夕的五笔数学思维的基本形式

2020年11月26日发(作者：仲长统)
数学思维的基本形式
众所周知，强调与现实生活的联系正是新一轮数学课程改革的一个重要特 征。“数学课
程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不< br>断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。”[1]就努力改变传
统数 学教育严重脱离实际的弊病而言，这一做法是完全正确的；但是，从更为深入的角度
去分析，我们在此则 又面临着这样一个问题，即应当如何去处理“日常数学”与“学校数
学”之间的关系。
事实上，即使就最为初等的数学内容而言，我们也可清楚地看到数学的抽象特点，而
这就已包括了由 “日常数学”向“学校数学”的重要过渡。

例如，在几何题材的教学中，无论是教师或学生 都清楚地知道，我们的研究对象并非
教师手中的那个木制三角尺，也不是在黑板上或纸上所画的那个具体 的三角形，而是更为
一般的三角形的概念，这事实上就已包括了由现实原型向相应的“数学模式”的过渡 。再
例如，正整数加减法显然具有多种不同的现实原型，如加法所对应的既可能是两个量的聚
合 ，也可能是同一个量的增加性变化，同样地，减法所对应的既可能是两个量的比较，也
可能是同一个量的 减少性变化；然而，在相应的数学表达式中所说的现实意义、包括不同
现实原型之间的区别（例如，这究 竟表现了“二元的静态关系”还是“一元的动态变化”）
则完全被忽视了：它们所对应的都是同一类型的 表达式，如4+5=9、7-3=4等，而这事实上
就包括了由特殊到一般的重要过渡。
< br>应当强调的是，以上所说的可说是一种“数学化”的过程，后者集中地体现了数学的
本质特点：数 学可被定义为“模式的科学”，也就是说，在数学中我们并非是就各个特殊的
现实情景从事研究的，而是 由附属于具体事物或现象的模型过渡到了更为普遍的“模式”。

也正由于数学的直接研究对 象是抽象的模式而非特殊的现实情景，这就为相应的“纯
数学研究”提供了现实的可能性。例如，就以上 所提及的加减法运算而言，由于其中涉及
三个不同的量（两个加数与它们的和，或被减数、减数与它们的 差），因此，从纯数学的角
度去分析，我们完全可以提出这样的问题，即如何依据其中的任意两个量去求 取第三个
量。例如，就“量的比较”而言，除去两个已知数的直接比较以外，我们显然也可提出：
“两个数的差是3，其中较小的数是4，问另一个数是几？”或者“两个数的差是3，其中
较大的数是 4，问另一个数是几？”我们在此事实上已由“具有明显现实意义的量化模
式”过渡到了“可能的量化模 式”。

综上可见，即使就正整数的加减法此类十分初等的题材而言，就已十分清楚地体现了
数学思维的一些重要特点，特别是体现了在现实意义与纯数学研究这两者之间所存在的辩
证关系 。当然，从理论的角度看，我们在此又应考虑这样的问题，即应当如何去认识所说