4356西方文化中的数学

2020年11月26日发(作者：魏庚人)

西方文化中的数学读书报告

郑鑫

四川农业大学 中国成都 611130
摘要：该书的目的是为了阐明这样一个观点：在西方文明中，数学一直是一种 主要的文化力
量。该主要考察数学思想如何影响了直到20世纪的人类生活和思想。全书将按照历史的顺
序对数学思想进行考察，因此该书涉及的内容将从古巴比伦、古埃及开始，一直到现代的相
对论 。首先意识到数学理性力量的希腊人，他们虔敬地认为诸神在设计宇宙时利用了数学，
并且极力敦促人类 去揭示这种设计的图式。希腊人不仅在他们的文明中给予数学以重要的位
置，而且首先创造了对人类文化 有深刻影响的数学思想的榜样。当那些后续文明将古希腊人
的成果传递到现代时，它们又不断赋予数学以 更有意义的新功能。现在，数学的这些功能和
影响已深深地嵌入我们的文化之中。即使是现代数学的成就 ，也可以根据先前业已存在的数
学知识而给予最恰当的评价

关键词：理性；数学；哲学；法学；逻辑；文化；证明方法
Abstract: the purpose of this book is to illustrate the idea that mathematics has been a major
cultural force in Western civilization. This study mainly examines how the idea of mathematics
has influenced the human life and thought in twentieth Century. The book will be in accordance
with the order of history of mathematics thought was studied, so the topics from Babylon,
ancient Egypt, until the modern theory of relativity. The first to realize the mathematical rational
power of the Greeks, they reverently think the gods use mathematics in the design of the
universe, and urged the human to reveal the design schema. The Greeks not only gave the
mathematics in their civilization in an important position, but also created a model of the
mathematics thought which had a profound influence on human culture. When the later
civilizations of the ancient Greeks passed to the modern time, they continued to give
mathematics to more meaningful new features. Now, these functions and effects of mathematics
have been deeply embedded in our culture. Even the achievement of modern mathematics can
be given the most appropriate evaluation according to the existing mathematical knowledge.
Keywords: reason; mathematics; philosophy; law; logic; culture; proving method
一、西方文化中的数学整体介绍
几乎每 个人都知道，数学在工程设计中具有极其重要的实用价值。但是却很少有人懂得数学
在科学推理中的重要 性，以及它在重要的物理科学理论中所起的核心作用。至于数学决定了
大部分哲学思想的内容和研究方法 ，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提
供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑 和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必
须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加 鲜为人知了。作为理性精神的
化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它 们成为思想和行
动的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目 和


提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美。
尽管这些 绝不是对人类思想和生活无足轻重的贡献，但有教养的人也几乎普遍拒绝将数
学作为一项智力爱好。从某 种意义上来说，对待数学的这种态度有其深刻的原因。在教科书
和学校的课程中，都将“数学”看作是一 系列毫无意义的、充满技巧性的程序。把这样的东西
作为数学的特征，就如同把人体结构中每一块骨骼的 名称、位置和功能当作活生生的、有思
想的、富于激情的人一样。如同一个单词，如果脱离了上下文，不 是失去了原来的意义，就
是有了新的含义一样，在人类文明中，数学如果脱离了其丰富的文化基础，就会 被简化成一
系列的技巧，它的形象也就被完全歪曲了。由于外行人很少使用数学技巧及其知识，因此他< br>们对这些通常显得枯燥无味的东西很反感。这样一来产生的结果是，对于数学这样一门基础
性的、 富有生命力的、崇高的学科，就连一些受过良好教育的人也持无视甚至轻蔑的态度。
的确，对数学的无知 已经成了一种社会风尚。
尽管本书采用的是历史方法，但却不是一部数学史。历史的顺序碰巧与这门学 科的逻辑
发展有着惊人的一致性，并且历史方法亦是考察思想如何产生、是什么激发了对这些思想的研究，以及这些思想是如何影响其他领域的最合适的方法。因此，通过阅读本书，读者将得
到一份重 要的额外收获：数学作为一个整体是如何发展的，数学的活跃时期和沉寂时期与相
应的西方文明发展时期 的关系怎样，以及文明的进程如何影响数学的内容和本质。我们希望，
通过把数学作为现代文明的一个有 机组成部分，将能使读者对数学与现代文化之间的关系有
全新的认识。
遗憾的是，在一部一卷 本书中作者仅仅只能举例阐释这些问题。由于篇幅所限，他必须
从大量的文献中进行节选。例如，谈到数 学和艺术的相互关系时，就只限于讨论文艺复兴时
期的情况。熟悉现代科学的读者将会注意到，本书中几 乎没有关于数学在原子物理、核物理
发展中所起的作用的论述。一些重要的现代自然哲学，特别是像A· N·怀特海(Whitehead)的
理论，也只能点到为止。但是，我们仍希望，所选的材料能够为本 书提供充分的论据，并且
能激发起读者的兴趣。
为了使数学活动中的一系列事件显得更加突出 ，有必要扼要地回顾一下历史。学术研究
如政治活动一样，充满凝聚力的团体的力量和众多个人的贡献共 同决定着事业的成就。现代
科学中定量研究方法的创立，并不是伽利略单枪匹马完成的。微积分是牛顿和 莱布尼茨创造
的，同样也是欧多克索斯、阿基米德和许多17世纪数学家的创造。在数学中，这一点显得
特别突出：当一位数学家做出了创造性工作时，他的成功实际上是千百年来数学思想的结晶，
凝 聚了许多数学家的心血。
毫无疑问，在涉及艺术、哲学、宗教和社会科学等方面之后，作者已经闯入了 天使——
当然是数学天使——望而却步的领域。为了使人们认识到数学不是一种乏味的、机械性的工具，而是与其他文化领域紧密相连、相互依存的无价之宝，即使冒着犯错误(但希望这种错
误尽可能 少犯)的风险也依然值得。
也许，讨论这种人类理性的成就，在一定程度上能增强我们对文明的信心， 这种文明在
今天面临着被毁灭的危险。燃眉之急可能是政治上和经济上的。在这些领域中，至今还没有< br>充分的证据表明人类的力量能克服自身的困难，进而建设一个合理的世界。通过研究人类最
伟大和 最富于理性的艺术——数学，则使得我们坚信，人类的力量足以解决自身的问题，而
且到现在为止人类所 能利用的最成功的方法是能够找到的。
一、数学理性是西方理性精神的核心
西方理性精神发展史上决定性一步的迈出是由于数学知识的应用
在世界各文明古国中，古希腊的历史虽短，但文化发展的程度却最高，人类的理性就最


早萌发于此。在古希腊之前的各个文明古国中，人们普遍地认为自然界是混乱的、无序的、< br>无从把握的，人对自然现象是无法解释的，自然界是由神统治的，一切取决于神的意志。但
是，古 希腊人却对自然现象有了一个全新的认识，他们在人类历史上第一次认识到自然界是
有规律可循的，是按 理性设计的，这种设计完全可以被人们的思维所理解。古希腊人所以对
自然能有这种理性的认识，起决定 作用的是数学知识的运用。
古希腊人又给人类贡献出了一个毕达哥拉斯，使人类在寻求理性的道路上迈 出了决定性
的一步。他寻着米利都学派的思维轨迹，提出了“万物皆数”的观点。他敏锐地发现，“在< br>宇宙论问题和几何学成就之间有一种可能的联系:不同的几何图像有着不同的质的差异，尽
管作为 类同的空间形状，它们没有任何物质的特殊性，仅是形式而已。建立在这个基础上，
毕达哥拉斯假定自然 中性质的差异依赖于几何结构的差异。我们从此无须再为原初物质是什
么的问题所困扰，这并不重要。我 们也无须描述同它自身空间不同的任何特征:所有我们对
它必须描述的，乃是使它构造几何化的那种力量 。事物分离和聚集成它们所是的样子所凭借
的本性，就是几何结构或形式”。
毕达哥拉斯的宇 宙论问题的研究比米利都学派前进了一大步.柏拉图认为数只能用理性
去把握，别的任何方法都不行，数 能把灵魂引导到真理，哲学家应当学会它，因为他们必须
脱离可变世界，把握真理，数学是通向理念世界 的一条合适的途径,柏拉图坚持认为世界是
数学化的，上帝是一个几何学家，是按照几何的模式创造世界 的。在通过数学来理解自然界
这一点上，柏拉图与毕达哥拉斯学派观点相同，但柏拉图又比毕达哥拉斯前 进了一步，指出
要用数学取代自然界本身。
由于全部西方哲学都是柏拉图哲学的注释，所以， 通过数学来认识自然界的本原和规律
就成为西方社会的一个悠久的传统，对西方理性精神的形成和发展起 到了巨大的推动作用。
在近代哲学以及近代科学的诞生过程中，数学都起到了不可估量的作用。
(二)数学对形式逻辑的形成及发展的影响

“理性是秩序原则，其核心便是逻辑性。 ”古希腊人把已有数千年历史的经验数学发展
为演绎数学。演绎数学中含有推理、证明，带有逻辑性。古 希腊人在演绎数学的基础上创建
了形式逻辑这门学科。逻辑学的创立应当说是理性发展史上的一座丰碑， 对理性发展的推动
作用极大。在哲学史上，很长时期逻辑学都包括在哲学这门学科内，逻辑学被认为是哲 学的
导论，是获取真正可靠知识的方法、工具。只有当手中已经掌握了大量的进行推理或论证的
材料，逻辑才能自然产生。并不是任何类型的论说都能引起逻辑的研究，只有那些能找出证
明或要求证明 的论说和话问的类型才自然地引起逻辑的研究，因为证明一个命题就是从真前
提有效地推出这个命题。论 证分为证明的论证和论辩的论证。证明的前提是真的和必然的，
而论辩的前提则是或然的。证明的论说类 型有三种，只有数学符合亚里士多德关于证明的论
证的描述。证明的概念之所以引起人们注意，大概是因 为它首先与几何学联系在一起。从亚
里士多德的著作中，可以十分清楚地看出，他是从数学得出逻辑来的 。古希腊人在发现正确
的数学推理规律时就已奠定了逻辑的基础，亚里士多德则不过把这些规律典范化和 系统化，
使之成为一门独立学科。自希腊时代以来，几何学就被认为是演绎系统结构的典范。可以说，< br>在逻辑学科形成过程中，论辩术也起过相当的作用，但数学，尤其是几何学起了主要的作用。
自1 9世纪以来，数理逻辑异军突起，大有取代古典形式逻辑之势。数理逻辑是把数学方法
引入传统逻辑领域 ，从而对古典形式逻辑进行了新的改造。数理逻辑萌发于17世纪。莱布
尼茨首先明确提出了数理逻辑的 指导思想，经过数学家和哲学家的共同努力，数理逻辑在
19世纪完成了奠基阶段，经过20世纪前半叶 的发展，数理逻辑已趋于成熟，成为一门新的
工具性学科。
不难看出，数学不论是在古典形式逻辑的发展过程中，还是在现代数理逻辑的发展过程


中，都起了举足轻重的作用。尤其是数理逻辑，若无数学，就谈不上有此学科。由于逻辑在< br>理性发展史上的重要作用，也就从另一个侧面说明了数学在理性发展史上的重要作用。
(三)数学对哲学家创构哲学体系的影响

在古希腊，哲学家很少有不懂数学的。西方人常说是几 何学家的成果启蒙了哲学。毕达
哥拉斯是最早提出自然界数学模式的哲学家。他认为数是万物的本原，多 样性的世界统一于
数，万物都具有数的规定性，数的规律与宇宙的规律是一致的。毕达哥拉斯的学说对古 希腊
乃至整个西方哲学和科学的发展都具有重大的意义。赫拉克利特是位被马克思赞为在古代的
哲学家中仅次于亚里士多德的哲学家。赫拉克利特是辩证法的奠基人之一，他的思想体系深
受毕达哥拉斯 的影响。赫拉克利特提出了著名的逻各斯学说，认为万物是永远变动的，而且
这种变动是按照一定的尺度 和规律进行的。赫拉克利特所说的逻各斯主要就是一种尺度、大
小、分寸，即数量上的比例关系。这显然 与毕达哥拉斯的学说有关。赫拉克利特提出的对立
统一思想也吸收了毕达哥拉斯的思想。毕达哥拉斯曾提 出过数的基本对立(奇数和偶数、有
限和无限等)以及数的和谐等思想。
毕达哥拉斯学派抛开 个体事物质的差异，只抽取它们共同具有的数量关系，巴门尼德索
性连数量关系也不要了，只谈最抽象的 “存在”。通过研习数学，数学高度抽象的特点使巴
门尼德的抽象思维能力大大提高，最终提出了在当时 最为抽象的哲学范畴—“存在”。
柏拉图理念论的提出就受数学的影响，而亚里士多德形式逻辑的创立 ，也深受数学的影
响。斯多葛派哲学思想也受到数学的影响。奥古斯丁和托马斯·阿奎那是基督教最伟大 的两
位神学家，前者深受柏拉图学说的影响，后者深受亚里士多德学说的影响。由于在古希腊数
学是一种思维的方式，是一种认识、表现和解释世界万物的理性方式，柏拉图和亚里士多德
都深受数学的 影响，所以，作为深受柏拉图和亚里士多德理论影响的神学家，他们的思维不
可能不包括着理性，他们的 学说不可能不受到数学的影响。“理性在这里开始成为表述上帝
行为的工具，神的学说要用数学的理性来 论证。
在古希腊，人们普遍认为自然是依照数学设计的，人们为了寻求宇宙的规律，便从寻求
宇宙的数学规律着手，进行科学研究。所以，在古希腊，数学得到了空前的发展。“很清楚，
对于希腊人 ，几何学原理是宇宙的整体结构的体现，空间是其中的基本组成部分。因而关于
空间和空间图形的探索是 宇宙探索的基本工作，几何学实际上是一门更大的宇宙科学的一部
分。”古希腊人留给后世最伟大的遗产 之一是欧几里得的《几何原本》。欧几里得创立的公理
演绎方法对古希腊以及近代的西方科学起到了巨大 的推动作用。公理演绎方法不仅适用于数
学领域，而且适用于所有科学领域。包括古代最伟大的科学家阿 基米德，近代最伟大的科学
家牛顿，现代最伟大的科学家爱因斯坦在内的许许多多杰出的科学家，他们在 构建自己的科
学理论体系时都曾采用过公理演绎方法。中国文化与西方文化的差别之一就是缺几何学，理
论缺少严密的推理和论证，体系化程度差。
文艺复兴以后，近代的西方哲学家受数学影响的比 比皆是。近代哲学的奠基者笛卡尔就
曾借鉴数学方法创立了自己的哲学体系。哲学大家如斯宾诺莎、莱布 尼茨、霍布斯、康德、
黑格尔等人的哲学体系都深受数学的影响。数学是近代理性主义哲学家理论大厦的 基石。可
以说，在非欧几何出现之前，数学一直是知识的典范，处于理性的最前列，对许许多多哲学家哲学体系的创构起到过不可估量的作用。西方哲学家不受数学影响的是极少数，绝大多数
都受数学 的影响。就知识的精确性而言，数学是一种理想，牵引着知识的列车勇往直前。从
古希腊一直到19世纪 前半叶，“对数学设计的探求，即对真理的探索，认为数学规律是自然
界的真理的信念为数学吸引了最深 刻和最著名的思想家”。‘，由于哲学凝聚着人类最高智慧，
是时代精神的精华，数学对哲学家的影响， 表明了数学在理性发展史上的地位，进一步证明