太阳万岁数学运算之数的分解与拆分专题

2020年11月26日发(作者：匡鲁彬)
数学运算之数的分解与拆分专题
数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一，考察对数的基本 特
性的掌握，通常此类问题都比较灵活。一般来说此类问题整体难度不
大，不过像考试中常用的 代入法等在此将不再实用，故掌握方法就变
得特别重要。
1．分解因式型：就是把一个合数分 解成若干个质数相乘的形式。
运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数，还要灵活组合这些
质因数来达到解题的目的。
【例1】三个质数的倒数之和为a/231 ，则a=（ ）
A.68 B.83 C.95 D.131
【解析】将231分解质因数得231=3×7×11，则 1/3+1/7 +1/11
=131/231 ，故a=131。
【例2】 四个连续的自然数的积为3024，它们的和为（ ）
A．26 B.52 C.30 D.28 < br>【解析】分解质因数：3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9，所以四
个 连续的四个自然数的和为6+7+8+9=30。
【例3】20^n是2001*2000*1999 *1998*……*3*2*1的因数，自然数
n最大可能是多少？
A 499 B500 C 498 D501
【解析】20^n=5*2*2的N次方，显然2001*20 00*1999*1998*……
*3*2*1中，能分解出来的2个个数要远远大于5的个数，所以< br>2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中最多能分解多少个5也就是N
的 最大值，由此计算所求应为【2001÷5】+【2001÷25】+【2001÷
125】+【200 1÷625】=400+80+16+3=499。
注：【】取整数部分。

2．已知某几个数的和，求积的最大值型：
基本原理：a2+b2≧2ab，（a，b都大于0，当且仅当a=b时取得
等号）推 论：a+b=K （常数），且a，b都大于0，那么ab≦（（a+b）
/2）2，当且仅当a=b时取得等号。此结论 可以推广到多个数的和为
定值的情况。
【例1】3个自然数之和为14，它们的的乘积的最大值为（ ）
A.42 B.84 C.100 D.120
【解析】若使乘积最大，应把14拆分为5+5+4，则积的最大值
为5×5×4 =100。也就是说，当不能满足拆分的数相等的情况下，就
要求拆分的数之间的差异应该尽量的小，这 样它们的乘积才能最大，
这是做此类问题的指导思想。下面再举一列大家可以自己体会.
【例2】将17拆分成若干个自然数的和，这些自然数的乘积的
最大值为（ ）A.256 B.486 C.556 D.376
【解析】将17拆分为17=3+3+3+3+3+2时，其乘积最大，最大值为
×2=486。
3. 排列组合型: 运用排列组合知识解决数的分解问题。要求对排
列组合有较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的。
【例1】有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之
和？（ ）
A.4851 B.1000 C.256 D.10000
【解析】插板法：100可以想 象为100个1相加的形式，现在我们要
把这100个1分成3份，那么就相等于在这100个1内部形 成的99
个空中，任意插入两个板，这样就把它们分成了三个部分。而从99
个空任意选出两个 空的选法有：C992=99×98/2=4851（种）；故选A。
(注：此题没有考虑0已经 划入自然数范畴，如果选项中出现把0
考虑进去的选项，建议选择考虑0的那个选项。)
【例2】 学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，
有多少种不同的拼法？
A.1152 B.384 C.28 D.12
【解析】本题实际上是想把1152分解成两个数的积。
1152=1×1152=2×57 6=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×
96=16×72=18 ×64=24×48=32×36，故有12种不同的拼法。
解法二：（用排列组合知识求解） 由1152=27×32，那么现在我们要做的就是把这7个2和2个3分成
两部分，当分配好时， 那么长方形的长和宽也就固定了。
具体地： 1）当2个3在一起的时候，有8种分配方法（从后面有
0个2一直到7个2）； 2）当两个3不在一 起时，有4种分配方法，
分别是一个3后有0，1，2，3个2。故共有8+4=12种。