风驰电音乐中的数学

2020年11月26日发(作者：劳蛎)
音乐中的数学
一、音乐中的 1，2，3 并不是数字而是专门的记号，
唱出来是 do, re, mi，它来源于中世纪意大利一首赞美诗中前七句每一句句首的第一个音节。而音乐的历史像语言的
历史一样悠久，其渊源已不可考证。但令 人惊异的是我们可
以运用数学知识来解释音乐的许多规则其中包括音乐基本
元素──乐音的构成 原理，也就是说 1，2，3……这些记号
确实有着数字或数学的背景。
学习音乐总是从音阶开始，我们常见的音阶由 7 个基本的
音组成：
1，2，3，4，5，6，7
或用唱名表示即
do, re, mi, fa, so, la, si
用 7 个音以及比它们高一个或几个八度的音、低一个或几
个八度的音做成各种组合就是“曲调”。
美国著名音乐理论家珀西该丘斯（Percy Goetschius，
1853-1943） 说“对于求知心切的音乐学习者与音乐爱好者，
再没有像音阶似的音乐要素，即刻而又持久地引起他们的 好
奇心与惊异的了”。
7 音音阶按“高度”自低向高排列，要搞清音阶的原理，首
先须知道什么是音的“高度”？音与音之间的“高度”差
是多少？
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物体 发生振动时产生声音，振动的强弱（能量的大小）体现
为声音的大小，不同物体的振动体现为声音音色的 不同，而
振动的快慢就体现为声音的高低。
振动的快慢在物理学上用频率表示，频率定义为每秒钟物体
振动的次数，用每秒振动 1 次作为频率的单位称为赫兹。
频率为 261.63 赫兹的音在音乐里用字母 c1 表示。相应地
音阶表示为
c, d, e, f, g, a, b
在将 C 音唱成“do”时称为 C 调。
频率过高或过低的声音人耳不能感知或感觉不舒服，音乐中
常使用的频率范围大约是 16~4000 赫兹，而人声及器乐中
最富于表现力的频率范围大约是 60~1000 赫兹。 < br>在弦乐器上拨动一根空弦，它发出某个频率的声音，如果要
求你唱出这个音你怎能知道你的声带振 动频率与空弦振动
频率完全相等呢？这就需要“共鸣原理”：当两种振动的频
率相等时合成的效 果得到最大的加强而没有丝毫的减弱。因
此你应当通过体验与感悟去调整你的声带振动频率使声带
振动与空弦振动发生共鸣，此时声带振动频率等于空弦振动
频率。
人们很早就发现，一根空 弦所发出的声音与同一根空弦但长
度减半后发出的声音有非常和谐的效果，或者说接近于“共
鸣 ”，后来这两个音被称为具有八度音的关系。我们可以用
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“如影随形”来形容一对 八度音，除非两音频率完全相等的
情形，八度音是在听觉和谐方面关系最密切的音。
18 世纪初英国数学家泰勒（Taylor，1685-1731）获得弦振
动频率f的计算公式：
l 表示弦的长度、T 表示弦的张紧程度、 表示弦的密度。
这表明对于同一根弦（材质、粗细相同）频率与弦的长度成
反比，一对八度音的频率之比等于 2∶1。
现在我们可以描述音与音之间的高度差了：假定一根空弦发
出的音是do，则二分之 一长度的弦发出高八度的 do；8/9 长
度的弦发出 re，64/81 长度的弦发出 mi，3/4 长度的弦发
出 fa，2/3 长度的弦发出 so，16/27 长度的弦发出 la，
128/243 长度的弦发出 si 等等类推。例如高八度的 so 应
由 2/3 长度的弦的一半就是 1/3 长度的弦发出。
为了方便将 c 音的频率算作一个单位，高八度的 c 音的频
率就是两个单位，而 re 音的频率是 9/8 个单位，将音名
与各自的频率列成下表：
表一：
音名
C D
E F
G A
B C
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频率
1 9/8
81/64
4/3 3/2
27/16 243/128
2
二、知道了 do, re, mi, fa, so, la, si 的数字关系之后，
新 的问题是为什么要用具有这些频率的音来构成音阶？实
际上首先更应回答的问题是为什么要用 7 个音来构成音
阶？
这可是一个千古之谜，由于无法从逝去的历史进行考证，古
今中外 便有形形色色的推断、臆测，例如西方文化的一种说
法基于“7”这个数字的神秘色彩，认为运行于天穹 的 7 大
行星（这是在只知道有 7 个行星的年代）发出不同的声音
组成音阶。我们将从数学上揭开谜底。
我们用不同的音组合成 曲调，当然要考虑这些音放在一起是
不是很和谐，前面已谈到八度音是在听觉和谐效果上关系最
密切的音，但是仅用八度音不能构成动听的曲调──至少它
们太少了，例如在音乐频率范围内 c1与 c1的八度音只有
如下的 8 个：C2（16.35赫兹）、C1（32.7赫兹）、C（65.4< br>赫兹）、c（130.8赫兹）、c1（261.6赫兹）、c2（523.2赫兹）、
c3（1 046.4赫兹）、c4（2092.8赫兹），对于人声就只有C、
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c、c1、c2这 4 个音了。
为了产生新的和谐音，回顾一下前面说的一对八度音和谐的
理由是近似于共鸣。数学理论告诉我们：每个音都可分解为
由一次谐波与一系列整数倍频率谐波 的叠加。仍然假定 c
的频率是 1 ，那么它分解为频率为 1，2，4，8，…的谐波
的叠加，高八度的 c 音的频率是 2，它分解为频率为 2，4，
8，16，…的谐波的叠加，这两列谐波的频率几乎相同，这
是一对八度音近似于共鸣的数学解释。由 此可推出一个原
理：两音的频率比若是简单的整数关系则两音具有和谐的关
系，因为每个音都可 分解为由一次谐波与一系列整数倍谐波
的叠加，两音的频率比愈是简单的整数关系意味着对应的两
个谐波列含有相同频率的谐波愈多。
次于 2∶1 的简单整数比是 3∶2。试一试，一根空弦发出
的音（假定是表 1 的 C，且作为 do）与 2/3 长度的弦发
出的音无论先后奏出或同时奏出其效果都很和谐。可以推想
当古人发现这一现象时一定非常兴奋 ，事实上我们比古人更
有理由兴奋，因为我们明白了其中的数学道理。接下来，奏
出 3/2 长度弦发出的音也是和谐的。它的频率是 C 频率的
2/3，已经低于 C 音的频率，为了便于在八度内考察，用它
的高八度音即频率是 C 的 4/3 的音代替。很显然我们已经
得到了表 1 中的 G（so）与 F（fa）。
问题是我们并不能这样一直做下去，否则得到的将是无数多
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音而不是 7 个音！
如果从 C 开始依次用频率比 3∶2 制出新的音，在某一次
新的音恰好是 C 的高若干个八度音，那么再往后就不会产
生新的音了。很可惜，数学可以证明这是不可能的，因为没有自然数m、n会使下式成立：
(3/2)m= 2n
此时，理性思维的自然发展是可不可以成立近似等式？经过
计算有 (3/2)5= 7.594 23= 8，因此认为与 1 之比是 23 即
高三个八度关系算作是同一音，而 (3/2 )6与 (3/2)1之比
也是 23即高三个八度关系等等也算作是同一音。在“八度
相同”的意义上说，总共只有 5 个音，他们的频率是：
1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4 (1)
折合到八度之内就是：
1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16
对照表 1 知道这 5 个音是 C（do）、D（re）、E（mi）、G（so）、
A（ la），这是所谓五声音阶，它在世界各民族的音乐文化中
用得不是很广，不过我们熟悉的“卖报歌”就 是用五声音阶
作成。
接下来根据 (3/2)7= 17.09 24= 16，总共应由 7 个音组
成音阶，我们在 (1) 的基础上用 3∶2 的频率比上行一次、
下行一次得到由 7 个音组成的音列，其频率是
(2/3), 1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4, (3/2)5
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