小品说事数学中的问题解决

2020年11月26日发(作者：裘藻)
数学中的问题解决
数学中的问题解决 1980年4月,以美国数学教师全国联
合会(NCTM)的名义，公布了一份名曰《行动纲领-80年代数
学教育的议程》的文件，首次提出必 须把问题解决
(problemsolving)作为80年代中学数学的核心。在1980年
8月的第四届国际数学会议上，美国数学教师协会提出了80
年代中学数学教育行动计划的八点建议，指 出80年代中学
数学教育改革焦点是培养学生问题解决的能力，这种力量衡
量个人和国家数学水 平的标志。到1988年召开的第六届国
际数学教育会议上，则将问题解决列为大会的七个主要研究课题之一，在课题报告中，几次明确提出问题解决?模拟化
和应用必须成为从中学到大学的所有数学 课程的一部份。这
样，在美国和国际数学教育会议的推动下，问题解决受到了
世界各国数学界普 遍重视，不仅成为国际数学教育界研究的
重要课题，而且是继「新数运动」和「回到基础」之后兴起的80年代和90年代国际数学教育发展的潮流。
一、对「问题」的理解
对「问题」的 理解与关于甚么是「问题解决」的分析直接相
关，讨论和研究「问题解决」的一个主要困难就在于对甚么
是真正的「问题」缺少明晰的一致意见。
当代美国著名数学家哈尔莫斯()曾说：「问题是< br>数学的心脏。」美籍匈牙利著名数学教育家波利亚()
第 1 页
在《数学的发现》一 书中曾给出问题明确含义，并从数学角
度对问题作了分类。他指出，所谓「问题」就是意味着要去
寻找适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标。《牛
顿大词典》对「问题」的解释是：指那些 并非可以立即求解
或较困难的问题(question)，那种需要探索、思考和讨论的
问题， 那种需要积极思维活动的问题。
在1988年的第六屇国际数学教育大会上，「问题解决、模型
化及应用」课题组提交的课题报告中，对「问题」给出了更
为明确而富有启发意义的界定，指出一个问 题是对人具有智
力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解问
题情境。该课题组主 席奈斯()还进一步把「数学问题
解决」中的「问题」具体分为两类：一类是非常规的数学问
题 ；另一类是数学应用问题。这种界定现已经逐渐为人们所
接受。
我国的张奠宙、刘鸿坤教授在 他们的《数学教育学》里的
数学教育中的问题解决中，对甚么是问题及问题与习题的
区别作了很 好的探讨，根据他们的思想观点，我们可对「问
题」作以下几个方面的理解和认识。
*问题是 一种情境状态。这种状态会与学生已有的认知结构
之间产生内部矛盾冲突，在当前状态下还没有易于理解 的、
没有完全确定的解答方法或法则。换句话说，所谓有问题的
状态，即这个人面临着他们不认 识的东西，对于这种东西又
第 2 页
不能仅仅应用某种典范的解法去解答，因为一个问题一 旦可
以使使用以前的算法轻易地解答出来，那么它就不是一个问
题了。
*问题解决中 的「问题」，并不包括常规数学问题，而是指非
常规数学问题和数学的应用问题。这里的常规数学问题， 就
是指课本中既已唯一确定的方法或可以遵循的一般规则、原
理，而解法程序和每一步骤也都是 完全确定的数学问题。
*问题是相对的。问题因人因时而宜，对于一个人可能是问
题，而对于 另一个人只不过是习题或练习，而对于第三个人，
却可能是所然无味了。另一方面，随着人们的数学知识 的增
长、能力的提高，原先是问题的东西，现在却可能变成常规
的问题，或者说已经构不成问题 了。例如，学生在学习因式
分解之前，对于「求方程﹕x3-6x2+5x=0的解」，构成问题，而在学习了因式分解之后，已熟练地掌握了abc=0则a=0或
b=0或c=0，那么，此时前述 求方程的根已对他不构成问题
了，而当前状态下对于「求方程x3-6x2-4x=6的根」则构成一个问题。
*问题情境状态下，要对学生本人构成问题，必须满足三个
条件:(1)可接 受性。指学生能够接受这个问题，还可表现出
学生对该问题的兴趣。(2)障碍性。即学生当时很难看出 问
题的解法、程序和答案，表现出对问题的反应和处理的习惯
模式的失败。(3)探索性。该问 题又能促使学生深入地研究
第 3 页
和进一步的思考，展开各种探究活动，寻求新的解题途径，
探求新的处理方法。
*问 题解决中的「问题」与「习题」或「练习」是有区别的，
其重要区别在于:(1)性质不同。中学数学课 本中的「习题」
或者「练习」属于「常规问题」，教师在课堂中已经提供了
典范解法，而学生只 不过是这种典范解法的翻版应用，一般
不需要学生较高的思考。因此，实际上学生只不过是在学习
一种算法，或一种技术，一种应用于同一类「问题」的技术，
一种只要避免了无意识的错误就能保证成 功的技术。(2)服
务的目的不同。尽管有些困难的习题对大部份学生实际上也
可能是真正的问 题，但数学课本中的习题是为日常训练技巧
等设计的，而真正的问题则适合于学习发现和探索的技巧，< br>适合于进行数学原始发现以及学习如何思考。因此，练习技
巧与解真正问题所要达到的学习目的不 大相同，也正因为它
们各自服务于一种目的，所以中学教学课本中的「习题」、「练
习」不应该 从课本中被除去，而应该被保留。然而，解决了
这些常规问题后，并不意味着已经掌握了「问题解决」。
二、一个好问题的「标准」
以问题解决作为数学教育的中心事实上集中体现了数学观
和数学思想的重要变化，也即意味着数学教育的一个根本性
的变革，正是在这样的意义上，著名数学教育 家伦伯格指出：
解决非单纯练习题式的问题正是美国数学教育改革的一个
第 4 页
中心论题。
那么，从数学教育的角度看，究竟甚么是一个好的问题，
它的标准该是甚 么?一般来说，一个好问题标准应体现在以
下三个方面：
其一、一个好问题应该具有较强的探究性。
这就是说，好问题能启迪思维，激发和调动探究意 识，展现
思维过程。如同波利亚所指出的「我们这里所指的问题，不
仅是寻常的，它们还要求人 们具有某种程度的独立见解、判
断力、能动性和创造精神」。这里的「探究性(或创造精神)」
的要求应当是与学生实际水平相适应的，既然我们的数学教
育是面向大多数学生的，因此，对于大多数学 生而言，具有
探索性或创造性的问题，正是数学上「普遍的高标准」-这
又并非是「高不可及」 的，而是可通过努力得到解决的。从
这个意义上来说，我们这里说的好问题并不是指问题应有较
高的难度，这一点与现在数学奥林匹克竞赛中所选用的大部
份试题是有区别的。在竞赛中，「问题解决」 在很大程度上
所发挥的只是一种「筛子」的作用，这是与以「问题解决」
作为数学教育的中心环 节和根本目标有区分的。
其二、一个好问题，应该具有一定的启发性和可发展空间。
一个好 问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数
学原理，对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识 别的
模式，或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决。同时，
第 5 页
「问题 解决」还能够促进学生对于数学基本知识和技能的掌
握，有利于学生掌握有关的数学知识和思想方法，这 就与所
谓的「偏题」、「怪题」划清了界线。
一个好问题的可发展空间是说问题并不一定在找 到解答时
就会结束，所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部份作种
种变化，由此可以引出新的 问题和进一步的结论。问题的发
展性可以把问题延伸、拓广、扩充到一般情形或其他特殊情
形， 它将给学生一个充分自由思考、充分展现自己思维的空
间。
其三、一个好问题应该具有一定的「开放性」。
好问题的「开放性」，首先表现在问题来源的 「开放」。问题
应具有一定的现实意义，与现实社会、生活实际有着直接关
系，这种对社会、生 活的「开放」，能够使学生体现出数学
的价值和开展「问题解决」的意义。同时，问题的「开放性」，< br>还包括问题具有多种不同的解法，或者多种可能的解答，打
破「每一问题都有唯一的标准解答」和 「问题中所给的信息
都有用」的传统观念，这对于学生的思想解放和创新能力的
发挥具有极为重 要的意义。
三、「问题解决」见解种种
从国际上看，对「问题解决」长期以来有着不同的理 解，因
而赋予「问题解决」以多种含义，总括起来有以下6种：
1、把「问题解决」作为一种教学目的。
第 6 页
例如美国的贝格(Begle )教授认为：「教授数学的真正理由是
因为数学有着广泛的应用，教授数学要有利于解决各种问
题」，「学习怎样解决问题是学习数学的目的」。
教授也认为本世纪80年代以来，世界上几乎所有的国 家都
把提高学生的问题解决的能力作为数学教学的主要目的之
一。当「问题解决」被认为是数学 教学的一个目的时，它就
独立于特殊的问题，独立于一般过程和方法以及数学的具体
内容，此时 ，这种观点将影响到数学课程的设计和确定，并
对课堂教学实践有重要的指导作用。
2、把「问题解决」作为一个数学基本技能。
例如美国教育咨询委员会(NACOME)认为 「问题解决」是一种
数学基本技能，他们对如何定义和评价这项技能进行了许多
探索和研究。当 「问题解决」被视为一个基本技能时，它远
非一个单一的技巧，而是若干个技巧的一个整体，需要人们< br>从具体内容、问题的形式、构造数学模型、设计求解模列的
方法等等综合考虑。
3、把「问题解决」作为一种教学形式。
例如英国的柯可可劳夫特(Cockcroft)等 人认为，应当在教
学形式中增加讨论、研究问题解决和探索等形式，他还指出
在英国，教师们还 远远没有把「问题解决」的活动形式作为
教学的类型。
4、把「问题解决」作为一种过程。
第 7 页
例如《21世纪的数学纲要》中提出「问题解决」是学生应用
以前获得的 知识投入到新或不熟悉的情境中的一个过程。美
国的雷布朗斯认为：「个体已经形成的有关过程的认识结 构
被用来处理个体所面临的问题」?此种解释，可以使一个人
使用原先所掌握的知识、技巧以及 对问题的理解来适应一种
不熟悉状况所需要的这样一种手段，它着重考虑学生用以解
决问题的方 法、策略和猜想。
5、把「问题解决」作为法则。
例如在《国际教育辞典》中指出，「问题 解决」的特性是用
新颖的方法组合两个或更多的法则去解决一个问题。
6、把「问题解决」作为能力。
例如1982年英国的《Cockcroftreport》 认为那种把数学用
之于各种情况的能力，称之为「问题解决」。
综合以上各种观点，虽然对「 问题解决」的描述不同，形式
不一，但是，它们所强调的有着共同的东西，即「问题解决」
不应 该仅仅理解为一种具体教学形式或技能，它应贯穿在整
个教学教育之中。「问题解决」的教学目的是很明 确的，那
就是要帮助学生提高解决实际问题能力，而且「问题解决」
的过程是一个创造性的活动 ，因而是数学教学中最重要的一
种活动?以下是从文献中对「问题解决」的六个不同的概念：
(1)解决教科书中标题文字题，有也叫做练习题；
(2)解决非常规的问题；
第 8 页
(3)逻辑问题和「游戏」；
(4)构造性问题；
(5)计算机模拟题；
(6)「现实生活」情境题。
在「问题解决」中，相当一部份是实际生活中例子。从构造数学模型、设计求解模型的方法，再到检验与回顾等整个过
程要由学生去发现、去设计、去创新、去 完成，这是「问题
解决」与创造性思维密切联系之所在。数学教师应创造更有
利于问题解决的条 件，在为所有年级编制出好的问题并传授
解决问题的技能、技巧的同时，尽力为学生的创造性思维提供良好的课堂环境与机会、乃至服务。
四、数学问题解决的心理分析
1、从学习心理学看「问题解决」
从学习心理学角度来看，问题解决一般理解为一种认知操作
过程或心理活动过程。所谓「问题解决」指的是一系列有目
的指向认知操作过程，是以思考为内 涵、以问题为目标定向
的心理活动过程。具体来说，问题解决是指人们面临新的问
题情境、新课 题，发现它与主客观需要的矛盾而自己缺少现
成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动过< br>程。问题解决是一种带有创造性的高级心理活动，其核心是
思考与探索。认知心理学家认为，问题 解决有两种基本类型：
一是需要产生新的程序的问题解决，属于创造性问题解决；
第 9 页
一是运用已知或现成程序的问题解决，是常规性问题解决。
数学中的问题解决一般属于创造性问 题解决，不仅需要构建
适当的程序达到问题的目标，而且更侧重于探索达到目标的
过程。 问题解决有两种形式的探索途径：试误式和顿悟式。试误式
是对头脑中出现的解决问题的各种途径进 行尝试筛选，直至
发现问题解决的合理途径。顿悟式是在长期不懈地思考而又
不得其解时，受某 种情境或因素的启发，突然发现解决的方
法和途径或方式。对中学生而言，这两种探形式都是问题解决不可缺少策略。
2、数学问题解决心理过程
现代学习心理学探究表明，问题分为三种状态，即初始状态、
中间状态和目的状态
数学中的问题解决 1980年4月,以美国数学教师全国联合会
(NCTM)的名义，公布了 一份名曰《行动纲领-80年代数学教
育的议程》的文件，首次提出必须把问题解决
(prob lemsolving)作为80年代中学数学的核心。在1980年
8月的第四届国际数学会议上，美 国数学教师协会提出了80
年代中学数学教育行动计划的八点建议，指出80年代中学
数学教育 改革焦点是培养学生问题解决的能力，这种力量衡
量个人和国家数学水平的标志。到1988年召开的第 六届国
际数学教育会议上，则将问题解决列为大会的七个主要研究
第 10 页