各地特色菜数学建模A题(含代码)

2020年11月26日发(作者：许永德)
2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后 参赛队员不能以任何方式<包括电
话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人<包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。b5E2RGbCAP

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的
成果或其他公开的资料<包括 网上查到的资料），必须按照规定的参
考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
p1EanqFDPw

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平
性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。DXDiTa9E3d

我们参赛选择的题号是<从A/B/C/D中选择一项填写）：
A

我们的参赛报名号为<如果赛区设置报名号的话）：

所属学校<请填写完整的全名）： 华南师范大学增
城学院

参赛队员 (打印并签名> ：1. 何高志

2. 曾庆东

3. 曾利

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名>：

日期：2018 年8月
16日


赛区评阅编号<由赛区组委会评阅前进行编号）：
2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页

赛区评阅编号<由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录<可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人

评
分

备
注

全国统一编号<由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号<由全国组委会评阅前进行编号）：
制动器实验台的控制方法分析
摘要

本文在专门的汽车行车制动器实验台上对所设计的路试进行模
拟实验， 检测汽车的行车制动器的综合性能，检验设计的优劣。针
对此问题，我们结合实际，对转动惯量、补偿惯 量、驱动电流、控
制方法等问题作了深入详细的分析，建立了相应的数学模型，较好
地解决了制 动器实验台的控制方法分析问题，并且对模型和结果进
行了评价和分析。RTCrpUDGiT

对于问题1，根据转动惯量的表达式，结合力学知识，代入数据
从而求得车辆单个前轮滚动的等 效转动惯量约为52
5PCzVD7HxA

对于问题2，首先需要理解机械惯量与飞 轮单个惯量、基础惯量
和电动机补偿惯量之间的关系。根据题意，进行推断，可知机械惯
量是组 合问题。即飞轮组与基础惯量可以组合8种数值的机械惯
量。问题1中得到等效的转动惯量52，且电动 机能补偿的能
。
量有限，所以符合题意，在范围内的有2种，分别为飞轮1加基础
惯量 ；飞轮2加基础惯量。且可得需要电动机补偿的惯量分别为
12，-18。jLBHrnAILg

对于问题3，飞轮做圆周运动根据角速度与线速度、半径的关
系，结合问题2中得出符合题 意的补偿惯量，联立转动定律，可求
得其扭矩。且电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，比例系数< br>取为1.5，因此可求得驱动电流分别为
xHAQX74J0X

对于问题4， 我们使用软件画出扭矩随时间、转速随时间
的变化曲线，由此可知转速与时间近似成一次函数的关系，且 汽车
在制动的时候载荷是一个恒定不变的力，即角加速度恒定不变，方
向与其运动方向相反，所 以做匀减速运动。通过软件进行具体
数值处理，根据能量守恒，转动动能，可知飞轮组产生的能量供给< br>不足，需要电动机补偿供给。对该控制方法进行评价的标准是能量
误差，我们计算的能量误差为5 .53%，相对较小，接近实际情况。
LDAYtRyKfE

对于问题5，根据问题 3的数学模型，已知前一个时间段的瞬时
转速与瞬时扭矩，结合转动定律，使用进行拟合，得前一个时间段的转动惯量与时间的函数。把现阶段的时间段平均分为足
够小，可视为瞬时时间，代入即可得 现阶段转动惯量，再结合驱
动电流与扭矩成正比，因此可求得驱动电流。评价：和拟合的次
数都 是可以在现阶段自行设置的，该方法的确信性是可以控制的，
且可行的。Zzz6ZB2Ltk

对于问题6，根据问题5的控制方法的不足之处进行改进，提高
该计算机控制方法的精确性。我 们可以使角加速度精确即对角加速
度进行拟合，并可通过增加其驱动电流来完善该计算机的控制方
法。评价：对角速度进行了细化，提高结果的准确性。dvzfvkwMI1

关键词：转动惯量 机械惯量 补偿惯量 曲线拟合 转动动能

一、问题重述

当今社会，伴随着经济的高速发展和人民生活水平的逐步提
高 ，城市交通问题是社会经济发展的必然结果，全国大中城市普遍
存在着道路拥挤、车辆堵塞、交通秩序混 乱的现象。给人们的出行
带来不便，甚至危及生命，车辆设计中最重要的环节之一：制动器
的设 计，直接影响着人身和车辆的安全。rqyn14ZNXI

汽车制动器是指产生阻碍车辆运动 或运动趋势的力<制动力）的
部件，其中也包括辅助制动系统中的缓速装置。汽车上一般都设有
脚制动和手制动两套独立的制动机构。使用制动的目的是强制汽车
迅速减速直至停车，或在下坡时维持一 定车速，另外，还可用来使
停歇的汽车可靠地保持在原地不溜滑。在行车中，正确使用制动，
不 仅有利于保证行车安全，而且有利于节约燃料，减少轮胎磨损，
防止机件损坏。EmxvxOtOco< br>
为了检测制动器的综合性能，对所设计的路试进行模拟实验。
模拟实验的原则是实验台 上制动器的制动过程与路试车辆上制动器
的制动过程几乎一致。制动器实验台一般由安装了飞轮组的主轴 、
驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控
制系统等组成。被实验的制 动器安装在主轴的一端，当制动器工作
时会使主轴减速。实验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础
惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固
定到主轴上，这些飞轮的惯量 之和再加上基础惯量称为机械惯量。
在制动过程中，电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由< br>于机械惯量不足而缺少的能量。电动机的驱动电流与其产生的扭矩
成正比，比例系数取为1.5， 且实验台工作时主轴的瞬时转
速与瞬时扭矩是可观测的离散量。电动机驱动电流与时间常用计算
机控制，即把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10
为一段，然后根据前面时间段观测到的 瞬时转速与瞬时扭矩，设计
出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。
Six E2yXPq5

因此，我们根据制动器实验台的结构、工作原理及其它相关知
识，主 要解决和分析制动器实验台的控制方法并对该方法进行评
价。6ewMyirQFL

要求并解决以下问题：

1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 ，制动时承受的载
荷为6230，求等效的转动惯量。

2. 飞轮组由3个外直径1 、内直径0.2 的环形钢制飞轮
组成，厚度分别为0.0392 、0.0784 、0.1568 ，钢材密度为
7810 ，基础惯量为10 ，问可以组成哪些机械惯量？设
，对于电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30]
问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？
kavU42VRUs

3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。基于前
2问的条件下，假设制动 减速度为常数，初始速度为50
5.0秒后车速为零，计算驱动电流。y6v3ALoS89

，制动
4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48
量为35
，机械 惯
，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分
的情况，用某种控制方法实验得到的 数据见钟，时间步长为10
附表。请对该方法执行的结果进行评价。M2ub6vSTnP

5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测
到的瞬时转速与/或瞬时扭矩 ，设计本时间段电流值的计算机控制方
法，并对该方法进行评价。0YujCfmUCw

6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新
设计一个尽量完善的计算机控 制方法，并作评价。eUts8ZQVRd

二、问题分析

解决问题1中， 求等效的转动惯量，指这载荷在车辆平动时具
有的能量。已知在制动器实验台上，车辆单个前轮滚动，制 动时承
受的载荷，运用力学重力公式，可得知质量这个物理量。根据转动
惯量公式，已知半径与 质量，可求得等效的转动惯量，解决此问
题。sQsAEJkW5T

解决问题2中， 那些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械
惯量。假设有4个飞轮，且知道其单个惯量和基础惯量，则 可以组
成16种数值的机械惯量。可以进行大胆的推测，机械惯量是由飞轮
组的惯量与基础惯量 的组合，即问题2的第1小问就是组合问题。
根据组合的知识，解决此问题。电动机能补偿的能量相应的 惯量的
范围为 [-30, 30]
52
，对于问题1中的等效的转动惯量
，需要用电动机补偿多大的惯量，即问题1的转动惯量减去
问题2的8种机械惯量就是电动机能补偿的惯 量，因为电动机能补
偿的能量有限，因此计算出的结果补偿惯量要在[-30, 30]
围内，即解决此问题。GMsIasNXkA

解决问题3中，由题意知实验台采用的 电动机的驱动电流与其
产生的扭矩成正比，且比例系数取为1.5。所以要求得扭
范
矩 ，就要应用转动定律进行求解，结合问题2中符合题意的补偿惯
量
题。TIrRGchYzg< br>
解决问题4中，对控制方法的结果进行评价，评价控制方法优
劣的一个重要数量指标是 能量误差的大小，本题中的能量误差是指
所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程 中
消耗的能量之差。即我们需要计算路试时的制动器所需的能量和实
验台上飞轮组产生的能量。 通过软件进行绘图，可知扭矩与
软件进
和飞轮转动的角速度，就可以解决此问
时间、转 速与时间的关系，并且接近实际情况。再通过
行数据处理，结合角速度与转速、转动惯量与机械惯量、转 动动能
的关系，从而求得所设计的路试时的制动器消耗的能量与相对应的
实验台上制动器在制动 过程中消耗的能量，进行对比求得百分比，
是否符合实际，从而解决对控制方法的评价。7EqZcWL ZNX

解决问题5中，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与瞬
时扭矩，那么就 通过软件对前一个时间段的瞬时转速进行曲
线拟合，可以知道拟合得到的函数是个一元一次函数，斜率就 是角
加速，且角加速度是一个定值，通过前一个时间段瞬时扭矩
可以得到转动惯量随时间变化的 函数；然后把转动惯量函
数减去机械惯量就可以得到补偿惯量了，然后对转动惯量进行曲
线拟合 ；再把现阶段的时间代入拟合得到的转动惯量函数，这样
可得到现阶段的转动惯量，从而就可得到现阶段 的驱动电流。评
价为，因拟合曲线次数越高准确性就越高，、越大准确性越高，
和拟合的次数 都是可以在现阶段自行设置的，所以该方法的确信
性是可以控制的，该方法是可行的。lzq7IGf0 2E

解决问题6中，与解决问题5相似，根据问题5的控制方法的
不足之处进行改进 ，给出上一阶段的物理量求现阶段的物理量不足
之处：平均角加速度的取值、拟合曲线等不够精确。因此 我们要使
角加速度精确可增加其驱动电流。提高该计算机控制方法的精确
性。即我们可以使角加 速度精确，对角加速度进行拟合，并可通过
增加其驱动电流来完善该计算机的控制方法。评价为：在第五 问的
基础上对角速度进行了细化，使得结果的准确性提高了。如果上一
个时间段的时间够长，则 增加的电流值就不需要增加多少了。
zvpgeqJ1hk

三、模型假设

1、重力加速度g取为9.8 ；

2、 实验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过
程几乎一致；

3.、假设轴之间摩擦产生的热忽略不计；

4、加载时力矩建立时间很短，可以忽略；

5.、假设制动器工作时的制动力恒定；

6、忽略实验数据的获得过程的主观误差和仪器误差；

7、假设实验过程中没有任何仪器损坏现象；

8、假设计算机能够完全实现所需要进行的控制方法 ；

9、假设本文的频率与转速意义相同。

四、符号说明

符号

说明

载荷

重力加速度

滚动半径

转动惯量

环形钢制飞轮的钢材密度

基础惯量

环形钢制飞轮的单个惯量

环形钢制飞轮的厚度

环形钢制飞轮的内半径

环形钢制飞轮的外半径

角速度

速度

















扭矩

第种情况下的电动机补偿的
惯量

角加速度

驱动电流








刚体绕定轴转动的能量

所设计的路试等效的转动惯
量

主轴的初转速

主轴的末转速

所设计的路试的机械惯量

第段时间的扭矩

第段时间转过的角度

五、模型的建立与求解

（一）
问题1

等效的转动惯量 ，指这载荷在车辆平动时具有的能量。已知在
制动器实验台上，车辆单个前轮滚动，制动时承受的载荷， 运用力
学重力公式：NrpoJac3v1


已知半径与质量，
式：

。根据转动惯量公

（二）
问题2

、由3个外直径1、内直径0.2 的环形钢制飞轮组、
飞轮组成，厚度分别为0.0392 、0.0784 、0.1568 ，钢材密
度为7810
为：1nowfTG4KI

种

，基础惯量为10 ，可以组成的机械惯量
分别为每一个飞轮、
两个飞轮与基础惯量< br>、与基础惯量组合，即有3种；每
组组合，即3种；三个飞轮与基础惯量
合，即1种。还 有1种是基础惯量
fjnFLDa5Zo

为主轴，可单独使用。
因为飞轮外 形似空心圆柱体，所以飞轮转动的单个惯量我们使
用空心圆柱体的转动惯量进行求解。

飞轮的转动惯量公式为：

<1）

又因为

<2）

<3）

联立上式，得：

<4）

即我们可以求出飞轮转动的单个惯量分别为：

的惯量为：


的惯量为：


的惯量为：


电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30]
对于问题1中的等效的转动惯量52
，
，需要用电动机补偿多大