脚吧毕业论文-数学归纳法及其在中学数学中的应用

2020年11月26日发(作者：孟昭亮)

毕业论文-数学归纳法及其在中学数学中的应用


毕 业 设 计论文
数学归纳法及其在中学数学中的应用
Mathematical Induction and the Application in Middle School
学 院理学院
专 业 数学教育
学 号21008050222
姓 名
指导教师
二〇一二年六月
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摘 要
数学归纳法是一种非常重要的数学方法它不仅对我们中学数学的学习有着
很 大的帮助而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法数学归纳法对
公式的正确性检验中也有着很 大的应用数学归纳法是将无限化为有限的桥梁主
要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式数学归纳法在 中学数学中的整除问
题恒等式证明公理证明排列和组合几何领域等都有着广泛的应用这里我们主要
结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学中的应用要准确的运用数学归
纳法首先必须准确的理解 其意义以及熟练的掌握解题步骤而在三个步骤中运用
归纳假设尤为关键运用归纳假设推出猜想最为重要最 后我们在通过用数学归纳
法证明简单恒等式的过程中可以更加深刻理解和掌握归纳猜想证明这一探索发< br>现的思维方法
关键词归纳法 数学归纳法 中学数学 证明
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ABSTRACT
Mathematical induction is a very important mathematical methods it
is not only to our middle school mathematics learning have great help but
also in higher mathematics after the study and research is also an
important way Mathematical induction to the correctness of the formulas
of the inspection of the application of also has the very big Mathematical
induction into the limited is infinite bridge mainly discusses the
relevant proposition about natural number set or identities Mathematical
induction has wide application in middle school mathematicssuch as the
problem of divisionthe proof of identitythe proof of axiompermutations
and combinationsgeometryhere we main combination junior middle school
teaching material to a detailed list mathematical induction in the middle
school mathematics application To the application of mathematical
induction skilled we must first accurately understand its significance
and skilled The master problem-solving steps and in three steps into the
use of assumptions is particularly critical the use of assumptions
summarized introduced guess the most important In the end we proved that
by using a simple mathematical induction identities in the process can
more deeply understand and master up - guess - provethis
discovery to explore ways of thinking
Key words induction mathematical induction middle school mathematics
proof
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目 录
绪论 1
01 问题的提出与课题意义
问题的提出 1
课题的研究意义 1
1 数学归纳法概述 2
2
1
11 数学归纳法的相关概念
归纳法和演绎法 2
数学归纳法 3
数学归纳法与归纳法的关系 3
12 数学归纳法的基本原理及其其它形式 4
数学归纳法的基本原理 4
数学归纳法的其它形式 5
13 数学归纳法的步骤 8
数学归纳法的步骤 8
三者缺一不可 8
11
11
2 数学归纳法在中学数学中的应用
21 数学归纳法在中学数学中的具体应用
运用数学归纳法解决整除问题
运用数学归纳法证明恒等式 11
运用数学归纳法解决不等式问题 13
数学归纳法在排列和组合中的应用 15
11
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运用数学归纳法解决几何领域问题 15
22 毕业实习中的案例 16
到时的变化 16
忽略时的假设条件 17
总 结 19
致 谢 20
参考文献
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21


绪论
01 问题的提出与课题意义
问题的提出
高中数学教科书中 我们已经学习过数学归纳法在高中阶段学生主要是通过
了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明其他表达 式的成立学生也往往满足于
时命题成立那么时命题也成立的证明方法数学归纳法是一种重要且独特的证明
方法对与自然数有关的命题证明是可行有效的它使学生了解一种化无限为有限
的辩证思维方法而 且它又不是那么直观易懂的学生在学习数学归纳法的过程中
总会产生一个这样的疑问在用数学归纳法证明 表达式中证明三步骤是不是真的
完整呢真仅是纯粹的假设一旦不真用它去推真岂不是无稽之谈即使推出真 能保
证真吗如果让学生带着这种疑问去学习数学归纳法肯定会影响他们的学习情感
的当然老师会 说这是非常完整的那么他们又是根据什么原理来说明自己是正确
的呢我想如果能够对学生们讲清楚数学归 纳法的本质和由来可以使学生更好的
理解数学归纳法和它的运用在用数学归纳法证明恒等式时当然我们会 知道这个
恒等式肯定是正确的那么它又是如何被前人计算出来的呢数学归纳法只是证明
这个等式 的正确性而不能求解可见数学归纳法也有着自己的限制和适用围那么
在这个等式的成立过程中数学归纳法 到底扮演一个什么样的角色呢要解决这些
问题都要求我们对数学归纳法有着深刻的理解
课题的研究意义
数学归纳法学好了学透了对进一步学好高等数学有所帮助甚至对认识
数学的性质也会有所裨益[1]数学归纳法应用比较广泛可以说是关系到自然数的
结论都可以用它来验证 弄懂数学归纳法的本质可以使学生更好地掌握数学归纳
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法学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力观察能力数学化能力逻辑思
维能力和解决综合 性问题的能力另外它也是初等数学与高等数学衔接的一个纽
带是初等数学中非常重要的一部分了
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1 数学归纳法概述
11 数学归纳法的相关概念
归纳法和演绎法 归纳法是以考察特殊个别的情况后作出的论断作为基础再从这些个别情况
的论断归纳出一般的结论也 可以说它是从特殊到一般的推理方法一般的说归纳
法可分为两种一种是不完全归纳法另一种是完全归纳法
1 不完全归纳法它是只验证了部分特殊情况而推测出一般情况也成立的归
纳法不完全归纳法的推理模式是
设是研究对象的所有情况的集合
若具有属性
若具有属性
若具有属性
则集合中任一元素都具有属性注意在对研究对象的考察是不完全的
归纳法中的不完全归纳法只 能提供一种推测这时可能猜对也可能猜错例如
法国数学家费马曾考察如的数他发现当时的值分别为是质数 于是归纳法结论所
有形如这样的数都是质数然而欧拉发现当时是个合数这就证明费马的猜测是错
误的
尽管不完全归纳法提供的猜测可能出错但它却是发现真理的强有力手段德
国数学家高斯就 说过他的许多定理就是靠归纳法发现的作为一种创造思维方法
它在数学真理概括方面有着很重要的作用
2 完全归纳法它是验证了全部特殊情况从而断言结论成立的归纳法它的推
理模式是
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设是研究对象的全面几种情况的集合
若具有属性
若具有属性

则集合中的任一元素都具有属性
显然完全归纳法得到的结论是可靠的它可以比作为数学严格推 理论证方法
初中平面教材中的圆周角定理的证明就是利用完全归纳法证明分三种情况 1 圆
心在圆周角一边上 2 圆心在圆周的部 3 圆心在圆周的外部因为只有三种情况
因此把每种情况证明以后就可归纳出圆周角定理
演绎法它 主要是从一般的定义公理和已经被证明了的定理基础上推理导出
特殊的判断也可以说它是一般到特殊的推 理方法如在初中教材中下面的一个例
子就是运用了演绎法
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com已知直线与相交求证
证明因为
所以同位角相等
又因为对顶角相等所以等量代换
图1 平行相交
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数学归纳法
数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一它在数学各个分支里都有广泛应用该方法早期叫逐次归纳法始见于英国数学家得摩根1806-1871或完
全归纳法始见 于德国数学家戴德金1831-1916但后来人们更喜欢用数学归纳法
的名称因为它更能体现论证的严 格性和科学性而不与逻辑学中的归纳法混淆数
学上最早使用数学归纳法的人首推法国数学家帕斯卡162 3-1662但他并未确立
方法的理论依据直到意大利数学家皮亚诺Peano1855-1932[2 ]
在高中阶段我们把这样的一种证明方法定义为数学归纳法即时成立假设当
时成立能够推出当 时也成立
数学归纳法其实还有着它的变着后面我们将对数学归纳法的其它形式进行
探讨
数学归纳法与归纳法的关系
归纳法通过观察和组合特殊的例子来发现普遍规律的过程的 方法在所有学
科中都有应用其结论往往超出前提控制的围所以人们称它是开拓性的思维方法
也正 因为结论超出了前提的管辖围前提就无法保证结论为真所以归纳法只能是
或必然性的真理和归纳法不同数 学归纳法所证明的结论是完全可靠的所得的结
论完全蕴含于前提中所以人们称它为封闭式或收敛性的推理 方法只要前提真实
逻辑形式正确结论必然真实但数学归纳法只用于数学用来证明某种定理属于论
证的畴是一种演绎法因此把数学归纳法称为归纳法实在是不适宜的因为在这两
种过程之间没有什么逻辑联 系然而在数学中两种方法常常结合使用归纳法由于
所考察的对象不完备性它所得的结论不一定可靠这就需 要数学归纳法对其进行
证明从而保证结论的正确可以说归纳法与数学归纳法是相互联系互为补充的两WORD版本 .

种推理方法归纳法是数学归纳法的基础数学归纳法是归纳法的前导归纳法为数
学归纳法准备条件 数学归纳法为归纳法提供理论依据
恩格斯指出归纳和演绎正如分析和综合一样是必然相互联系着的不应 该牺
牲一个而把另一个捧到天上去应当把每一个都用到该用的地方而要做到这一点
就只有注意它 们的相互联系和相互补充[3]
12 数学归纳法的基本原理及其其它形式
数学归纳法的基本原理
在了解数学归纳法的基本原理前我们不妨先来回想一下小时候对正整数< br>的认识过程首先父母叫我们数后来数有必有每一个正整数后面都有一个正整数
于是我们说会数数了 事实上数学归纳法正是基于这样一个简单原理
数学归纳法来源于皮亚诺自然公理自然数有以下性质
1 是自然数
2 每一个确定的自然数都有一个确定的随从也是自然数
3 非随从即
4 一个数只能是某一个数的随从或者根本不是随从即由
一定能推得
5 任意一个自然数的集合如果包含并且假设包含也一定包含的随从那么这
个集合包含所有的自然数
后来因为把也作为自然数所以公理中的要换成
其中的性质 5 是数学归纳法的根据有了这一原理就有了数学归纳法
设是与正整数有关的数学命题如果
1 命题当时正确即正确
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2 在假设正确的前提下可以证明命题也正确那么命题对任意正整数都
是正确的 < br>数学归纳法的正确性验证是根据数学归纳法的原理能否完成对与自然数有
关命题的无限次论证即数 学归纳法是否可靠下面我将结合正整数最小原理即任
何非空正整数集合一定含有最小数来验证数学归纳法 是否正确
命题任何非空正整数集合一定含有最小数
证明在这集合里任意取一个数大于的不必 讨论了我们需要讨论的是那些不
大于n的自然数里一定有一个最小的数
应用归纳法如果它本身 就是自然数里的最小的数如果这集合里没有小于的
自然数存在那么就是最小的也不必讨论了如果有一个那 么由数学归纳法的假设
知道集合里不大于的自然数一定有一个最小的数存在这个数也就是原集合里最小的数即得证
反过来也可以用这个性质来推出数学归纳法
假设对于某些自然数是不正确 的那么一定有一个最小的自然数使这个命题
不正确也就是当的时候命题正确而当的时候这个命题也不正确 这与归纳法的假
定是矛盾的
也许从理论上来看我们有可能还不是很懂得数学归纳法原理的正确 性我们
可以从我们生活上的例子比较直观的理解它
从袋子里摸球问题
如 果袋子里的东西是有限的总可以把它摸完而得出一个确定的结论但
是当东西是无穷的怎么办如果有这样一 个论证当你这一次摸出红玻璃球的时候
下一次摸出的也一定是红玻璃球那么在这样的保证下只要第一次摸 出的确定是
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红玻璃球就可以不再检查地作出正确的结论袋里的东西全部是红玻璃球
上面的道理采 用形式上的讲法也就是有一批编了的数学命题能够证明
第号命题正确如果能够证明在第号命题正确的时候 第号命题也正确那么这一批
命题就全部正确
数学归纳法的其它形式
数学归纳法 原理本质上来看由两个重要步骤构成首先是奠基步这往往比较
容易但却是必须的然后需要一个一般意义的 演绎规则按照这个演绎规则反复应
用从奠基步开始在有限步之达到任意指定的情形通常这个一般的演绎规 则是从
所谓的归纳法假设开始从较少规模成立的假设推导出较大规模的情形成立从而
建立一个一 般的演绎规则因此从这一本质出发数学归纳法可演绎出丰富的变着
概括起来有两个方面一是奠基点的前提 或后推增多或减少二是递推跨度和递推
途径的变通而正是因为是变着的多样性和应用技巧的灵活性才使数 学归纳法显
示出广泛的应用性
1 不一定从开始也就是数学归纳法里的两句话可以改成如果 当的时候这个
命题是正确的又从假设当时这个命题是正确的可以推出当时这个命题也是正确
的那 么这个命题时都正确这是第一数学归纳法的变着也叫做跳跃数学归纳法
com求证边形个角的和等于
这里就要假定
证明当时我们知道三角形三个角的和是所以当时命题是正确的假设当时命题也是正确的设是边形的顶点做线段它把这个边形分成两个图形一个是边形另
一个是三角形并且边形 角的和等于后面两个图形的角和的和就是
也就是说当时这个命题也是正确的因此定理得证
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2第二句话也可以改为如果当适合于时命题正确那么当时命题也正确
由此同样可以证明 对于所有命题都正确这种属于第二数学归纳法的变着
com我们知道对于任意自然数有反之若且有成立吗
证明当时由及得命题成立
假设当时命题成立即
当时因为
又
于是
因为所以
又因为故
解得
或
所以时命题也成立从而对任意自然数命题成立
3 设是关于自然数的命题若对无限多个自然数成立假设成立可推出成立则
命题一切自然数都成立
com已知是定义在上又在上取值的函数并且 2 对于任何有当时有求证在上
恒成立
证明 先证有无限多个自然数使得取 是任意自然数 对用第一数学归纳法证
明
1由条件可知当时公式成立
2考虑情形时由可见公式对成立这就证明了有无限多个自然数使得
再证若则
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