冰恋是什么经典数学问题解析

2020年11月26日发(作者：杨荣环)
1．鸡兔同笼。今有鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚。鸡兔各几只?

想：假设把35只全看作鸡，每只鸡2只脚，共有70只脚。比已知的总脚数94只少了
24只，少的原 因是把每只兔的脚少算了2只。看看24只里面少算了多少个2只，便可求出
兔的只数，进而求出鸡的只 数。

解决这样的问题，我国古代有人想出更特殊的假设方法。假设一声令下，笼子里 的鸡都
表演“金鸡独立”，兔子都表演“双腿拱月”。那么鸡和兔着地的脚数就是总脚数的一半，
而头数仍是35。这时鸡着地的脚数与头数相等，每只兔着地的脚数比头数多1，那么鸡兔着
地的脚数 与总头数的差等于兔的头数。我国古代名著《孙子算经》对这种解法就有记载：“上
署头，下置足。半其 足，以头除足，以足除头，即得。”具体解法：兔的只数是94÷2－35
＝12（只），鸡的只数是3 5－12＝ 23（只）。

2．韩信点兵。今有物，不知其数。三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问
物几何。

这是我国古代名著《孙子算经》中的一道题。意思是：一个数除以3余2，除以5余3 ，
除以7余2。求适合这些条件的最小自然数。

想：此题可用枚举法进行推算。先顺序排出适合其中两个条件的数，再在其中选择适合
另一个条件的数。

3．三阶幻方。把1—9这九个自然数填在九空格里，使横、竖和对角在线三个数的和都
等于15。

想：1＋9＝10，2＋8＝10，3＋7＝10，4＋6＝10。这每对数的和再加 上5都等于15，
可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若 填两
对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个
角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角在线
的数填好后， 其余格里再填奇数就很容易了。

4．兔子问题。十三世纪，意大利数学家伦纳德提出 下面一道有趣的问题：如果每对大
兔每月生一对小兔，而每对小兔生长一个月就成为大兔，并且所有的兔 子全部存活，那么有
人养了初生的一对小兔，一年后共有多少对兔子?

想： 第一个月初，有1对兔子；第二个月初，仍有一对兔子；第三个月初，有2对兔子；
第四个月初，有3对 兔子；第五个月初，有5对兔子；第六个月初，有8对兔子……。把这
此对数顺序排列起来，可得到下面 的数列：

1，1，2，3，5，8，13，……

观察这 一数列，可以看出：从第三个月起，每月兔子的对数都等于前两个月对数的和。
根据这个规律，推算出第 十三个月初的兔子对数，也就是一年后养兔人有兔子的总对数。

5．求碗问题。我国 古代《孙子算经》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗
碗）。题目意思是：一位农妇在河边洗 碗。邻居问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗?”
她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合 用一只汤碗，每四位合用一只菜碗，共享
65只碗。”她家里究竟来了多少位客人?

想：若设客人是x人，可用各种碗的个数合起来等于碗的总数的关系列方程解答。

此题《孙子算经》中的解法是这样记载的：“置六十五只杯，以一十二乘之，得七百八
十， 以一十三除之，即得。”可见《孙子算经》的作者就是用求方程解的方法解这道题的。

6．三女归家。今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归。问三女何日
相会?这道题也是 我国古代名著《孙子算经》中为计算最小公倍数而设计的题目。意思是：
一家有三个女儿都已出嫁。大女 儿五天回一次娘家，二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回
一次娘家。三个女儿从娘家同一天走后，至少 再隔多少天三人再次相会?

想：从刚相会到最近的再一次相会的天数，是三个女儿间隔回家天数的最小公倍数。

7．有女善织。有一位善于织布的妇女，每天织的布都比上一天翻一番。五天共织了5
丈（50尺）布， 她每天各织布多少尺?

想：若把第一天织的布看作1份，可知她第二、三、四、五织 的布分别是2、4、8、16
份。根据织布的总尺数和总份数，能先求出第一天织的尺数，再求出以后几 天织布的尺数。

8．蜗牛爬井问题。德国数学家里斯曾出过这样一道数学题：井深2 0尺，蜗牛在井底，
白天爬7尺，夜里降2尺，几天可以到达井顶?

想：解这道题的关键是把最后一天爬行的情况与前面几天爬行的情况区别考虑。