500元人民币图片略谈数学中的空间概念

2020年11月26日发(作者：毕先奎)
数
学
学
习
(
高等数
学
季
刊
)
1
998
年
第
1
期
略
谈数
学 中
的
空
间
概念
西
安交
通
大
大家知
道空
间是物质存在的普遍形式
在
其
中
运
动变化和
发展
况
。
、。
学
王
绵
森
, ,
。
现实世界中的
万
事
万
物无
不
存
在
于
空间
之
中并
。
这种现
实
的空间就
是
数学中
所研
究
的三
维欧
氏空
间< br>,
,,
十九世
纪
以
前
的数学都
是
在
这
种
三
维欧式
空
间
中讨
论的二维空间(
平
面
)
与
一
维
空
间
(直线
)
是它的
特
殊
情
从
十九世纪
中< br>叶
开
始数
学
家在数
学研
究中
引人了
高
于
三维的
多
维
空
间
并建
立
了< br>多
维
空
。
“
”
间的几
何
学进人二
十世
纪
以
后
数学
中讨
论
着
各
种
各样
的
空
间
从有
限
维
的到
无
限维的
既
,,,
然
现
实
的空间是
三
维
的
为什
么
要
引
人
多
维甚
至
无限
维
的空间
呢
它们
是
怎样
产
生
的
又
有什
么
现
实
意
义和
现
实
基础
呢
?
下
面
我们
对 这些
问
题作简
要的
介
绍
一
多维
空间
概念的现实基础
早
在
十
八世
纪
后
半
叶< br>不少
数学家在
自
己
的研
究
工
作中有意或无意 地
引
入
了
四
维
空
间
例
,
、
,,,
,
。
,
如
达
朗
贝
尔拉
格朗
日
都把
时间
作
为
第
四
个
维
数
后
者
还引
进
了
到
十
九
世
纪
初
多
维
空
间
的几
何还
是
被
数学家
拒
之
于
门外
空
间
看成
自然界
里
的怪
物
,
,
。
,
、
,
n
个
变量的
二
次
型
,
。
但
是
直
,
,
他们
嘲弄
四
维几
何
的
思
想
把高
维
,
“
”
。
一
些唯
神
论者则利
用
四
维
空
间 的
观
念胡
说什
么人
类
生活
在
三
维
。
空
间
中
而
上
帝
和
神
生
活在
四
维
空
间中
,,
正
如负数
和
复数
一
样
由
于
多
维
空
间
在数学
理论的研
,
究中
和
实
际
应
用
中
的重
要
作
用
因
此
关
于
多维
空
间的概念
和
理论
得到
了
迅速的
发 展
成为十
九世纪
后
半
叶
数学
研
究中
的
热点
之
一
。
产
生
多
维空
间理 论的直接原
因
是为
了
在研究
代
数
和
分析的
问
题时利用
几
何的类
比
利
用
形< br>象直观
的几
何
概念
和
方法
来表
达
和
解决代数分析
问
题
1
元
数
组
(
二
,
、。
,
例
如既然三
个有序实数
组
成的三
,
,
x
Z
,
x
:
,
3< br>)
表
示
三维
空
间
R
,
3
中
的
一
个点或向
量
那
么
自
然
可以
把
n
,
n
个有序实数
组
成
,
的
n
元数
组
(x
二
2
,
…
,< br>x
)
看成
一
个
n
维点或
x
1
n
l
,
维点向量
x
Z
,
x
,
并 且象
三
维向量的加
法
以
及
实数
y
与
向量的
乘
法
那样
定
义两
个
x
x
:
维
向
量
y
一
(
x
+
y
,
,
…
y
。
,
,
二
。
)
与
,
~
y
。
(
y
)
l
,
y
:
,
…
y
”
)
的
加
法
为
:
十一(
了
x
Z
+
…
x
。+
实
数
久
与
向
量的
乘
法
为< br>肠
从
而
将
对
加
法
与数乘
运
算封
闭的
,
。
一
(
心
,
,
肠:
,
…
赶
)
,
。
,
n
维向
量的
全体构成的集合
,
R
”
称为
n
维
向
量空间
。
在三维空间
中
平
面
可
以
由
一
个
三
元线
性
方
程
来表< br>示
直线
可
以
用两
个线性方
程联立
来表
示
在
n
维
空
间
中
可
以
用含有
,
n
个未知数
的
线
性
方
程
+
a
1
2
x
:
a
,l
x
l
+
…
+
a
l
o
x
。
l
一
b
表
示
一
个
n
一
1
维
平
面
m
(
m
镇,)个
这
种
方
程
7
,
a
z
:
x
,
+
十
a
,
2
x
2
+
…
十
a
,
n
a
Z
,
x
x
,
一
~
b
,
a
2
1
x
,
x
:
Z
x
:
+
…
+
,
=
b
Z
,
…
……
1
99
8
年
第
l
期
“
数
学学习
(
高等数学季
刊
)
耐
了
l
,
+
,a
心
x
Z
十
…
+
,
a~
x
。
.
一
b
,
表
示
,n
个
n
一
1
维
平
面
(
超平
面
)
将
它
们
联
立
起
来则表
示一
个
m
n
一
m
维
平
面
,
。
由于
m
个
这种
,
方
程
构成< br>的
线
性
方程
组的
每个解都表
示
,
,
个
,
n
一
1
维平
面的
交点
这些平
面可
能
相
交
也
可
能
k
不 相
交
;
可
能仅
相
交
于一
点相交
于
一
条直线
也
可
能相
交
于
一
个,
维(n
一
m
簇
k
簇
n
一
1 )
平
面
。
因
此
讨
论线性方
程
组< br>的
解
是
否
存
在的
问
题
就
归
结为讨论
这些线
性
方程所
表
示的
平
面是
否
相
交
的问
题
。
这
样
不< br>但线
性方程
组
理
论的
研
究
可
以从
三维空
间
的
几何方
法
中得到直观
的
启
示
。
。
,
而
且
关
于
线性方程组
理论的
许多
结果也
可以
有
形
象
的 几
何解
释
在分析中也
有
类
似
的
情
况
,
,
我
们
知道二
元
函
数
。,
z
一
f
(
x
“
,
y
)的
定义
域
一
般
是
一
个平
面
区
l
,
域它
的图
象
一
般
是
三
维空间的
曲
面
维空间的
一
个
区
域它
的图
象
就是
n
,
:
,
类似
地
,
n
元
函
数
一
f
(
x
n
x
Z
,
…
。
,
x
。
)
的
定
义
域就是
,
+
1
维
空
间的
超曲
面
(
或
维流
形
)
、
将
三维
空间
中
两
点
间
,
的
距离
概
念推 广到
维空
间
后
就
可
以
将许多几何
概念(
例如线段
球
长
度
和
角等
)
很容易地
、
移
植
到
n
维
空
间
引
人
。
,
n
维
欧
氏空间
研
究
,
,
n
元
函
数
的极限
和
连
续
等< br>概
念建立
n
维
欧
氏空
间
,
上的微积分
随着科学技术
的
不
断
发
展人
们发
现
多维
空
间
不
仅仅是
一
个纯粹
的
数学
概
念
而
且有着广
泛
的的现
实基
础是 处理
许
多实
际
问
题
的重要
数学
方
法
尸
V
,
。
例如
根
据理想气体状态方
程< br>式
之
间
关
系
只
要
在
二维
平
面
,
,
,
一
RT
,
为
了
表
示
在
一
定
温
度
T
的
条件
下
气体
的压
力
尸
与体积
。
VR
,
上
画
出描述这种关
系
的
函
数
图
象就行
了
但
是如果
要
讨
论更
复杂
的
物理
系
统它
的
状
态不能仅
由两
个
因素确
定而是
由
三
个
或更多
的
因
素来确
定
那
么
描绘它
的
状态
的图
象就
需 要
多
维
空
间
的
观
念
T
,
。
,,
例
如
考察
四
种理想
气体
的
混
合物若体积
V
一
定则
混
合
物
的
状
态由五
个
因
素决
定温度
,,,
:
;压力
P
以
及
三种
气体
的浓
度
即
它们
含量的
百
分
比
C
C
,,
Z
,
C
(
另
一
气体
的百
3
分
含量< br>C
~
1
;
,
一
C
一
C
一< br>C
l
Z3
,
不是独
立
变
量
)
。
因
此
四
种气体
混
合物
的
每个状
态
可
以
看成
五
维
空
间的
点
刀< br>+
,
n
种
气体
混
合物
的
每个
状
态就
可
以
看成
、、
1
维
空
间 的
点
。
多维
空
间的
几
何
方法
现< br>在
已
被广
泛地
应用
于
自然科学
和
社 会科学的众
多领域
之
中
,
。
如果
一
个系统
(
物理
的
化
学
的生
物
的
或
者经
济
的
)
由
n
个
独立
变量
(
独
立
因
素
)
决定
即
系< br>统
的
状
态
随着
n
个变
量
中任何一
个
的
改变
而
改变
那
么
就说
这
个系统具有
,,
,
n
个自由度
这
些确定该系n
。
统
状
态的
自
由
度
起
着它
的
坐
标
的
作
用
因
此
具有
空间
的
一
个点
这
种
,
n
个自由度
的系
统
的
每个
状态
可
以
看作
。
维
,
n
维
空
间
就
是
现
代
科
学
中广为
运
用的
所谓相
空间上面列
举
的< br>描
写
多种气
。
体
混
合
物状
态
的空
间就是
相空
间
n
在分
子
物理学中描
写
每个分
子的
运
动
状
态
需
要
六< br>个
量即
。
,
位
置的三
个
坐
标
和
速度的
三
个分
量
写
因
此
,
n
个分
子
的运
动状态就
要
由6n个变
量
给定
因
而
描
。
,
个分
子
所构成
系统
运动
状态
的
相
空间是
6n
维的
二< br>为什
么
要研究
无限
维空间
、
多
维空间
概念的广
泛
应
用
推
动
了空
间概念的
进< br>一
步
发
展
,
,
。
二十世
纪
初
为
了
研究那些
不
,
能
用
有限个
因
素确定的
对
象或者具有
无
限多个自由
度
的
系统数学中
开
始研
究
所谓无
限维空
间
。
,
平
方
可
和
数
列空
间
尸
是
数学中
最早引
进
的无限
维空
间
之
一
。< br>空间
z
中的每个
元
素
都
是一
,
个实 数
列
x
一
(x
,
,
二
2
,
…
,
x
,
,
…
)
,
并且满足
下
述
条
件
(
此处我们假定
x
是
一
个 实数列
)
:
艺
’
}
二
}
<
+。
.oc