乐嘉性格色彩测试题数学归纳法在中学数学中的应用

2020年11月26日发(作者：崔玉莲)
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篇一：数学归纳法在中学数学中的应用
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数学归纳法在中学数学中的应用
作者：冀萍
来源：《软件·教育现代化》2015年第05期
[摘要]数学归纳法是根据归纳原理应用演绎推理 的一种特殊的数学推理方法，它在许多数
学问题的证明中起着重要作用。本文主要阐述了数学归纳法的本 源以及其它形式，并且列举
出数学归纳法在解决数学问题方面的应用。
[关键词]数学归纳法 本源 命题
篇二：数学归纳法在中学数学教学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学教学中的应用
摘要：数学归纳法是一种十分重要的数学论证方法，常用于 与正整数有关命题的证明。本
文是从数学归纳法的概念、正确的应用数学归纳法、灵活的应用数学归纳法 来说明数学归纳
法在中学数学教学中的应用。
关键字：数学归纳法；正确、灵活的应用
引言
数学归纳法是一种十分重要的证明方法，在数学学习中的应用十分广泛，而首先使 用数学
归纳法的是意大利数学家马奥罗修勒斯，他在1575年的著作《算术》中，用数学归纳法证明了前n个正奇数之和是2n。正是有了这个方法，我们在中学的数学学习中，数学归纳法
被广泛用 来解决一些数列、不等式、整除等问题。
一、数学归纳法的概念
在介绍什么是数学归 纳法的之前，我们先来看看我国著名数学家华罗庚是这样评价数学归
纳法的：“把数学归纳法学好了，对 进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，
也会有所裨益。[1]”由此可见数学归纳法是多 么重要，那么究竟什么是数学归纳法呢？
数学归纳法就是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特 殊方法，它主要是从特殊到一
般的思想，它使我们能够在一些个别事例的基础上，对某个普遍规律做出判 断，作为证明某
些与自然数有关的命题的一种推论方法，在解数学题中有着广泛的应用。在高中数学中常 用
来证明等式成立和数列通项公式成立。那么用数学归纳法论证的一般步骤是什么呢？第一步
是 证明命题n?n0时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n?k时命题成立，再证明当n?k?1
时 命题也成立，这是无限递推下去的理论依据。
而数学归纳法所依据的数学公理是意大利数学家皮亚诺 提出的皮亚诺自然数公理的的第五
条（归纳公理）：任意一个自然数集合N，1属于N；假定N包含n， N也一定包含后继数
n?，则N包含所有自然数。[2]
归纳公理用准确的逻辑术语表达了自 然数的性质，这是数学归纳原理的数学依据。从1开始，
一个一个地选取可以达到任意自然数。这样一下 子把整个自然数的无穷集合引入到论证中
去，从而清楚地阐明了，为什么数学归纳法只用证两步，命题就 被证明了。
而这两种数学归纳法也数学归纳法有第一数学归纳法、第二数学归纳法等。
是最常用的方法。
第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果
①?? 当n?n0(n?N?)时，P(n)成立；
② 假设当n?k(k?n0,k?N?) 时，P(n)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立，那么根据①、②
知对一切正整数N?，n ?n0时，P(n)都成立。
第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果
①?? 当n?n0(n?N?)时，P(n)成立；
② 假设n?k(k?n0,k ?N?)时，P(n)也成立，由此推证n?k?1时，P(n)也成立，那么根据①、②
对一切正整数 n?n0时，P(n)都成立。
在数学学习中，我们除了要掌握一些基本的计算问题外，还必须要 求证明论断的正确性的
问题，也就是所谓的“证明题”，解决这些证明题就是要作一整串的推理，而这些 推理方法
一般只是在有限的问题才能使用，我们把范围扩大为无限时，还能用这些方法解决问题吗？ < br>在数学里，常常要求对全体的对象来下结论，并且希望能证明我们的判断是正确的，那么这
个问题 将怎样解决呢？很明显，数学归纳法是解决这个问题的一种方法并且数学归纳法是严
格的证明方法，并不 是提供猜想的方法，它可以通过“有限来解决无限”的问题，使我们所
用的归纳法成为完全归纳法，从而 证明了论断的正确性。
二、正确的应用数学归纳法
有的人会认为数学归纳法很简单，就是那么两步：① 当n?1时，命题成立；② 假设n?k
时，命题也成立，由此推证n?k?1时，命题也成立，那么根据①、
②这个命题就成立了。
看似真的很简单，但是真的将数学归纳法应用到实际数学问题当中就会存在很多问题。
例1 用数学归纳法证明：
1?2?3?……?n=n(n?1),(n?N?) 2
证明：（1）当n?1时，原式左边=1，原式右边=1，原式左边=原式右边，故等式成立。
k(k?1)成立； 2
(k?1)(k?2) 当n?k?1时，1?2?……?k?(k?1)?。 2
(k?1)[(k?1)?1](k?1)(k?2)而 ?22 （2）假设n?k时，这个等式成立。即1?2?……?k?
所以n?k?1时，原等式同样成立。
由归纳原理可知：1?2?3?……?n=
这个证明对吗？
不仔细看，上面 的证明方法好像是正确的，上面的证明似乎也应用了数学归纳法的两个步
骤，特别的第二步也有了从“k ”到“k?1”的论证，但是事实上在证明1?2?……?k?k?(
1?2?……?k?(k?1k)?(?22)的时候根本没有应用n(n?1),(n?N?)成立。 2k(k?1)这个式子作为基
础来导出上面的等式，所谓的“k”到2
“k?1”的论证只不过是要把证明的等式写出来加以“注解”而已，等于什么事也没有做。
然而正确的做法应当是这样的：
当n?1时，原式左边=1，原式右边=1，原式左边=原式右边，等式成立。 假设n?k时，这
个等式成立。即1?2?……?k?k(k?1)成立； 2
这时把等式的左右两边同时加上k?1，得： 1?2?……?k?(k?1)?k(k?1)?(k?1)2
k2?k2k?2k2?3k?2(k?1)(k?2)(k?1)[(k?1)?1]?????22222
也就是说当n?k?1时，上式成立。
由归纳原理可知：1?2?3?……?n=n(n?1)成立。 2
例2[3] 是否存在常数a，b，c，使得等式
1?22?2?32???n??n?1??2n??n?1?
12?an2?bn?c?
对于一切正整数n都成立？证明你的结论。
思路 分析：从特殊入手，探索常数a，b，c的值，考虑到了有3个未知数，先取n?1，n?2，
n?3代 入等式，得方程组，求出a，b，c的值，然后用数学归纳法证明对于一切正整数n都