。核心数学的重大进展和成果 的实际应用都是难以预
料的
,
而且一旦出现常常会产生不可估量的影响。因此对于核心数学各个分支的发展要统筹兼顾。放眼世界数学的发
展
,
我国该主题的重要科 学问题和研究方向为
:
1.1
　数论与代数几何
数论是数学中一个有着悠久历 史的分支。解析数论是
利用分析方法来进行数论研究的分支
,
我国在这方面的一些工作是国际领先的。现代解析数论的核心问题有
:Riemann
猜想、
Gold bach
猜想和
Waring
问题等。这些问题的解决迫切
需要解析理论的进 一步发展和数学各种方法的交叉渗透与
综合统一。
Riemann
猜想是由
R iemann
在
1859
提出来的
,
他认为
ζ
-< br>函数的所有复零点的实部都等于
1/2
。这个猜想有重要的数
论意义
,
它和它的一些推广与数学的许多其它领域有关
,
这
个猜想可以算是数学中最大 的未解决的问题之一。
代数数论是研究代数整数的算术性质的理论。代数数
论在物理科学、材料 科学和信息科学中有着重要的应用。随
着
Mordell
猜想和
Fermat
大定理的解决
,
由代数数论、代数几
何、微分几何和代数
K
2理论相结合产生的新兴数学分支———
算术代数几何已发展成为核心数学的一个前沿课题。
与 算术代数几何一样
,
代数几何研究的也是多项式组的
公共零点集
,
前 者关心的是零点集的算术性质
,
而后者关心
的是几何特性。它的核心问题是这些集合整 体的分类问题
　　
1.
核心数学
纯粹数学主要包括代数与数论、几何与拓扑以 及分析三
Ξ
从
1997
年春天以来
,
科技部组织实施“国家 重点基础研究发展规划”
,
国内数学界围绕数学的学科发展战略先后进行了几次讨论
,
有十多位院士与一百余
位专家参加。本文根据中科院数学物理学部数学学科发展战略研究组撰写 的“数学学科发展战略”编写而成。
22
卷
6
期
　　
1　
　
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着深刻的联系。
数学中另一个最大的未解决的问题是本世纪 初
Poincare
提出的一个猜测
,
他猜想每一个单连通的闭三维流形都同 胚
与三维球。围绕着这个猜想的研究
,
拓扑学和一些相关领域
得到了很大的发 展
,
这也是数学的中心问题之一。
1.5
　现代分析
以及局部的奇点 问题。在现代物理和控制论中都用到了代
数几何
,
它与数论、微分几何和拓扑学的联系 尤为密切。
1.2
　群与代数及其表示理论
代数学是数学方法和思想的重要源泉。它的 方法和结
果有广泛的适用性
,
在信息科学和物理学上已经得到了直接
有效的应 用。代数学研究的是一些重要代数对象的结构和
表示理论
,
主要有
Lie群及其表示理论、有限群及模表示论、
代数群表示论和量子群、
Kac-Moody
代数和物理对称性、代
数
K
2理论、现代模论、微分算子代数、非半单代数的表示理
论、群上的调和分析、多元自守形式和多元超几何函数、
Hopf
代数和代数组合论等 目前国际上代数研究的前沿课题。
表示理论是代数学中具有基础性的课题
,
为当前国际 上
数学研究的前沿热点。著名的
Langlands
纲领的核心是关于
非交换 的
Galois
问题
,
模函数空间上的表示论在其中起了举
足轻重的 作用。
1.3
　整体微分几何
现代分析指的是实分析、复分析与测度论研究
,
其中有
不少分支是我国有特色的研究方向
,
例如典型域的几何与分
析 等。现代分析在纯粹数学、应用数学和计算数学中都起着
基础的作用
,
它的理论、方法 和技巧被广泛地应用到各个数
学分支之中。著名的
Riemann
猜想就是一个典型的 复分析研
究课题
,
研究它和许多数论问题
,
复分析的方法和技巧扮演
了重要角色。
Nevanlinna
理论与
Diophantine
几何中许多惊人
的相似之处成了新的研究热点。八十年代以来
,
复动力系统
一 直是十分活跃的研究领域
,Teithm
ü
ller
空间引起了分析与
几何学者的共同兴趣
,
多重富里埃级数的收敛性问题至今未
获解决
,
几何测度论与调和分析成功地运用于偏微分方程的
研究等等。可以断言
,
现代分析自 身重要问题的研究
,
以及
它在许多数学领域的广泛应用
,
依然使得它 在下世纪数学发
展中占据重要的一席。
1.6
　随机分析和无穷维分析
整体微 分几何是近几十年来数学中一个十分活跃的分
支。它与拓扑、代数和理论物理密切结合
,
相互影响、相互渗
透。
整体微分几何研究的是
Riemann
流形的局部不 变量与整
体不变量的关系
,
包括指标定理、调和映照、子流形整体理论
和一些 特殊的浸入
(
如极小浸入、预定曲率浸入、等距浸入
等
)
。近年来< br>,
人们对一些有着深刻物理学背景的几何问题
研究的兴趣越来越大
,
特 别是反映时空结构、引力理论的
E
2
instein
度量和基本粒子理论中的
Yang-Mills
连络的研究和
随机分析起源于对
Brown
运 动的
Ito
积分
,
现代随机分析
以
Markov
过 程、现代鞅论、随机积分和随机微分方程等为核
心。研究有限维或无穷维空间中随机性或确定性的问题。
这是一个极富有生命力的分支
,
在数学的一些其它分支、物
理科学、生命科学 、环境科学以及国民经济中的一些问题中
有着广泛的应用。
无穷维随机分析和随机微分几何是近 年来概率、分析和
几何等不同学科相互交叉渗透而产生的新兴研究方向
,
是随
机分析的一个热点。随机介质问题是一有很强物理背景的
研究方向
,
也是随机分析的前 沿课题。
从数学上理解量子场论中的
Feynman
路径积分也是本
世纪遗留 下来的最大的未解决的问题之一。毫无疑问
,
发展
并完善无穷维分析的理论是
21
世纪数学最重要的任务之
一。用随机分析研究路径空间、
loop
空间的 分析与几何是一
个引人注目的问题
,
路径空间、
loop
空间的分析 与几何的研
究也是无穷维分析的基本问题。除此之外
,
算子代数和非交
换几何 、无限维
Lie
群和
Lie
代数及其表示也是通往这个目
标的重要途 径。
流形上一些其它几何结构
(
如近复结构、辛结构等
)
的研究取< br>得了很大的进展
,
成为一个研究热点。在这些发展中
,
非线
性 偏微分方程的理论起了关键作用。
在复流形上
,
复微分几何、全纯向量丛以及复流形的 模
空间和形变理论也一直是很活跃的研究方向。此外
,
谱几
何、
Lo rentz
几何、以及一些与物理相关的几何方法和问题的
研究
,
也一直受到 相当的关注。
1.4
　流形和复形的拓扑学
拓扑学的主要研究对象是流形和复形
,
这两个概念反映
了自然界中物质存在最基本的空间形式。它关心的问题是
刻划流形 和复形的拓扑结构
,
包括研究它们的各种不变量。
拓扑学的研究成果常常与数学其它分 支中的精确定量结果
发生联系。拓扑学与数学的许多其它分支相互交叉
,
已经成
为微分几何、非线性分析、理论物理乃至经济学中一般均衡
理论研究的重要工具
,
如 今代数学和非交换几何的研究中也
大量采用着有拓扑学背景的概念和方法。
近二十年来
,
作为了解现实空间的低维拓扑学研究发生
了惊人的变化。它从数学的一些其它分支和理论物理 中找
到了新的动力
,
发展起几何、规范场、拓扑量子场论等一系列
新的方法< br>,
并成功地用来解决流形的拓扑学问题。数学统一
的趋势在这里得到了充分地体现
,
成为数学中一个显著的生
长点。这里的一些新的发展还与弦物理学和
DNA
的结构有
　　
2.
非线性问题的数学理论和方法
主要研究非线性现象的稳态 结构
;
非稳态的产生、发展
过程和整体性态
;
各种由有序到无序,
由决定性到随机性
,
由
经典到量子
,
由离散到连续以 及由连续到间断的数学规律
;
各种场和各种相互作用的数学问题。上述问题与纯粹数学
各分支相互交叉形成许多生长点。它们的研究直接为各门
自然科学探索非线性现象的定性及定量规律提供 精确的语
世界科技研究与发展　
　
2
　
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言、有效的方法和进一步发展的理论基础。
重要科学问题和研究方向有
:
2.1
　非线性偏微分方程
数学发展趋势产生了很大影响。
利用椭圆型和抛物型方程整体理论与变分 方法的几何
学研究来了解流形的拓扑结构
,
研究弧长、面积等诸多几何
作用量 的临界点满足的
Euler-Largrange
方程
,
是近二十年来
这一领域的研究热点。可以预见
,
双曲型方程整体理论的突
破亦将导致
Lo rentz
流形几何学研究的重大进展。预定曲率、
调和映射、
Yamabe
方程、
Yang- Mills
方程、
Hamilton
系统、
Mon
2
ge- Ampere
方程和描述几何流的平均曲率流与
Ricci
流等方
偏微分方程 是研究客观世界数量间相互制约的有力工
具。它的发展以核心数学中各分支的理论为基础
,反过来
,
它的任何重大理论进展都丰富了核心数学的内容。自
Hilbert关于边值问题和变分理论的著名问题提出后的近百
年来
,
偏微分方程的理论已取得 了重大进展
,
远远超出了他
当时所想象的范围
,
大大加深了人们对偏 微分方程理论本身
和相关领域的认识。以下方向应予进一步关注和研究。
2.1.1
　 边值问题
程以及与非线性问题相关联的各种几何结构等仍将是今后
若干年中人们十分关注的研究 对象。其关键问题的解决必
将促成几何分析与变分理论本身的发展及相关领域中的重
大突破。< br>2.3
　动力系统
双曲、椭圆和抛物三类古典方程本世纪已建立了完整的
理论< br>,
但关于混合型方程和一般方程组的理论所知仍甚少。
对有实际背景和重要理论价值的新 方程和方程组
,
如来源于
相变问题和描述液晶、超导等材料机理的多相复杂流体动力< br>学为背景的偏微分方程的定解问题
,
应予充分注意。
2.1.2
　解的 奇性的研究
自
Poincare
的开拓性工作后的近百年来
,
常微分 方程的
定性理论已发展成为内涵丰富、思想深刻的现代动力系统理
论。展望未来
,如下方向应予充分重视
:
2.3.1
　有限维动力系统
许多非线性偏微分 方程的解会产生奇性。这种奇性揭
示了所研究对象的重要性质。近年来一维激波理论已有了
很大 的进展
,
但更具实际意义的一维非等熵激波和高维激波
的理论
,
以及 相关的守恒律方程组的研究是长期以来悬而未
决的重要问题。描述引力波
Einstein方程和非线性波动方
程
,
包括波映射方程
,
近年来已取得了重大 突破。但有关描
述“黑洞”等间断现象的奇性的形成、发展和整体状态的研究
是急待解决的重要 问题。
2.1.3
　
Navier-Stokes
方程的有关问题
有 限维动力系统的主要研究内容之一是
Hamilton
系统
与辛结构。
KAM
定理、
Hamilton
系统的大范围变分方法和辛
同胚不动点的研究是本世 纪这—领域的重要进展。保体积
映射、共振条件下和无限维的
KAM
理论
,M ather
最小集
,
Hamilton
系统的变分方法
,Morse
理论和
Maslov
型指标理论
,
及多体问题等仍将是未来很有生命 力的方向。在
Arnold
猜
测刺激下
,
辛几何已成为—个十分活跃 的研究领域。多项式
常微系统的定性理论是我国传统的有特色的研究方向。近
年来
,< br>人们把
Hilbert
“第
16
问题”归结为分岔问题的研究
,
其
中二次系统被化成
121
个平面分岔问题
,
这是一个值 得注意
的动向。对常微分方程定性理论中其它重大理论问题的新
进展
,
也应给 予足够重视。
2.3.2
　微分动力系统和拓扑动力系统
自本世纪
30
年代
Leray
的开创性工作以来
,
理论研究的
进展不大。近年来
,
大型计算机的出现为揭示湍流的“奥
秘”
,
提供了必要的物质基础 。可以预见
,
结合数值计算
,
对
Navier-Stokes
方程
(
特别是三维
)
及
Euler
方程的理论分析
,
如整体解的存在性
,
弱解的正则性和解的先验估计的研究
等。必将大大加 深人们对湍流本质的认识并推进无穷维动
力系统理论的发展。
2.2
　变分理论与几何 分析
微分和拓扑动力系统是用分析和拓扑的方法研究系统
的结构稳定性。关于结构稳定性的双曲 理论已有较完整的
结果
,
但全局双曲
Anosov
系统的若干基本问 题仍亟待解决。
近几十年来
,
物理学与气象学等领域出现的某些数学模型显
示 出复杂的动力学行为
,
非双曲不变集的研究已成为一个更
具现实意义又十分困难的课题 。
Lorentz
吸引子和
Henon
吸
引子是近年来取得突破的两 类非双曲不变集
,
有关的研究正
在不断地深入。可以预见
,
大范围分 岔理论将成为动力系统
的一个重要热点。从拓扑动力系统的角度对熵、混沌、分形、
奇异吸引子 等基本概念的研究以及符号动力系统和复动力
系统等
,
也是重要的课题。
2. 3.3
　无穷维动力系统
几何分析指的是为解决整体微分几何、微分拓扑中的分
析问题 而发展起来的分析理论和方法
,
而这里大多数分析问
题与几何变分有关。例如关于流形 上的
Einstein
度量和纤维
丛上的
Yang-Mills
连络 等问题
,
本质上就是一个非线性偏微
分方程的问题
,
或者是一个变分 泛函的临界点问题。利用变
分方法研究非线性微分方程大范围解的存在性及其它各种
性质构成了 现代变分理论的主要内容。近二十余年来几何
分析与变分理论相结合
,
综合应用各种数 学方法
,
特别是非
线性微分方程的理论
,
来探索解决整体微分几何、 微分拓扑、
代数几何与理论物理诸学科中的重要问题已经成为一个新
的研究领域。它与这些学科 的相互影响、渗透
,
共同发展
,
产
生了许多新的方法和理论
,
例如热流方法、
Blowing-up
分析
方法和
Floer同调理论等。近年来这一领域的崛起已对世界
22
卷
6
期
　除耗散系统外
,
最近物理上又发现一大批具有孤立子的
非线性不可积系统在一定的 耗散作用下从孤立子状态演化
为混沌现象。无穷维动力系统存在时空混沌和在空间的某
一部分可 能产生奇性集等现象亦引起相当关注。近年来在
某些具有耗散效应非线性发展方程和耗散系统的整体吸引
　
3