风水是不是迷信数学概念应是自然的、清楚的.doc

2020年11月26日发(作者：童心言)






















数学概念应是自然的、清楚的




——谈函数单调性的教学












董海涛
安徽省阜阳市第三中学（

236006 ）
概念是反映事物本质属性的思维形式，数学概念是数学的细胞，是数学理论的核心
和灵魂，因此，理解和掌握数学概念是提高数学教学质量和教学水平的关键



.
“函数单调性”是高中数学的核心概念，对刚进入高一学习的学生来说，是至关重

要的一节课：学生第一次接触如何严谨地表述数学概念 . 小学、初中阶段，对数学概念几乎都
是采用直观地定性描述， 如何客观地定量地表述函数单调性， 不仅是本节课的难点和重点，
还直接关系到学生对数学的认识 . 因此，如何设计问题，自然、清楚地得出函数单

调性的形式化定义，体现了教师的教学智慧 . 可惜的是，在实际教学中，我们还是发现对这
个核心概念，教学存在的普遍现象： “告诉教学”！不是吗？






1. 发表于“课例大家评”中的教学案例实录
近期某数学专业杂志发表了课例“函数单调性”

[1]
，下面实录概念形成环节：
“抽象概括，形成概念（为节省篇幅，创设情境，引入课题环节略）
教师：我们的任务就是要从以上事实中找到共同的规律，通过提炼总结和抽象概括

实现数学化，形成数学概念，基于此构建出系统的数学理论






.
先看一个大家熟悉的例子，

函数
y
一段是递减 .
学生：在区间

(x 2)
2
2
,

其函数值在哪一段是递增的，

在哪
,2
是递减的，在区间
2,

上是递增的 .











教师：我们以前研究过许多函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函

数等，都可以从这个角度来进行研究



.
教师：数学研究讲究的是精细、严谨、规范，像这样通过观察图形直观地进行判断，

就显得过于粗略而不符合数学的要求了



.
学生：递增的意思是指： “函数值随自变量的增大而增大”

，递减的意思是指： “函数

值随自变量的增大而增大”



.
教师：有很大的进步，但还不符合要求，必须用自变量和函数值大小变化的关系来

刻画“递增”和“递减”

.
















教师（给出填空题） ：设函数
y



f ( x)
的定义域为

A，有区间
I
A
，如果对于
I 内
任意两个值
x
1
, x
2

，设
x
1
x
2

，（横线内的内容为学生所填）

















（ 1）若都有
f ( x
1
)
f ( x
2
)
，那么就说
f ( x)
在区间
I 上是单调增函数， I
是函数
f ( x)
的单调增区间；






（ 2）若都有
f ( x
1
)
f ( x
2
)
，那么就说
f(x)
在区间
I 上是单调减函数，
I
是函数
f ( x)




的单调减区间 .

如果
y



f ( x)
在区间

I

上是单调增函数或单调减函数，

那么就称函数

y

f ( x)
在区
间 I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间







. ”（实录完）
2. 课例中反映出的“快节奏概念教学”令我们遗憾
在课例中，学生指出“递增”的意思是“函数值随着自变量的增大而增大”

，“递减”
的意思是“函数值随着自变量的增大而减少”





，这种定性描述是符合学生认知水平的，此
可惜的是， 执教者却生硬
，更可怕的是，
，也就是挖掉
时教师的任务是引导学生定量地表示函数图象的这种变化趋势，

地要求学生“必须用自变量和函数值大小变化的关系来刻画递增和递减”


教师紧接着端出了“函数单调性”的定义，采用的是司空见惯的“填空式”


概念中关键的字眼，让学生做“填空题”



. 老师啊，你这样的概念教学可曾顾及学生的感
受：“为什么要这样定义”？“这样定义的目的是什么”？“噢，数学就是这么不讲理，

记住定义，会背就行了” ,,











执教者如此热衷于快节奏地告诉学生函数单调性 定义的目的是什么？在接下来的“思
维训练提升能力”环节，我们找到了答案：为大剂量的训练留足时间 ，试图穷尽题型

而提升学生的应试能力 . 课例中，执教者舍弃了“课本基础题” ，而另外给出了 4 个例题 . 借用

章建跃博士的一句话， “快节奏的概念教学是造成豆腐渣人才的祸根，是教学大忌”
[2]
.






3. 对函数单调性的教学设计片断
“数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展都是自然的、水到渠成的、浑然一
体的”
[3]
，而且数学概念还是清楚的

. 它的形式化表达不能理解为“无理可说记住就行”




，
数学教师一定要把“讲清楚数学概念”作为一种基本追求


.
高一学生对函数单调性的认识是有基础的



. 初中阶段， 已有“函数图象从左向右是上
升（或下降）”的直观感受， 这实质是函数单调性的图形语言， 进而用文字语言概括为 “函数
值随自变量的增大而增大 （或减少）”. 本节课要研究的是： 对这种运动变化的文字语言

描述，如何抽象为符号语言表示



. 形式化是数学的基本要求，学习形式化的表达更是对学
生学习数学的基本要求，也是数学追求严谨和理性精神的必然体现！


函数单调性形式化定义的教学中，绝对不能采用简单的填空式教学，粗暴地告知学

生了事 . 事实证明，这样“快节奏教学”的后果就是学生只会模仿，不会思考；只懂积累，

不懂归纳；只能螺旋，不能上升


. 学生能凭感觉知道定义中有哪些关键词，但是对“任意”
. “函数单调性理解上的困难在于它的无限背 所承载的“无限”含义，其实是不理解的


景,, ，迄今为止，在教材和教学中，大多没有明确指出函数单调性中的无限特征，学生

只能靠自发感悟其中隐藏的无限背景



[5]
”





基于以上认识，就“抽象概括形成概念”环节，笔者提供以下教学片断，供参考


.
, ②
师：我们先来看几个大家熟悉的函数和它们的图象：①





③



.
问题 1：这些函数图象有什么共同特征？你能用文字语言描述这些特征吗？

生 1：从左向右看，这些函数在指定区间上，图象在上升 . 用文字语言描述就是：函数值
f(x) 随着自变量 x 的增大而增大 .