尤字组词：点到直线距离公式的简捷证明及推广应用

2020年11月26日发(作者：唐子奇)
点到直线距离公式的简捷证明及推广应用
甘肃武威市第十六中学（733000） 严 武


【摘 要】@@ 一、点到直线距离公式的证明rn命题:点P(x0,y0) 到直线
L:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离为d,则d=|Ax0+By0+C|√A2 +证法
一:(柯西不等式法)P(x0,y0)为定点,Q(x,y)为直线Ax+By+C=0(A2 +B2≠0)上的
动点,则A(x-x0)+B(y-y0)=-(Ax0+By0+C),由柯西不等 式2∑i=1a1 2 2∑i=1
bit 2≥(2∑i=1 aibi)2得:(A2+B2)| PQ|2=(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]≥[A(x-
x0)+B(y-y0] =(Ax0+By0+C)2.

【期刊名称】中学教学参考

【年(卷),期】2010(000)022

【总页数】2

一、点到直线距离公式的证明

命题：点P（x0，y0）到直线L：A x＋B y＋C＝0（A2＋B2≠0）的距离为d，
则

证法一：（柯西不等式法）P（x0，y0）为定点，Q（x，y）为直线A x＋B y＋
C＝0（A2＋B2≠0）上的动点，则A（x－x0）＋B（y－y0）＝－（A x0＋B
y0＋C），由柯西不等式

｜P Q｜≥（当P Q⊥直线L时“＝”成立）.

证法二：设圆心为P（x0，y0），半径为r，圆的方程为（ x－x0）2＋（y－y0）
2＝r2，直线方程可写为A（x－x0）＋B（y－y0）＝t（A2＋ B2≠0），其中t
＝－（A x0＋B y0＋C）.不妨设B≠0，则y－y0＝，代入圆的方程，化为

当Δ＝4t2A2－4（A2＋B2）（t2－B2r2）＝0，即r2＝时，直线与圆相切，这