诺基亚2630浅析微积分在中学数学中的应用

2020年11月26日发(作者：潘冰蟾)
学号 2 编号 2013110152 研究类型 应用研究 分类号 O122
文理学院
College Of Arts And Science Of Hubei Normal University
学士学位论文
Bachelor’s Thesis
论文题目
作者姓名
指导老师
所在院系
专业名称
完成时间

傅朝金
数学系
数学与应用数学
2013年5月
浅析微积分在中学数学中的应用
湖北师范学院文理学院学士学位论文诚信承诺书
中文题目：浅析微积分在中学数学中的应用
外文题目：Application of calculus in mathematics teaching in middle
school
学生姓名

院系专业
数学系
数学与应用数学
学生学号
学生班级
2
0901班
学 生 承 诺
我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学 校有关规定，恪守学术规范，本人
毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽 窃、抄袭
他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况.如有违规行为，我愿承担一切责任，
接受 学校的处理.
学生（签名）：
年 月 日
指导教师承诺
我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规
范，经过本人核查，该生毕业 论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生
本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡 改实验数据的现象.

指导教师（签名）：
年 月 日
目 录
1.引言 1
2.中学微积分的基本数学思想方法 2
2.1“极限”思想 2
2.2化归思想 4
2.3微积分中的哲学与辩证的思想 5
2.4函数思想[1] 5
2.5数形结合思想 6
3.微积分在中学数学中的应用 6
3.1关于函数的单调性 6
3.2求函数的极值、最大值与最小值 7
3.3函数的变化性态及作图 8
3.4微积分在解方程中的应用 10
3.5不等式的证明 11
3.6恒等式的证明 11
3.7曲线的切线及求法 12
4.结语 13
5.参考文献 14
浅析微积分在中学数学中的应用
罗 （导师：傅朝金 教授）
（湖北师范学院文理学院数学系 中国 黄石 435002）
摘 要：微积分是大学 数学必修的基础课程，它的基本理论对中学数学有着重要的
指导作用.微积分的思想方法和基本理论有着 广泛的应用，与中学数学联系非常紧
密. 对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学 思想、函数的思
想、数形结合思想等都有不同程度的涉及.在讨论在函数的单调性、求函数的极值
和最值、函数的变化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证
明、曲线的切线及求 法时，使用微积分的方法，能起到以简驭繁的作用，以进一步
体现微积分与中学数学的联系.
关键词：微积分；函数性态；思想方法
中国图书分类号：O122
Application of calculus in mathematics teaching in middle school
Luo Fang (Tulor: Fu Chaojin Professor )
(Hubei Normal University College of Arts and Sciences, Department of
mathematics, China Huangshi 435002)
Abstract: Calculus is a compulsory basic course of university
mathematics, its basic theory plays an important role in middle school
mathematics. Way of thinking in calculus and basic theory has been
widely used, very close contact with the middle school
mathematics. Mathematics to calculus ideas, such as the ultimate
thinking, dialectical philosophy thought, the idea of function,
number form combining thought have got different involved. In the
discussion on monotonicity of function, and the extreme values of
a function, function changes of behavior and mapping, in the
application of calculus equation, inequality and identities,
tangent to the curve and calculating method, methods use the
calculus, can play the role of deduce simplicity into complexity,
to further reflect the calculus with the middle school
mathematics.
Keywords: Calculus; Functional properties; Thinking method

浅析微积分在中学数学中的应用
罗 （导师:傅朝金 教授）
（湖北师范学院文理学院数学系 中国 黄石 435002）
1.引言
2l世纪高科技高速发展，数学是高科技发展的基础，世界各国都非常重视数
学在各个领域的运用．我们广大教师，无论从事初等教育还是高等教育，一个重要
目标就是培养满足社 会需要的人才．相应地，数学教育的目的不仅要使学生掌握基
本的数学知识与技巧，更加重视发展学生的 能力．因此，如何培养学生数学的思维
能力和思想方法，做到学数学、用数学，养成勤于思考，用“数学 思维”去分析问
题、解决问题的良好习惯，全面提高学生的数学素养，是摆在数学教育工作者面前
一项既迫切又艰巨的任务．
在我国新制定的《数学课程标准》中写道：“数学可以帮助人们更好地探 求客
观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断，同时
为人们交 流信息提供了一种有效、简捷的手段．数学作为一种普遍适用的技术，有
助于人们收集、整理、描述信息 ，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造
价值．”这无论是在基础教育阶段还是高等教育阶段都 是数学教育目的所在．
数学思想方法是形成学生良好认识结构的纽带，是有知识转化为能力的桥梁.< br>在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技
研究型人才、迎 接新世纪高科技挑战的必由之路.作为一名中学数学教师，了解微
积分与中学数学的关系，掌握微积分在 中学数学中的应用，用较高的观点分析与处
理中学教材，这对提高中学数学教学是十分重要的.
微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用. 对微积分中蕴涵的主要数学思
想，如极限的思 想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度
涉及.本文同时举例说明微积分在函数 的单调性、求函数的极值和最值、函数的变
化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的 证明、曲线的切线及
求法方面的应用.
2.中学微积分的基本数学思想方法
所谓数 学思想，是指人们对数学理论与内容本质的认识，它直接支配着数学的
时间活动，是解决数学问题的根本 策略. 所谓数学方法，是指某一数学活动过程的
途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性 等特点.数学方法是解决数
学问题的手段和工具.数学思想方法是数学思想和教学方法的总称.数学思想 是对数
学知识与方法形成的规律性的理论知识,是数学方法的灵魂.数学方法是数学思想的
表现 形式和得以实现的手段.数学思想是对数学知识和方法的认识，数学方法是解
决数学问题、体现数学思想 的手段和工具.
微积分如今既是大学的重要基础课，也是高中新增加的数学课程的内容.微积
分的发展是很有趣的，其中思维方法极为重要，应引起我们在教学中的重视.对微
积分中蕴涵的主要数学 思想，如极限的思想、化归思想、辩证的哲学思想、函数的
思想、数形结合思想等从不同侧面都有不同程 度的研究.
2.1“极限”思想
所谓极限的思想是用无限的变化过程来研究有限的思想．它 是用有限描述无
限、由近似过渡到精确，更是一种工具、一种过程，特别是对于变化趋势的“无穷
小”过程，是高等数学的中心思想.“极限”思想方法揭示了常量与变量、有限与
无限、直线与曲线等 一系列对立统一及矛盾相互转化的辩证关系.其极限思想的本
质是人们通过对变化过程量的分析来把握变 化过程质的结果.这是一种极有价值的
思维方式.这种思维也是非常重要的，有利于学生形成辩证逻辑思 维，认识到数学
知识的统一性.
例如在求曲边梯形的面积时，经历了四个过程：化“整”为“ 零”，以“直”
代“曲”，积“零”为“整”，取极限四个过程．首先将曲边梯形任意分割成若干
个小曲边梯形，对每个小曲边梯形的面积用较接近的小矩形的面积作为近似替代，
分割得越细，近似程 度越精确，最后以小矩形面积之和得极限值作为曲边梯形面
积．即：
(1)化“整”为“零”：分曲边梯形为个小曲边梯形.

图2-1 图2-2
在区间
分成个小区间
长度依次为：
中任意插入若干个分点
，
，
，…，简记作
，…，.设
，把
，它们的
，经过每一个分 点作平行于轴的直线段，把曲边梯形
分成个窄曲边梯形，第个小曲边梯形的面积记作，.
(2)以“直”代“曲”：用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积.
在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形近
似替代第个小曲边梯形()，则有，.
(3)积“零”为“整”：求个小矩形面积之和.
把这样得到的个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即

.
(4)取极限：由近似值过渡到精确值，时，可得曲边梯形的面积
，求得曲边梯形的面积. < br>通过极限思想在这些概念中的应用，使学生体会到数学的思想方法是从现实生
活生产中产生的，并 可以应用到现实生活中去．
2.2化归思想
化归思想是指数学家们把待解决或未解决的问题 ，通过某种转化过程，把它归
结到某个(或某些)己经解决或简单的，比较容易解决的问题上去，最终求 得原问题
的解答的思想，其核心就是简化与转化．化归思想有三要素：化归对象(要化什
么)， 化归目标(化成什么形式)，化归途径(怎么化)．在化归思想中，“转化”是
关键．认知心理学认为: 新知识的获得，新概念的形成，总要以旧知识为基础进行
组织和构造的．即把新旧知识建立起联系，而这 种联系常常用到化归思想．可见，
化归思想贯穿于数学教材的始终，贯穿于解题过程的始终，它是最重要 的、应用最
广的数学思想．化归思想实际上是我们在研究问题时通过“去伪存真”，改“正面
进 攻”为“迂回侧攻”来简化问题的一种手段，以此来认清问题的数学本源，达到
顺利解决问题的目的．
例如在高等数学中常常利用化归原则，把反三角函数求导，复合函数求导，转
化为导数的四则运 算法则与基本初等函数的求导公式；根据复合函数求导法则，把
普通初等函数求导及参数方程求导转化为 导数的四则运算法则与基本初等函数的求
导公式；将函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点等问题判 定转化为其(二阶)
导函数的值的问题；将曲边四边形面积和旋转体的体积转化为定积分问题；也常将< br>实际问题通过建立数学模型后转化为定积分运算来求解．像这种用化归思想方法解
决实际问题从方 法论角度说就是“化归原则”．一般说来，可以按下面的几种方式
实施问题的转化：陌生问题熟悉化；复 杂问题简单化；抽象问题形象化；命题形式
的转化；引入辅助元素的转化．化归原则在解决问题时的一般 模式为:

还原
图2-3 求曲边梯形的面积时，“一条曲线边”影响着问题用以往的知识的解答，是解
决问题的矛盾的所在. 然而，将进行任意分割个小区间后，得到了个小曲
边梯形.通过“以直代曲”，即对每个小曲边梯形面积 近似替代，则“曲”变
“直”，问题迎刃而解.

还原
图2-4
可见，化归思想在解决应用问题和数学建模过程中应用非常广泛．
2.3微积分中的哲学与辩证的思想
微积分中的哲学思想、辩证的思想是微积分中的又一主要 数学思想.微积分学
是变量数学的主要组成部分，它本身就包含着唯物辩证法的丰富内容，如：量变到< br>质变、特殊到一般、具体到抽象、近似到精确.在它的每一个定义、公式和法则中
无不闪烁着唯物 辩证法的光芒.微积分学中，通过曲线的切线研究曲线的性质，就
是将曲线线性化，即以直代曲.又如微 分与积分作为微积分的核心内容，微分是由
整体研究局部性问题，而积分是由局部来研究整体问题.它们 是两个互逆的过程，
也是对立统一的.
2.4函数思想[1]
函数思想是函数概念 、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指
导方法，是由研究状态过渡到研究变化过程的思 想．辩证唯物主义认为，世界上一
切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，静止是相对的．函数思想 是客观世界
中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映，它的本质是变
量 之间的对应．以这种观点去分析函数的思想，不难看出，函数是自变量与函数值
的“绝对运动”，才换
来了等式的“相对静止”．从而将两种方式对函数的定义统一于运动静止的体系
中．要想辩证的 理解好这两种“运动”形式，就要求我们教学中重视函数的思想方
法的教学．
微积分就是以极限的思想研究函数的特性的学科，经常要用到函数思想方法去
分析处理问题. 如导函数(导数)就是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着
函数思想：一个函数在某区间内的每 一点都有导数，则该区间内每一个确定的值都
对应一个确定的导数，即在该区间内构成一个新的函数—— 导函数.由定积分知
道，原来的函数称为原函数．这里建立两个函数之间的联系，在解决其中一个函数< br>的问题时，可转化为另一个函数问题来解决(化归思想)；函数的单调性、凹凸性、
函数的极值， 最值(尤其在经济问题中函数的最值应用题)经常要考虑到函数思想方
法；拉格朗日中值定理证明及其运 用均需构造合适的函数．
函数是微积分研究的主要对象，函数思想方法是学习微积分的基础，其在微积
分的学习过程中得到升华和内化．函数与方程有非常密切的关系，方程的根可视为
其相应函数在 某种特定状态数学思想方法及其在微积分教学中的运用研究下的值．
因此当研究方程问题时，特别是证明 方程根的存在性及个数时，我们可以采用函数
的思想，这样往往可以起到化难为易、化繁为简的效果，大 大简化解题的步骤.
2.5数形结合思想
微积分的许多概念都来源于实际，都有其几何或物 理意义，不少结论也反映了
某种几何关系或性质．如导数与曲线的切线密切相关、定积分表示曲边梯形的 面
积、积分中值定理反映了图形的面积之间的关系等.这就决定了数形结合法成为微
积分中的一 个重要思想方法.因此，在微积分的教学中，对某些知识，应从思想方
法角度去分析，把握其本质联系， 使一些看似静止孤立的知识成为有机联系的动态
的知识，使学生逐步掌握系统、完整的知识结构.
3.例说微积分在中学数学中的应用
3.1关于函数的单调性
中学数学中讨论函数
任取，若
，则
点是函数表达式复杂时判断
的单调性，用的是定义法，即在定义 域某区间上
，则在该区间单调递增，若
在该区间单调递减.该方法的优点是直观易懂，其缺的正负比较困难，往往运用较高技巧，且
，再考虑适用面也较窄[2].运用微积分方法讨论函数单 调性时，只需求出
的正负即可.该方法简单易行，不需太多技巧，且适用面也宽.
例1 已知函数
解
当
的定义域为
时，



所以，在

-
，
，讨论
，
的单调性.
，令，得，
的变化情况如下：


极小值

+

上的最小值是.