华中大hub数学中的三大常数

2020年11月26日发(作者：倪应颐)
数学中的三大常数











:高伟
学号:
班级:数教1201





摘要
文章考查了三个特殊的数 , 找到了美在数学中的具体表现, 并以
此出发阐述了数学美对学生学习数学兴趣的培养的重要性。
关键词:
数学美

无理数






































Three constants in mathematics:







Name:Gaowei
Number:






Abstract
The article examines the three special numbers in the
concrete embodiment of mathematical beauty and expounded the importance of the
cultivation of students’ interest in learning mathematics.
Keywords:
mathematical beaut

irrational





如果有人告诉你, 数学是很奇妙的, 你可能会感到惊奇。但你应该知道, 有
些人毕生研究数学、创造数学, 就像作曲家创作音乐一样。这是为什么呢? 也史
上的许多学者、数学家的描述可以说明这一切。家勒说: “数学家把义的方法和
他们结果的美联系起来。这不是纯粹的浅薄猎奇。事实上, 在解题、证明中, 给
我们以美感的是什么呢?是各部分的和谐, 是他们的对称、他们的巧妙平衡。总
而言之, 就是引人次序, 给出统一, 容许我们同时清楚地观察和理解整体和细
节的东西。” 维纳认为: “ 数学实质上是艺术的一种。”徐利为:“容结构上
和方法上也具有其自身的美。” 可见, 正是数学的美引导一代一代的学家攀登
一座一座数学高峰。为此, 为吸引年青的数学工作者从事数学研究, 从小就应让
他们感到数学美。解决费尔马猜想的安德鲁·怀尔斯就是在10 岁到图书馆发现
了别刃多年悬而未决的费尔马猜想在表面上的简单易懂, 这种简美让他对数学
【1】
着了迷, 从而让他终生从事数学研究。

一、 说不完道不尽的

大家或许会好奇， 究竟哪点吸引人了，能够让数学家们对它痴迷
到如此地步？其实， 本身的存在就是一个奇迹：不管一个圆有多大，
它的周长和直径之比总是一个固定的数，它就是 3.1416926
38327950··· ，是一个无限不循环小数。我们把这个数就叫做圆周率，
用希腊字母 来表示。在几何问题中，圆周率 扮演着非常重要的角色；
然而更神奇的是，它也驰骋于几何以外的其它数学领域。
1、1布丰投针实验

图1.1
在地板上画一系列间距为 2 厘米的平行线，然后把一根长度为 1
厘米的针扔在地板上。那么，这根针与地板上的线条相交的概率是多少
呢？1733 年，法国博物学家布丰（Comte de Buffon）第一次提出了这
个问题。1777 年，布丰自己解决了这个问题——这个概率值是 1/ 。
这个问题可以用微积分直接求解，也能利用 期望值的性质得到一个
异常精妙的解答。即使我们现在已经能轻易求出它的答案，结论依然相
当 令人吃惊——在这个概率问题上，竟然也有 的踪影。有人甚至利
用投针法，求出过 π 的近似值来。
1、2 斯特林近似公式
我们把从 1 开始一直连乘到 n 的结果称作“n 的阶乘”，在数学
中用 n! 来表示。也就是说：


1733 年，数学家亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）发现，当 n
很大的时候，有：
其中 c 是某个固定常数。不过棣莫弗本人并没有求出这个常数的准确< br>值。几年后，数学家詹姆斯·斯特林（James Stirling）指出，这个常
数 c 等于 2 的平方根。也就是说：


这个公式就被称作斯特林近似公式。
1、3 平方数的倒数和的极限
1 的平方分之一，加上 2 的平方分之一，加上 3 的平方分之一，
这样一直加下去，结果会怎样呢？这是一个非常吸引人的问题。




从上表中可以看到，越往后加，得数变化幅度就越小。可以预料，
如果无 穷地加下去，得数将会无限接近于某一个固定的数。这个数是多
少呢？
1735 年，大数学家欧拉（Euler）非常漂亮地解决了这一问题。神
奇的是，这个问题的答案里竟然包含有 ：

1、4 两个整数互质的概率
如果两个整数的最大公约数为 1，我们就说这两个数是互质的。例
如，9 和 14 就是互质的，除了 1 以外它们没有其它的公共约数；9 和
15 就不互质，因为它们有公共的约数 3。可以证明这样一个令人吃惊
的结论：任取两个整数，它们互质的概率是 6 / ，恰好是上面一 个
问题的答案的倒数。在一个纯数论领域的问题中出现了圆周率，无疑给
小小的希腊字母 更添加了几分神秘。
二、不可思议的e
自然对数的底e是一个令人不可思议的常数，一个由 定义出的
常数，居然在数学和物理中频频出现，简直可以说是无处不在。这实在是让我们
不得不 敬畏这神奇的数学世界。
2、1 欧拉恒等式
但凡说起e，一个必定要提到的公式就是欧拉恒等式——被誉为世界上最美
丽的公式。

数学中最基本的5个常数——0、1、圆周率π、自然对数的底e和虚数单位i，
以 及数学中最基本的两个符号,等号和加号，就这样通过一个简单的恒等式联系
在了一起，实在是让人叹服 。这个等式有个一几何的直观解释。一个实数在实数
轴上可以用一个向量表示，旋转这个向量，就相当于 乘以一个虚数i。据此建立
一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转π/ 2, 可
以分别得到结果1,i,-1,-i,1. 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保
持长度不变旋转角度，得到的向量就是:
式 :
量。所以

可以看出
。根据欧拉公
就代表实单位向量1旋转角 后而得到的向
意味着单位向量逆时针旋转了，结果显然是-1
【2】
。
图2.1
2、2 增长规律
这个世界上有许许多多的事物满足这样的变化规律：增长率正比 于变量自身
的大小。例如放射性元素衰变的时候，衰变率就和现存的放射性物质多少成正比；
资 源无穷多的社会，人口出生率将（近似的）和现存人口数成正比等等。而此类
变化规律所确定的解，则是 由以e为底的指数增长所描述的：如果x的变化率等
于变量x自身的λ倍，那么该变量随时间t的函数则 为

其中C是任意常数。而e的直观含义正是增长的极限，这个问题在 《不可思议
的e》中有过详细的介绍。
2、3 正态分布

图2.2
正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个统计模型。各种各样的
心理学测 试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布，尽管这
些现象的根本原因经常是未知的。 而理论上则可以证明如果把许多小作用加起来
看做一个变量，那么这个变量服从正态分布。
正 态分布在生活中也可谓是无处不在。多次反复测量一个物理量，测出来的
值一般来说总是呈正态分布；瓶 装可乐的实际体积，也是正态分布；一大群人的
寿命分布、智商分布等，也都是正态分布。而正态分布的 表达式中，也神奇的出
现了e。

2、4 伽马函数与斯特林公