截瘫指数数学的内容、方法和意义

2020年11月26日发(作者：宫正楠)

数学的内容、方法和意义
——丘成桐（在北大百周年校庆学术报告会上的演讲）
今天要讲的是数学的内容、方法和意义，这 原是苏联人写的一本书的书名，
和今天的演讲内容借过来作为演讲的名称．
今天是北大百 周年校庆，五四运动便是北大学生发动的．作为演讲的引子，
让我们先简略地回顾一下“五四”前后中西 文化之争．十九世纪中业以后，中国
对西方科技的认识，是“船坚炮利”，在屡次战争失利后，张之洞提 出了“中学
为体、西学为用”的主张，即以传统儒家精神为主，加入西方的技术．到了五四
运动 前后便有了科玄论战．以梁漱溟为主的一派以东方精神文明为上，捍卫儒学，
以为西方文明强调用理性和 知识去征服自然，缺乏生命之道，人变成机械的奴隶；
而中国文化自适自足，行其中道，必能发扬光大． 其时正值第一次世界大战结束，
西方哲学家罗素等对西方物质文明深恶痛绝，也主张向东方学习．另一派 以胡适
为首者则持相反意见，他们以为在知识领域内科学万能，人生观由科学方法统驭，
未经批 判及逻辑研究的，皆不能成为知识．
科玄论战最终不了了之，并无定论．两派对近代基本科学皆无 深究，也不收
集数据，理论无法严格推导，最后变得空泛．其实这便是中国传统文化之一特
点． 一方面极抽象，有质而无量，儒道皆云天人合一，禅宗又云不立文字，直指
心性．另一方面则极实际，庄 子说“蔽于天而不知人”．古代的科学讲求实用，
一切为人服务，四大发明之一指南针、造纸、印刷术、 火药莫不如此．要知道西
方技术之基础在科学，实际和抽象的桥梁乃是基本科学，而基本科学的工具和语
言就是数学．
历代不少科学家对数学都有极高的评价．我们引用一些物理学家的话作为例
子．在「物理定律的特性」一书中说我们所有的定律，每一条都由深
奥的数学中的纯数学来叙述 ，为什么？我一点也不知道．说数学在自
然科学中有不合常理的威力．说：在物理科学史历劫不变的一项 因素，
就是由数学想像力得来的关键贡献，基本物理既然由高深的数学来表示．应用物
理，流体 等大自然界的一切现象，只要能得到成熟的了解时，都可以用数学来描
述．写过「湖滨散记」的哲人梭罗 也说有关真理最明晰，最美丽的陈述，最终必
以数学形式展现．
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其实数学家不只从自然界吸收养分，也从社会科学和工程中得到启示．人类
心灵 中由现象界启示而呈现美的概论，只要能够用严谨逻辑来处理的都是数学家
研究的对象．数学和其他科学 不同之处是容许抽象，只要是美丽的，就足以主宰
一切，数学和文学不同之处是一切命题都可以由公认的 少数公理推出．数学正式
成为系统性的科学始于古希腊的欧几里德，他的「几何原本」是不朽名作．明末
利玛窦和徐光启把它译成中文，并指出“十三卷中五百余题，一脉贯通，卷与卷，
题与题相结倚 ，一先不可后，一后不可先，累累交承，渐次积累，终竟乃发奥微
之义”．复杂深奥的定理都可以由少数 简明的公理推导，至此真与美得到确定的
意义，水乳交融，再难分开．值得指出，欧几里德式的数学思维 ，直接影响了牛
顿在物理上三大定律的想法，牛顿巨著「自然哲学的数学原理」与「几何原本」
一脉相承．从爱因斯坦到现在的物理学家都希望完成统一场论，能用同一种原理
来解释宇宙间的一切力场 ．
数学的真与美，数学家的体会深刻．Sylvester说“它们揭露或阐明的概念
世 界，它们导致的对至美与秩序的沉思，它各部分的和谐关联，都是人类眼中数
学最坚实的根基”．数学史 家说“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一
首诗”．当数学家吸收了自然科学的精华，就用美和逻辑来引 导，将想像力发挥
的淋漓尽致，创造出连作者也惊叹不已的命题．大数学家往往有宏伟的构思，由
美作引导，例如Weil猜想促成了重整算数几何的庞大计划，将拓扑和代数几何
融入整数方程论中． 由ndieck和e完成的Weil猜想，可说是
抽象方法的伟大胜利．回顾数学的历史，能够将几个不 同的重要观念自然融合而
得出的结果，都成为数学发展的里程碑．爱因斯坦将时间和空间的观念融合，成
为近百年来物理学的基石；三年前对自守型式和Fermat最后定理的研
究，更是扣人心魄． 数学家能够不依赖自然科学的启示得出来的成就，令人惊异，
这是因为数字和空间本身就是大自然的一部 分，它们的结构也是宇宙结构的一部
分．然而，我们必须紧记，大自然的奥秘深不可测，不仅仅在数字和 空间而已，
它的完美无处不在，数学家不能也不应该抗拒这种美．
本世纪物理学两个最主 要的发现：相对论和量子力学对数学造成极大的冲
击．广义相对论使微分几何学“言之有物”，黎曼几何 不再是抽象的纸上谈兵．量
子场论从一开始就让数学家迷惑不已，它在数学上作用仿如魔术．例如Dir ac
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