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手工艺品制作高等数学在中学数学解题中的应用

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-26 15:40
tags:精品文档, 数学, 教学案例/设计

树欲静而风不止是什么意思-

2020年11月26日发(作者:毕此君)

摘 要

美国数学家哈 尔莫斯认为,问题是数学的心脏。对于学校的数学教学
来说,问题也是它的心脏。在数学教学中,“解题 ”是一种最基本的活动形
式,无论是数学概念的形成,数学命题的掌握,数学方法与技能的获得,
还是学生能力的培养与发展,都要通过解题活动来完成。“解题”也是评价
学生认知水平的重要手段。 波利亚认为,掌握数学就意味着善于解题,解
题是智力的特殊成就,数学教学的本质在于使学生学会解数 学题,数学教
师的首要责任是发展学生解决问题的能力。解题是中学数学教师的基本功
之一,也 是高师数学专业学生专业素质的重要体现。
现在高师数学专业的许多学生在中学数学解题方面的能力普 遍较低,
呈明显的下降趋势。分析其成因,主要原因是:(1)大学生对初等数学课程
不重视; (2)缺乏中学数学与高等数学的联系;(3)高校教师的教学方法欠
妥;(4)学生的主体意识不强。 本文提出培养高师数学专业学生中学数学解
题能力可以从以下方面入手:(1)利用高等数学知识提高中 学数学解题能
力;(2)控制学生初等数学知识的遗忘;(3)培养中学生自主学习能力;(4)
加强解题训练;(5)充分发挥高等数学对中学数学教师的作用。这些培养途
径对数学专业的师范生毕 业后能尽快胜任中学数学教学的任务,对于进一
步反思和改革职前中学数学老师的培养方式和课程设置有 现实意义和实践
价值。

关键词:高等数学,解题,中学数学,发展









Application of higher mathematics in middle school
mathematics problem-solving



Abstract:
American mathematician Hal moss thinks, the problem is
the heart of mathematics. For the school's mathematics teaching, the problem is
the heart of it. In mathematics teaching,
basic forms of activities, whether the formation of mathematical concepts,
mathematical proposition, mathematical method and the acquisition of skills, or
student ability training and development, and should be done through the
problem solving activity. solvingis also an important means of
evaluating students' cognitive level. Polya thinks, to master mathematics means
good at problem solving, problem solving is a special intellectual achievements,
the essence of mathematics teaching is to make students learn to mathematical
problem solving, mathematics teacher's primary responsibility is to develop
students' ability to solve the problem. Problem solving is one of the middle
school mathematics teachers' basic skills, also is the important of students'
professional quality of mathematics in normal universities.
Now many of the students of mathematics in normal universities in the
middle school mathematics problem-solving ability is generally low, a
significant decline in. Analysis of the causes, the main reason is: (1) do not take
the college students of elementary mathematics curriculum; (2) the lack of
secondary mathematics and advanced mathematics; (3) college teachers'
teaching method is inappropriate; (4) the students' subject consciousness is not
strong. This paper puts forward to cultivate students of mathematics in normal
universities middle school mathematics problem-solving ability can from the
following aspects: (1) the use of higher mathematics knowledge to improve
middle school mathematics problem-solving ability; (2) to control the students
of elementary mathematics knowledge forgotten; (3) train middle school
students' autonomous learning ability; (4) strengthen the problem solving
training; (5) give full play to the role of the higher mathematics for middle
school mathematics teachers. The training methods of mathematics in
mathematics teaching of middle school students after graduation can do as soon


as possible, for further reflection and reform preservice middle school math
teacher training mode and curriculum has practical significance and practical
value.


Key words: higher mathematics, problem solving, middle school
mathematics,
















development




目 录

一、引 言 ................. .................................... 1
二、高等数学与中学数学的关系 ................................... 1
(一)高等数学与中学数学的差异 ............................. 1
(二)高等数学与中学数学的联系 ............................. 2
1.高等数学与中学数学在知识方面上的衔接 .................. 2
2.高等数学与中学数学在思想方面上的衔接 .................. 2
三、关于中学数学学习方式如何向高等数学学习方式转变 ............. 3
(一)为什么中学数学的学习方式要向高等数学的学习方式转变 ... 3
(二)中学数学的学习方式向高等数学的学习方式转变的具体方法 . 4
1.转变中学数学教师的传统观念 ............................ 4
2.转变中学生的学习方式 .................................. 5
四、高等数学在中学数学解题中的应用举例 ......................... 5
(一)极限在中学数学解题中的作用 ........................... 5
1.极限的思想在中学数学渗透的必要性 ...................... 5
2.将极限思想引入课堂对中学生学习数学的好处 .............. 5
3.极限思想方法在求曲边梯形面积的应用 .................... 6
(二)柯西—施瓦兹不等式在中学数学解题中的作用 ............. 6
(三)矩阵在中学数学解题中的作用 ........................... 7
(四)拉格朗日中值定理在中学数学解题中的作用 ............... 8
五、关于中学的数学教学和学习的针对性建议 ...................... 10
(一)教师方面—高屋建瓴、有效教学 ........................ 10
(二)学生方面—探究学习、提高素养 ........................ 11
1.重视教材,养成预习习惯 ............................... 12
2.积极参与,培养质疑习惯 ............................... 12
3.勇于尝试,提高探究能力 ............................... 12
六、结束语 ..................................... ............... 13


七、致谢 ...................................... 错误!未定义书签。
参考文献 ......................................... ............. 14




一、引 言

近些年来各大高等师范院校数学系的很多大学生对学习高等数学存在
一些看法,如“现在所学的 高等数学似乎与初等数学本质上没有多大联系”,
“高等数学对今后成为中学数学教师作用不大”,更有 甚者提出“高等数学
在中学教学里根本用不上”等等。这些看法正如著名数学家克莱因早已指
出 的那样“大学新生一入学就发现他面对的高等数学问题好像和中学里学
过初等数学知识一点联系也没有似 的,但是毕业以后当了老师,他们又突
然发现要他们按老师的教法来教传统的初等数学,却又因为缺乏指 导,使
他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系,于是很快坠
入相沿成习的教 学方法,而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆,
[1]
却对他们从事的中学教学毫无 影响”。然而现在在新的中学数学教材中已
经出现了一些基础的高等数学知识,这可以说是数学发展的一 种必然趋势,
所以现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和
教材改革 。所以高等数学知识在开阔学子视野,指导初等数学解题,指导
初等数学教学,对初等数学问题加以诠释 等方面的作用就尤为突出了。本
文针对这种情况探讨了一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用。

二、高等数学与中学数学的关系
(一)高等数学与中学数学的差异
初等 数学主要包括两部分:几何学和代数学。几何学是研究空间形式
的学科,而代数学是研究数量关系的学科 。初等数学基本都是常量数学且
比较直观简单易懂。
高等数学是几门课程的总称。其中非欧几 何

抽象代数、集合论、拓
扑学、泛函分析、数理逻辑、数学基础等都是高等数学的内 容。是理工科
院校一门重要的基础科目。高等数学有其固有的特点,它具有高度的抽象
性,严密 的逻辑性和广泛的应用行。抽象性是数学最基本和最显著的特点,
有了高度的抽象和统一,我们才能深入 揭示其本质规律,才能使之得到更
广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中,无论是概 念
和表述,还是判断和推理,都要运用逻辑的规则,遵循思维的规律。
1

(二)高等数学与中学数学的联系
高等数学是在初等数学的基础上建立起来的宏伟大厦,而初 等数学却
是高等数学的基石。作为学习和研究数学的步骤,无疑应该是先学习和掌
握初等数学, 然后才能学习和应用高等数学。并且,学习高等数学能加深
对初等数学的理解和掌握,可以开阔思路,提 高数学修养和解决问题的能
力。但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接,使不少大一新生一接触到“数学分析”、“高等代数”等等的一些数学课程时,就对数
学专业课产生了畏难、抵 触情绪。造成高等数学理论与中学教学严重脱节,
许多大学师范毕业生对如何运用高等数学理论指导中学 数学教学感到迷
茫、毫无头绪。
1.高等数学与中学数学在知识方面上的衔接 高等数学在知识内容上可以说是初等数学的继续和提高。在学习高等
数学课程时,是以初等数学为基 础,初等数学知识我们中学已学过,比如,
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本性质和运算, 平面解析几
何中常见曲线方程、图形、不等式的性质等内容, 对学生来说也比较熟悉,
而在学 习高等数学时又经常用到这些初等数学知识,这些问题在高等数学
课堂上可以只做简单复习。也有些初等 数学知识在高等数学中没有涉及或
者涉及的角度和侧重点不同,在讲解这些内容时,不能以为学生在中学 已
经掌握就轻描淡写或一带而过,避免在高等数学与中学数学之间形成“空
白”地带,从而造成 高等数学与初等数学在某些知识内容上的脱节。比如,
极坐标系的建立,常见函数的极坐标方程等知识在 中学课程中完全没有涉
及,而高等数学中的积分运算和积分应用问题有许多都是以此为基础,如
果不补充讲解,学生在学习这部分内容时就不能顺利过关。再比如中学已
开始学习极限、导数、积分、向 量的概念及计算,但仅仅是侧重于简单计
算。到了大学还要学习这些内容,却侧重于基本概念的理解以及 在实际问
题中的具体应用,在教学中一定要讲楚它们的不同要求,特别注意中学数
学内容和高等 数学内容的衔接关系,避免教学过程中知识内容的重复和脱
节,帮助学生渡过学习上的难关。
2.高等数学与中学数学在思想方面上的衔接
高等数学的思想方法是中学数学的思想方法的延袭和扩张 。高等数学
与中学数学虽在知识深度上有较大差异,但产生知识的思想方法却是一脉
相承的,只 是中学数学的知识浅显,内容较少,较为基础,对数学思想方
2

法的巨大作用体 现不深而已。中学数学教学过分重视数学的技能训练、解
题技巧、公式推导、定理证明等表层知识的教学 ,属于应试教学,忽视教
学内容中所蕴涵的数学思想、方法和数学的精神,忽视了数学的本质特征,因而多数学生的学习处于死记硬背,生搬硬套运用教师所灌输的知识的状
态,对知识的背景、来龙去 脉、彼此间的关系没有精力去理解消化,本该
掌握的数学思想方法没有掌握,本该形成的数学能力没有形 成,只是为了
应付高考而大搞题海战术。虽然有些学生获得了高分,迈进了大学,但当
走向社会 时却出现高分低能的普遍社会现象。
然而在高等数学教学中应强化数学思想、方法的教学,使学生在获 得
数学知识的同时领会数学的思想方法。为此在教学中要精心设计教学内容,
采取多种形式的教 学向学生渗透数学思想方法,给学生充分的独立思考、
归纳概括、数学交流的机会,使学生解决问题有方 向,思考问题有思路,
处理问题有办法。事实上高等数学的教材内容反映的数学思想方法是极其
丰富多样的,不胜枚举,而每一种思想方法的教学都是提高教学质量的重
要手段,为学生更好地学习高等 数学起到重要的作用。比如,极限的思想
方法实现了数学由常量数学到变量数学的突破,即由初等数学到 高等数学
的突破。为此要使学生由初等数学学习过渡到高等数学的学习,必须把数
学的极限的思 想方法的教学放在首位
[2]

在教学中先介绍极限概念的发展历史,再结合几何直 观图形讲清极限
的描述性定义,最后概括出极限的精确化定义,揭示极限的发生及形成过
程,使 学生深刻理解极限的思想方法及其应用。实践表明,学生对极限的
思想方法理解好了,对学习导数、定积 分、重积分、曲线积分、曲面积分、
级数等定义、计算方法及其应用都有很大帮助。

三、 关于中学数学学习方式如何向高等数学学习方式转

(一)为什么中学数学的学习方式要向高等数学的学习方式
转变
迫于升学的压力,以 及教学任务的繁重,在中学的数学教学课堂上“满
堂灌”现象仍然十分突出,中学生将大量的精力应付在 大量的练习与频繁
的测试上,造成学生没有充足的自由学习时间,在很大程上说,教师的教
3

学方式还影响、制约着学生的学习方式,学生的学习活动还处于接受、记
忆、模仿和 练习,缺乏主动探索和主动参与。学生依然围着教师的指挥棒
转,学生的学习兴趣不浓,自学能力差。而 大学阶段,高等数学的广泛性、
抽象性和实用性远远高于初等数学,这种知识面的放宽,抽象程度的加大
要求学生在学习过程必须会自主学习,这使刚入学的大一新生一时难以适
应。学生学习方式的转 变需要通过教师的教学方式的转变才能得到落实。
陶行之先生说过“我认为好的先生不是教书,不是教学 生,乃是教学生学”
[3]
,教师要教会学生学习,学生的学法源于教师的教法,受制于教法。 因此,
在中学数学的课堂上,我们要改变传统的教学模式,向高等数学的学习方
法迈进。针对不 同学习层次的学生介绍适合自身学习特点的学习方法,对
学生在学习中存在的问题,及时帮助解决,为学 生可以自主学习带来可靠
保证。
(二)中学数学的学习方式向高等数学的学习方式转变的具
体方法
1.转变中学数学教师的传统观念
中学教学中不少概念、结论和方法由于受学生认知水平和接受能力的
限制,在中小学教材中都被简化处理,或以公式的形式给出,或通过个别
事例的分析、图形的观 察作一般性的推理。中学数学教师处于长期接触这
些被简化处理的教学模式,形成了一种思维惰性和定性 思维,总觉得自己
的数学能力足够教会学生,不愿意积极去思考和分析高等数学的问题,不
管数 学内容的来龙去脉,久而久之,中学数学教师把大学学习的高等数学
知识渐渐淡忘,造成了中学数学教育 只局限于中学数学学科本身的内容和
技能的教学,影响教师发展的广阔视野,忽视创新。
中学 数学教师应转变固有的教学理念,发展自身的数学水平,重拾起
高等数学的武器,去武装自己,充实自己 ,完善自己,不要一味的去灌输
知识,要引导学生自主学习,要以学生为中心,学习不是由教师简单地把
知识传递给学生,而是由学生自己建构知识的过程。
教师应做到 “学生为中心,教师为主导 ”。对教师提出了更高的要求,
教师必须具备足够的能力和教学技巧才能实现良好的教育氛围,这就要求
教师掌握具体的教学技巧(如讲授、讨论、合作学习等),并有足够的能力来
组织上课,调动学 生的积极性,具备很强的引导能力和解决课堂问题的能
力。教师应该学会如何运用技巧去引导和激发,而 不是支配学生的思维。
4

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