北京水果批发市场笨人学数学的方法

2020年11月26日发(作者：鲍元标)
作为一个非科班出身的彻底的外行，学数学的一点经验分享给大家。

数学是什么？大 部分中国人心目中的数学，其实按严格的分类，都属于应用数学。一句话：
应用数学是用数字和公式描述 客观世界的科学，研究的是客观世界的数量性质和运动规律；而
数学（为了区分，多称作“纯数学”或“ 基础数学”）是含有公式的哲学，研究的是抽象概念
的关系、运动规律和空间的性质，具有很强的主观性 和艺术性。古人从猎物分配中总结了算
术，从土地面积丈量中总结出基础的平面几何，可以说，先有应用 数学后有纯数学。二者在
300年前可以说不分彼此，牛顿、高斯、欧拉等大数学家同样也在应用数学、 物理和哲学等领
域取得累累硕果。后来，罗巴切夫斯基和黎曼等建立非欧几何学，使得人类第一次脱离生 活中
直观的三维空间，思考抽象空间的性质，这个事件标志着纯数学开始自立门户。而1900年希尔伯特在国际数学家大会上的讲话，可以说是纯数学从应用数学中彻底独 立出来。二战后经
济复苏 ，数学家有了资金支持可以无忧生计，全心全力做研究，数学得到长足发展。
为什么要学基础数学？常言 道，练武不练功，到老一场空。倚天剑屠龙刀是绝世神兵，但也要
拿得动舞得起来才有威力。看过电影《 导火线》的筒子，肯定对里面甄子丹的背摔印象深刻。
但如果没有甄子丹的身体素质和协调能力，硬用背 摔这样的技能非伤到自己不可。应用数学的
模型的发明研究者多数有很深的基础数学功底，故学习者若无 一定的基础数学的训练，理解他
们的成果就要花费很多的时间和精力，而且难以理解透彻和应用到位，更 不要提举一反三了。
而目前工业日新月异，金融界瞬息万变，相关的模型和公式也是层出不穷。学习者如 果不能触
类旁通，一个一个学是必然学不完的。一切高级的数学，归根结底都是微积分和线性代数的各< br>种变化，这是哈佛数学系主任丘成桐和普林斯顿数学系前系主任释天(Elias Stein)经常告诫 学
生的话。而基础数学的初级学科，如数学分析和高等代数，就是对最基本的高等数学和线性代
数进行理论上的完善，让学习者不仅仅能学会现有的套路，更能理解公式定理背后的道理，从
而能更好地 应对各种随机的情况，甚至于自创招式。故将来计划学习理工科和金融的学生，除
了练好微积分和线性代 数的计算，至少要学习一下这两个领域的证明课程，也就是一年的基础
数学。这只是最低要求，物理学特 别是理论方向的必修群论（属于抽象代数），量子力学要学
希尔伯特空间（属于实变函数）。另外，有些 较为高端的金融数学项目中的随机模型的课程，
已经要求初步掌握测度论。具体到理工科和金融的名家案 例：生物学家施一公高中数学竞赛河
南省第一名，大学物理和生物双学位中修了大量数学；哈佛大学双聘 教授庄小威本科在中科大
读核物理，群论和偏微分方程是必修，出国读博时数学水准不亚于数学系毕业生 ；文艺复兴基
金创始人、30年内杀入福布斯前50名的富豪赛猛宅(James Simons) 本 身就是基础数学出身。
近一点的例子：北大生命科学学院05级本科第一名、现斯坦福博士生高小井；0 6级本科第一
名、现哈佛医学院博士生李鑫，高中都有数学奥赛经历，在大学也一直加强数学学习。MH C
生物和化学双学位取得者，目前杜克大学医学院MD学生王晓雯，大学期间做完了著名的《吉
米多维奇数学分析习题集》。本科阶段学好数学，是理工社科从业者一生的财富。
我的数学到底有多烂？ 做过《五年高考三年模拟》的朋友，都知道高考数学北京卷的特点是基
础题特别基础，最后一道大题用超 纲知识+新信息+方法综合拉开分数档次。我当时模考，就
总是最后一道题得一两分或者全部放弃。我从 小强于记忆而不善也不喜欢逻辑推理，故高中数
学基本上靠题海练习、熟悉题型、照搬定式来得分。来到 石溪，我学数学有过非常痛苦的经
历。其实当时规划也有失误，很多地方失于急躁冒进，不然，完全可以 不那么累而且学得更
好。欧美有很多数学天才写过数学的学习心得，但鉴于他们起点太高，学习节奏可以 很快，故
方法未必适合大家。我的方法可以说是零起点的，目的是帮助像我一样没搞过竞赛的理科生以< br>及文科生搞定美国大学的数学系要求，以在未来的职业竞争中，数学方面不至于拖累自己甚至
领先 身边人。那么如何学好数学？看我细细道来：
第一：要具备不卑不亢的心态。数学并非难，只是它的表述 体系和思维要求，对于多数中国学
生比较陌生。要把它当作全新的东西来认识，就跟学习一门新语言一样 。以前自己学的东西，
包括高中知识和AP数学等，记住概念即可，思维推导不要沿用。然后严格按照老 师讲的思维
方式，不厌其烦的推导和证明，慢慢一回生二回熟。几年前华人数学天才陶哲轩给UCLA本 科
生讲Honor Analysis（荣誉数学分析）的时候，上来进度非常慢，前一个月都在证明皮 亚诺公
理、集合论和基本的映射理论，但后来可以越学越快，而且学生越学越Hi。拳不离手，曲不离< br>口，学语言要勤动口和动笔，学数学也要没事常动脑。就算文科生一样可以学好数学：20世
纪俄 罗斯数学学派掌门人、莫斯科国立大学数学系主任柯莫高（Kolmogorov,又译柯尔莫格洛
夫） 大一是读历史的。美国人魏爱华(Edward Witten)更奇葩，本科四年读的都是历史和语言
学，博士申请UWM的经济学博士，读了半年退学，自修数学和物理,23岁考进Princeton，硕
转博再同时搞数学和物理。16年后，他站在菲尔兹奖的领奖台上。我说过了基础数学其实是
哲学，而 哲学算文科还是理科都有道理。所以，就算国内数学学得再烂，只是按照国内标准比
较烂，在美国完全有 可能前途无量，要有信心。另一方面，国内就算奥赛摘金夺银，到美国也
要扎扎实实的学。因为奥赛国际 金牌在欧美的精英面前多数是渣：俄罗斯盖芳德(Gelfand)15
岁读完代数几何教父高探蝶（G rothendieck）的名著EGA（代数几何原理），这套书让北大
博士去读都够呛。我们石溪的 米糯教授本科大一在《数学年鉴》上发论文，这是数学界最高学
术期刊，每年中国大陆所有教授加起来在 上面都很难有一篇文章发表。这里特别要说一下美国
数学教学的二段教学法：不同于俄罗斯和中国上来就 是带证明的数学分析和高等代数，美国的
教学更为亲民：上来先是微积分和不带证明的线性代数，内容比 较简单，作业和考试很多中国
学生可以依靠高中基础秒杀之。但不少人练习不够，很多知识没搞透，方法 技巧也不够熟练。
然后到了第二段，数分和高代一开，很多人欲哭无泪。这就要求第一阶段，哪怕觉得这 些题再
傻，一本书一道不落地做完是很有必要的。 然后第二段就要细读书，多问老师。在美国基础数学能学好的中国人，要么是自己天才，要么就把教授办公室的椅子坐穿。
第二，保证数学的学习时 间。要是天才并且喜欢数学，那你自然会给数学大量时间。如果是为
了将来胜任其他领域而学数学，要记 住大一大二对于打好数学基础是最宝贵的。所以，建议每
天先完成其他学科的作业，然后把大块时间分配 给数学的看书做题细琢磨。我目前主要是修各
种数学课和一门应用数学的概率论，每天时间大体是这样分 割的：睡觉6小时，吃饭包括饭后
的休息2小时，健身和洗澡2小时，交通1小时，个人爱好1小时（抄 抄四书五经，读读文艺的
歌词，主要是墨明棋妙的还有林夕的），机动时间1小时，剩下11小时是听课 和课下学习。周
末多用两小时坐校车去买个菜，路上一直思考，也相当于最终学习10小时。谁说数学天 才每
天悠哉游哉？那么最年轻的菲尔兹奖得主，27岁得奖的赛赫（Jean-Pierre Serr e）够天才了
吧？他自述道：习惯带着数学题入梦，醒来往往有思路。故我用最爱的《红楼梦》第一回作 为
他的雅号：“梦幻通灵”赛赫(与“造化阴阳”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯（Sir Michae l
Atiyah，英国皇家学会会长，敕封爵士）并列20世纪世界第一的数学家)。数学多好算好？别
说拿A，满分都是不够的。一本书读完，知识和方法不超纲的题目要难不住你（by“现代微分
几何之父”陈省身）。一本书读完，同一领域下一阶段的书要能自通30%（by菲尔兹奖得主
Curt is McMullen的导师Dennis Sullivan，石溪数学四大导师之苏立文）。校内传的什么 每天
学习八小时那是给别的学科的。每天八小时想学好数学？做梦！

第三，学会科学 的思维方法：下面分条目详解。数学天才请华丽丽的无视。
（1）数学思维的三个方面：任何数学的定义 、定理说透了也就三部分：第一是它本身的文字
和（或）符号、 公式内容；第二是它在数学知识体系中 的位置，与其他数学内容的逻辑关
系，包括由什么可以推出来该定义或定理，它又可以（与其它定理一起 ）推出些什么；第三是
它所涉及的范畴有什么具体实例（比如循环群就有旋转图形、整数加群和同余模加 群等例
子），这些例子又有何作用，能否在数学中或数学外（典型的如几何和物理）取得应用。这就分别是数学对象的本体论、方法论和目的论。柯莫高说：“的确学生对数学的适应性存在差
异，这种 适应性表现在：1，算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解
决不了的问题的能力 。2，几何直观的能力，对于抽象的东西能把它在头脑里像图画一样表达
出来，并进行思考的能力。3， 一步一步进行逻辑推理的能
力。”（/share/234165395/）这些对应的就是掌握数学概念的三方面需要什么能力。提高算法能力最好多做题，几何直观除了做题还要平时多留
意，多联 系生活实际；逻辑推理这个往往是中国学生的弱项，毕竟我们母语的方块字二维画面
性远远超过西方拼音 文字，而一维线形（逻辑链的内在属性）却不足。汉字个个如画，横竖左
右写均可，而西方拼音文字就得 一条路从左往右，上下写都够呛。故逻辑推理要特别练习。练
习逻辑推理的方法关键在定理的证明，下面 会详述。
（2）如何课前预习：一开始微积分可以多做一点，而数分和高代等带证明的预习下一节课内< br>容即可。先回顾上堂课所学知识，再看新章节内容：先略读本章节，看清有几个定义
（Defin ition），几个定理（Theorem）和引理（Lemma），有哪些例子（Example）和注
释（Remark）。如果把数学比作一门语言，定义就是名词，定理和引理是句子，而例子和注
释相 当于古文经典中的注和疏。定义一定要自己品味，比较长的拆开句子成分慢慢看，不行就
抄。日本第一个 菲尔兹奖小平邦彦大学时抄过整本Van de Warden的代数，咱们抄书不丢
人。 定义要么是 全新的，这个不急着理解，往后看看；要么是基于以前内容的，这个不妨回
顾一下相关内容再继续看。遇 到定理就要注意，课本的证明不要先看，自己理解定理内容后，
把定理当作习题徒手证一遍，写下来，再 与课本原文比较，查找二者的不同：自己的证明是不
是漏某条件或者把某需要说明的当做显然了（初学者 常犯错误），是不是有多余的语句，是不
是有地方用错了。凡是不同处，都要重点思考，这样进步就快了 。如果实在想不起来，就看看
书本怎么证的。对于自己的不足，要整理到上述公式、逻辑或几何三个大类 中，并提醒自己注
意（如国内分析教材从罗尔定理证明拉格朗日中值定理，很多人不会把一般的函数构造 成符合
罗尔定理条件的函数，这个就牵涉到公式变形能力和逻辑能力）。引理也是这么证。别小看引理，朗兰兹猜想中的基本引理之一，吴宝珠证出来就是一个菲尔兹奖。至于例子，也是不要先
看，自 己看了定理，自己想至少两个例子，一个是典型的，一个是退化的极限情况（by
Halmos，《我要 做数学家》和《希尔伯特空间习题集》的作者，芝加哥大学鼎盛时期和陈省
身等共事的数学家）。例如高 中解析几何的双曲线，分母的a^2, b^2当然大于零，可以找出
来一个例子。如果其中一项等于零 ，就退化成两条直线，这就是退化的极限情况。不要小看退
化，这正是跟以前知识的联系。自己想了例子 ，其实潜意识中，注释的内容已经过了一遍。然
后不必太早做习题，再回顾一下整个思维过程有没有需要 看课本提示的地方，有没有自己能看
懂但是跟以往惯性思维相悖的地方，有没有突然顿悟的地方。这都要 记下来，上课等老师讲到
这里时要格外留心。

（3）听课：美国的数学教授基本还是 写黑板，而且不会太快。上课公式一写几黑板的那是应
用数学教授，噼噼啪啪打幻灯的在石溪一定不是数 学或物理教授。 所以，有时间记笔记。但
不必全记住，把预习的成果调动起来，老师讲的时候跟自己脑 中的备份随时印证并修正。就一
个建议，教授不停嘴，学生不动笔。真正听好了，上课一字不写又何妨？ 课下完全可以轻松补
全并注上自己的心得见解。

（4）课下：先整理笔记，一定有自 己的见解，全抄老师的对于学应数是有用的，对于学数学
则是浪费时间。数学界的师生关系往往很融洽， 但思维上绝对是批判继承和启发继承，学我者
昌，似我者亡。然后是定义再品味一下，定理和引理自己再 证一遍，比较老师的证明、课本的
证明和自己当初的证明，这次不仅要能说出哪个好，还要能说出为什么 好。然后是做题了。除
了开始的微积分要刷书，带证明的课，课本做好作业题就够了，因为老师选的可能 不是经典教
材（经典的往往比较难，很多美国学生受不了）。但每个题要做精，做完一题回顾自己的思路
历程，并对其中的公式变形、逻辑推理和几何直观进行归类。实在做不出来，画个记号，改天
再 看，两天都做不出来才可以看解答。对于解答中自己想不到的，要特别标注，常常回顾。然
后就是选一本 这一门课比较经典的书，按照上文预习和做题的路子走一遍。经典教材的知识点
和思路要自己总结，每过 一两章节，找一张大的纸画下来本章定理的逻辑体系图。经典教材的
题目最好都做，做不出来，Offi ce Hour坐穿椅子去。
（5）心理状态：很多人开始觉得数学难，然后生怕基础打得不牢，一个定 理看半天，看似很
认真很投入，其实就算理解了思维也很僵化，而且容易跟不上进度。这就像打羽毛球和 练书
法，你心里紧张，手抓得太紧，反而发不出力来，写的字也不好看。掌心要虚着，身体要保持
随时可以发力的弹簧状，击球时蹬地转体推肩压臂一套动作一气呵成，手掌瞬间抓紧最后一次
加速，这 才能打出林丹那样硬砸开李宗伟铁板防御的扣杀。书法所谓挥洒，也是如此。要保持
轻微的紧张和激动， 有点小期待，随时能调动已有知识，并可以多角度观察新知识，思维能发
散也能迅速收回并集中攻关。这 种感觉一旦找到，妙不可言。不过重难点也要适当文火慢炖：