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被盖浅谈现代数学的三大学派

作者:高考题库网
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2020-11-26 18:17
tags:数学, 理学, 高等教育

昂组词-

2020年11月26日发(作者:霍裕平)

江西科技师范学院学年论文
浅谈现代数学基础的三大学派
郭秋平
(数学与应用数学(2)班 20081428)
指导老师:王亚辉

摘 要 本文简单介绍了现代数学基础的三大学派产生的背景,导致各学派失败的原因及其对
现代数学发展所 做出的贡献。
关键字:逻辑派;直觉派;形式公理派

一、引言
从20 世纪初到30年代左右,由于集合悖论的发现,使许多数学家卷入了一
场大辩论之中。他们看到这次数学 危机动摇了数学大厦的根基,因此必须对数学
基础进行严密的考察。原来还不十分明显的意见分歧成为学 派之争,相应于数学
是什么这个问题的答案,数学基础从它诞生开始便分成了三大哲学流派,这就是以罗素为代表的逻辑派,它强调逻辑而排斥直觉,主张逻辑是整个数学的唯一基
础;以布劳威尔为代 表的直觉派,它强调直觉而排斥逻辑,主张直觉才是数学的
唯一基础;以希尔伯特为代表的形式公理派, 认为逻辑具有先验的真理性以及数
学整个 地具有逻辑的特征,它主张通过逻辑的相容性即无矛盾性来维 护数学的
数学的真理性和合法性。三派之间的热烈辩论成为现代数学史上著名的数学基础
大论战 。他们从各自的 哲学观点出发,对悖论引起的数学危机,从概念的准确
性、提法的严密性、推理的合理 性等方面一一加以审查,对数学的本质、数学
对象的存在性、数学的真理性以及与数学有关的逻辑问题等 进行哲学思考。
二、逻辑派
逻辑主义学派主张把数学还原于逻辑,试图在逻辑的基础上建立 全部数学。
在他们看来,数学不过是逻辑的自然展延,数学可以从逻辑推导出来,数学概念
可以 通过显定义而从逻辑概念推导出来,数学定理可以通过纯粹的逻辑演绎法而
从逻辑公理推导出来,因此数 学即逻辑。
逻辑主义学派的先驱是德国的戴德金和弗雷格,戴德金在集合的概念定义自
然数时 ,便主张把数学还原于逻辑,这就是:从少量的逻辑概念出发,去定义出
全部的数学概念;从少量的逻辑 命题出发,去演绎出全部的数学理论。
(一)逻辑派的产生
逻辑派的思想萌芽,可追溯到莱 布尼茨,但他本人并没有做具体的工作。弗
雷格在研究算术公理化时发现,所有的算数概念都可以借助于 逻辑概念来定义,
所有的算术法则也都可以借助于逻辑法则来证明,从而弗雷格逐渐形成了数学还
原为逻辑的观点。他的研究成果发表在《算数基础》和《算数的基本定理》中。
罗素在吸引前人成果的 基础上,采用了皮亚诺的自然数公理系统来作为自己的基
础研究的出发点,于1903年完成了他的《数 学的原理》,第一次系统的介绍自己
用逻辑来推算出的数学成果。1910—1913年,罗素与怀特海 合著了《数学原理》,
完整和更为详细地从公理出发,借助符号逻辑的手段把数学加以严格的处理。
(二)逻辑派的失败
在《数学原理》中并没有把数学还原为逻辑。罗素和怀特海在定 义无穷基数
时,不得不加一条“无穷公理”,不然就不能定义出自然数全体和无理数,就无
法建 立一个超穷数理论和实数理论。在证明“非归纳数必定是自反数”时,又必
须引进选择公理,否则有很多 数学定理就不能成立,而“无穷公理”和“选择公
理”都不是逻辑公理。另外,在用类型论来处理分析中 的问题时,为了避免复杂
性,他们又引进了“可化归公理”。由于这一公理随意性很大,因此受到众人的
反对。所以逻辑派将数学还原逻辑的企图不得不以失败而告终。
逻辑派之所以失败,最根本的 原因在于过分夸大数学与逻辑之间的同一性,
而对于数学与逻辑之间质的区别完全抹杀了。我们说数学与 逻辑既有同一性,又
有他们之间的差别性。他们的同一性首先表现在相互依赖上。数学离不开逻辑,如数学中的公理化方法实质上就是逻辑方法在数学中的直接应用,在公理系统中
所有的命题和有关概 念都是逻辑地联系起来的。另一方面,数学也促进了逻辑的
发展,由传统逻辑向数学逻辑的演进正是数学 方法的应用结果。其次,数学与逻
辑的同一性表现在两者的共同特性上,这种共同特性最重要的在于它们 研究对象
的高度抽象性。数学与逻辑的差异性主要表现在研究对象的不同上,尽管它们都
是抽象 的,但抽象的内容不同,逻辑是研究如何单纯的依据语句的逻辑结构去解
决推理的有效性问题,而数学舍 弃了事物质的属性,从量的侧面研究客观世界的
量的规律性。
(三)逻辑派的贡献
尽管逻辑派的数学哲学观是错误的,但他们在数学研究方面的贡献还是应该
肯定的,这主要表现在:
(1) 由于佛罗格、罗素等逻辑学派的工作,形式逻辑基本上实现了从传
统逻辑到数学逻辑的发展;
(2) 《数学原理》已相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系
统,这就为公理化方法 的近代发展奠定了一个必要的基础;
(3) 罗素的类型论对于排除悖论具有重要的意义。
(4) 为现代数理逻辑奠定了基础。而符号逻辑的公理化,揭示了数学与
逻辑之间的关系,对 于当今计算机的研制和人工智能的研究具有巨
大现实意义。
三、直觉派
直觉主义学派也称为构造主义学派,他们主张数学产生于直觉,认为只有能
直觉地感受到的东西才有意义 ,数学的对象只能由心智所构成,数学的真理性与
经验无关。他们不同意逻辑主义学派把数学归于逻辑的 主张,认为不是数学依靠
逻辑,而是逻辑依靠数学逻辑命题不过是一种更为普通的数学命题。在他们看来 ,
数学思维先于逻辑和经验,决定数学思维正确性的既不是逻辑,也不是经验,而
是一种带构造 性的直觉。
直觉主义的主要先驱是克罗内克和庞加莱,但作为一个学派则是荷兰数学家
布劳威 尔开创的,比起早期先驱者,无论是在哲学上,还是在数学上,都更加彻
底、完整地发展了直觉主义观点 。布劳威尔坚持认为概念性思维不是数学本身的
一个部分,概念只不过是理性对创造的性质加以隔离而产 生的纯消极产物,概念

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