秦朝赵高数学的意义与应用

2020年11月26日发(作者：赖光勋)
数学的意义与应用
一个人，从小学、中学甚至到大学，都得学数学。为什么要学这么多数学呢?
其意义究竟何在?
社会公众对于数学与数学教育的意义缺乏足够的了解，甚至存在许多误解。
一般地，人们容易看 到各种技术的进步及其对社会发展与人类生活带来的好处，
而看不到背后的重要支撑——基础科学，尤其 是数学。这里也有一个舆论问题，
关于数学的意义，数学界缺少面向公众的、正确而简明易懂的解释。在 我国，哥
德巴赫猜想家喻户晓，人们误认为数学是研究那些古老难题的学科，没有多大实
际用途 ，充其量是为国家争光。相当多的家长与学生认为，数学仅仅是为了升学
而不得不学的东西，对于未来就 业与工作并没有多大用场。下面就这些问题谈谈
我的看法。
什么是数学?数学是一门演绎科学 。它的研究对象主要是“数”与“形”。一百多
年前，恩格斯就曾给数学下过一个定义：“数学是研究现 实世界中的数量关系和
空间形式的科学。”一百多年过去了，数学的发展使得数学的研究对象，已经远< br>远超出了“数”与“形”的范畴，于是出现了一些其他定义。但是，我依然认为恩格
斯的说法，是 对数学的较好概括。这是因为，无论如何，数学首要的和基本的对
象是数量关系和空间形式，恩格斯的说 法明确地指出了数学与现实世界的联系。
伽利略说过：“大自然，这部伟大的书，是用数学语言写成的 。”自然界中的
一切事物，都有“数”与“形”两个侧面。因此，数学所描述的数量关系与空间形式，< br>就自然成为物理学、力学、天文学、化学、生物学的重要基础，数学为这些科学
提供了描述规律的 语言和探索未知世界的一种工具。
回顾科学发展的历史，就会发现，物理学、天文学、力学的任何重大 发展无
不与数学的进步息息相关。比如，牛顿力学，特别是万有引力定律的发现，依赖
于微积分 创立；而爱因斯坦的相对论则以黎曼几何为其基础。著名数学家黎曼曾
经指出：“只有在微积分创立之后 ，物理才发展成为一门真正意义下的科学。”
与其他基础科学相比，数学最重要的特征是其研究对象的 抽象性，它决定了
数学的其他特征，并使它区别于自然科学。
任何数字都是抽象的，它舍弃了 观察对象的一切其他属性，而只关注其数量。
数字“1”既可以代表一个苹果，也可以代表一只羊，或一 座山。数字“1”就是忽略
了苹果、羊、山等事物的差异，而只从数量上加以抽象。从具体数字再发展到 一
个代表量的文字“z”，是进一步的抽象。至于函数x.y.z，则是更进一步的抽象。
在几 何中的点、直线、圆、平面同样是对现实世界中事物的抽象，同样是人们为
描述现实生活中某些事物而创 造的一种语言。比如，在世界地图上，北京可以看
成一个点，而在中国地图中，天安门可以看成一点。因 此，数学中的“点”实际上
就是我们所考察的事物位置的抽象，它没有大小，没有面积，只有位置的不同 。
数学研究对象的抽象性决定了它的应用广泛性。1+1=2不仅适用于苹果、羊、
山，而且 适用于一切事物。一个函数y=Asin c衄可以代表电场的电流或电压的
变化规律，也可以代表某种 波动的规律。许多完全不同事物提出的问题可以归结
为同一个数学模型。
数学研究对象的抽象 性又决定了数学的演绎性。在生物学中，要断言麻雀有
胃并不难，只要解剖几个麻雀就足够了，而在数学 中，要说明勾股定理成立，不
能只靠验证几个直角三角形，而需要证明。当然，数学研究中，在其探索阶 段或
许会用到归纳的办法。但是，归纳出来的结论，不能作为定论，而只能作为一种
猜测，有待 于将来的证明或者否定。这就是说，数学中要确立一条规律只能依靠
严格的逻辑推理，而不能靠经验或实 验数据，更不能靠人们的直觉或想当然。比
如，许多大于2的偶数都可以表成两个奇素数之和，但是不能 因此而说一切偶数
皆如此。又如，我们测量了很多三角形的三个内角之和等于180。，但是不能因此而得出所有三角形都如此的结论，需要严格证明。
数学的这种精神，早在2500多年之前就确 定了——这是古希腊人的功劳。
它一直被作为数学的基本精神沿承至今。古希腊人对数学的最大贡献在于 ，他们
认为数学中的每一个命题，都要根据明白无误的假定和事先给定的公理与公设，
由形式逻 辑推演出来。正是由于有了这种精神，古希腊人才发现了无理数，并导
致欧几里得《几何原本》的诞生， 使得古希腊的数学成就远远超过了同时代的其
他文明古国。后来在欧洲文艺复兴时期，古希腊的这种精神 在欧洲发扬光大，并
带动了数学与自然科学的发展。比如，微积分的创立、万有引力定律的发现等。 < br>反映这种科学精神巨大成功的一个典型事例是非欧几何的诞生。欧几里得
《几何原本》刚一诞生， 人们就试图用其他公设来证明欧几里得第五公设即平行
公设。相当多的数学家投入这种努力，然而统统都 失败了。两千多年的失败，迫
使人们放弃这种努力，并从另一个角度考虑问题：放弃平行公设，并把一个 与平
行相反的命题作为新的公设，这就产生了非欧几何。它从此打破了两千多年来欧
几里得几何 的“一统天下”，是人类对空间认识的一场革命。它的发展进一步导致
了黎曼几何，而黎曼几何成为爱因 斯坦的广义相对论的数学基础。
从试图证明平行公设开始，到非欧几何的诞生，再到广义相对论，充分 说明
了古希腊人所确立的数学精神的巨大意义。数学的这种精神，使人类摆脱了狭隘
经验的束缚 ，促使人们理性地思考与认识世界，并顽强地追求理性的完美。作为
数学教育工作者，我们应当全面认识 数学科学，反对实用主义。把数学分成“有
用的数学”与“无用的数学”的提法，是完全错误的。 中国的古代在数学上有重要贡献，但并没有形成一个演绎系统。在我国，人
们认识到科学以及科学精 神的重要性，是很晚的事——五四时期。那是在屡遭失
败并付出巨大代价之后得出的结论。