聊斋之小倩数学的故事之一

2020年11月26日发(作者：俞莹)
数学的故事之一：悖论的故事
眉县城关中学 贺旭升
前言
数学恐怕 是我们花费力气最多而收效甚少的一门学科。原
因多种多样，主要是大多数人是在是提不起兴趣，尽管我 们都觉
得数学很重要。这样硬着头皮学肯定是事倍功半可是你要是主动
地，津津有味地学也许就 会事半功倍。我想培养对数学的兴趣有
一条捷径，那就是学点数学的历史，数学的故事。所以我们开设< br>数学的故事系列讲座以飨大家，今天我们主要讲讲逻辑学中经常
遇到的很有意思的问题 ------悖论
引子--------矛和盾
矛贩子：我这个矛什么样的盾都能刺穿。
盾贩子：我这个盾什么样的矛都能抵御》
行人：有一个人分明是在说假话.
观察与切入
悖论是指看似非常明显的假命题，实际上却是真命题；看似
非常明显的真 命题，事实上却是假命题。换句话说，悖论就是看
似丝毫没有错误，事实上却是存在矛盾的命题。具备如 此性质的
悖论不仅对于逻辑训练非常有帮助，而且和现代科学，小说，哲
学的本质概念相符合， 为了提升逻辑思维能力，有必要对悖论深
入观察。
在生活中，我们会常常接触超越常识的逻辑 逆说，即悖论。
这些逆说如果就这么过去的话，不过是滑稽的故事罢了，但是通
过逻辑思考和更 进一步的数学思考会发现线索都隐藏在其中，因
此有必要在生活中试着寻找各种逆说并加以分析。
生活中数学
规则的逆说：“没有例外的规则是没有的。”规则存在的例外
还是没有例外？
谎话大王的逆说：“我说的话是假的。”这句话是真话还是假
话？
悖论分析
例题 p: “这句话是假的.”
命题p：我们先来说“这句话是假的”为什么从逻辑上是矛
盾的。 首先，我们假设命题p是真的。那么对于“这句话是假的”
这句话，由于假设了命题为真，所以这句话必 须是真的，因此，
“这句话是假的”的命题p为假的，与假设命题p为真命题相矛
盾。现在我们 又假设命题p为假，那么对于“这句话是假的”的
这句话，由于命题为假，所以这句话必须是假的，因此 ，“这句
话是假的”的命题p为真，与假设命题p为假相矛盾。
悖论会让我们越想越陷入混乱 之中。在历史上，悖论是让人
津津乐道的对象，许多人被这样的混乱困扰，又为了克服这种混
乱 而不懈的努力，在这里向大家介绍历史中曾出现过的悖论。
其中之一是在公元前3世纪左右希腊哲学家芝诺提出的阿基里
斯和乌龟赛跑的悖论。
芝诺悖论
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞
赛中，他速度为乌 龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面
追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到< br>达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又
向前爬了10米，于是，一个新的起 点产生了；阿基里斯必须
继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬
了1米， 阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制
造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个 距离，
不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基
里斯就永远也追不上乌龟！
“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由
于追赶者首先应该达到被追者出发之 点，此时被追者已经往
前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。
对于上面的悖论， 要找出是什么并非容易的事，芝诺悖
论很长时间都困扰这数学家们。直到19世纪，在无限成为数
学的一个研究领域时，数学家们运用无限等比级数的收敛才
将芝诺悖论揭开。
其二是英国说 学家兼哲学家并且获得过诺贝尔文学奖的
罗素在1895年提出的关于集合的悖论。
罗素悖论
将所有集合作为元素的集合是不存在的。
集合的定义是相互又明显区分的组合，尽管一个集合 可以
称为任何集合的元素，而在罗素悖论中将所有集合作为元素
的集合为甚不存在？为了直观的 证明这个悖论，假设存在所
有集合的集合U。那么那个集合U作为一个集合，又必然存
在一个比 U大的集合，将U作为其中的元素之一。所以，所
有集合的集合是不可能存在的。但是罗素悖论需要通过 数学
进行严密的证明。
哈尔莫斯曾用“没有任何事物可以包含一切”来说明罗
素悖论 ，另外，罗素为了说明自己提出飞关于集合的悖论，
曾举过理发师的悖论的例子，下面就是将罗素悖论变 换称生
活中的情况的例子
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：
“本 人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给
自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对 各位表示热
诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己
刮脸的人。可是，有一 天，这位理发师从镜子里看见自己的
胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己
刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的
人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮 脸呢？他又属于
“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
理发师悖论与罗素悖论是等价的：
因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被
定义 成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，
都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不 属于自身
的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师
悖论得到了罗素悖论。反过 来的变换也是成立的。
罗素悖论的影响

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的 集合论，在集合论
刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成
果就为广大数学家 所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。
数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果
可建立在集合论基础上”这一发现使数 学家们为之陶醉。1900
年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采
烈地宣称 ：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学
大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了 ……”

可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：
集合论是有 漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗
素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常 浅
显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，
罗素悖论一提出就在当时的数学界 与逻辑学界内引起了极大
震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理
论完稿付印 时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，
自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团 糟。
他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉
的事，莫过于是在他的工作即 将完成时却发现所干的工作的
基础崩溃了。”
1874年，德国数学家康托尔创立了集合 论，很快渗透到
大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学
几乎都建立在集合 论的基础之上了。就在这时，集合论中接
连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理
发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数
学的基础被动摇了，这就是所谓的第 三次“数学危机”。
罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论。
关于罗素
：

罗素（1872—1970），英国哲学家、数学家、逻辑学家 。
英国剑桥大学三一学院毕业后留校任教。1920年曾来中国讲
学。1938—1944年在 美国芝加哥大学、加利福尼亚大学讲学。
1950年获诺贝尔文学奖。在哲学上，早期为新实在论者，2 0
世纪初提出逻辑原子主义和中元一元论学说。在数学上，从
事过数理逻辑和数学基础的研究。 以他命名的“罗素悖论”曾对
20世纪的数学基础发生过重大影响，其与怀特海的巨著《数
学原 理》中提出的逻辑类型论成功的解决了包括罗素悖论在
内的不少悖论，并且成为人类数学和数理逻辑历史 上里程碑
式的著作，正是这本巨著是罗素获得了崇高的声誉。在教育
上，主张自由教育，认为教 育的基本目的应该是培养“活力、
勇气、敏感、智慧”四种品质。在政治上，反对侵略战争，倡