number9数学概念研究的主要内容及其评析

2020年11月26日发(作者：尹瘦石)
一、数学概念的内涵1.数学概念的分类
对概念进行分类，是心理学家的一种追求，因为这是问题研究的一个起点。
给数学概念分类的 目的在于：①从理论上解析数学概念结构，从而为数学概
念学习理论奠定基础；②在教学设计中，便于根 据不同类型概念制定相应的教学
策略（喻平等，2003）。
概念分类有不同的标准，从已有 研究来看，对概念分类主要采用以下几种方
式：从数学概念的特殊性入手分类，突出刻画数学概念的特征 ；从逻辑学角度进
行分类，在一般概念分类的基础上对数学概念进行划分；依据学习心理理论对概
念进行分类，以揭示不同概念学习的心理特征。从教育心理学的角度看，对概念
进行分类的目的都是为 概念教学服务的，围绕“如何教”的概念分类是人们追求
的目标。
（1）原始概念、入度大的概念、多重广义抽象概念。
有学者依据概念之间的关系，把数学概 念分为原始概念、入度大的概念、多
重广义抽象概念。徐利治先生认为，数学概念间的关系有三种形式： ①弱抽象。
即从原型A中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构B，
使 A成为B的特例。②强抽象。即在原结构A中添某一特征，通过抽象获得比原
结构更丰富的结构B，使B 成为A的特例。③广义抽象。若定义概念B时用到了
概念A，就称B比A抽象。如果将一组相关概念A1 ，Az，…，A。对应于平面上
的几个点a，a，…，aa，有抽象关系的概念在其对应的两点之间连结 一条有向
线，那么a，a，…，aa连同这些有向线便组成了一个有向图。如果A： 同概念的始点或末点 ，则称A为交汇点或分叉点。从分叉点引出链的条数以及在
交汇点汇集链的条数，分别称为该点的“出度 ”或“入度”。
记出度为d+（A），入度为T（A）。基于这样的认识，把一条链的起点概念称为原始概念。原始概念表现为教材中的公理或不做严格定义的初始概念等。这些
概念一类是以实物为 原形，对实体的抽象；另一类则是以包摄程度最高的概念作
为原始概念。而入度大的概念就是厂（A）较 大的概念，表明定义A时用到了另
外若干个概念。此外，对于概念A，若工（A）≥2，且定义A所用概 念与A之间
均为广义抽象关系，则称A为多重广义抽象关系（喻平，1995）。从严格意义上
说，这不是对概念的分类，只是刻画了一些特殊概念的特征。它的教学意义在于，
教师进行教学设计时可 以重点考虑对这三类概念的教学处理，或作为教学的重点，
或作为教学的难点。
（2）合取概念、析取概念、关系概念。
有学者依据概念由不同属性构造的三种方式（联合属 性、单一属性、关系属
性），分别对应地把数学概念分为合取概念、析取概念、关系概念。所谓联合属< br>性，即几种属性联合在一起对概念来下定义。这样所定义的概念称为合取概念；
所谓单一属性，即 在许多事物的各种属性中，找出一种（或几种）共同属性来对
概念下定义，这样所定义的概念称为析取概 念；所谓关系属性，即以事物的相对
关系作为对概念下定义的依据。这样所定义的概念称为关系概念（曹 才翰等，
1999）。显然，这种划分建立在逻辑学基础之上，以概念本身的结构来进行
分类。
这种方法同样适合于对其他学科的概念进行分类，因而没有体现数学概念的
特矫性。
（3）陈述性概念与运算性概念。
在对概念结构的认识方面，认知心理学家提出一种理论—— 特征表说，所谓
特征表说即认为概念或概念的表征是由两个因素构成的：一是定义性特征，即一
类个体具有的共同的有关属性；二是定义性特征之间的关系，即整合这些特征的
规则。这两个因素有机地 结合在一起，组成一个特征表。有学者根据这一理论和
知识的广义分类观，对数学概念进行分类。
一个数学概念可以表述为C=R（n，xe，……xn），其中，x，e，…，x。
为n个定 义性特征（或上一级概念），R为整合这些特征的规则。如果R及x，
xe，……x。没有数学的运算意 义，那么称这类概念为陈述性概念，否则称为运
算性概念。例如，对于平行四边形概念，如果（AB/∥ CD）A（AD//BC），那么称
四边形ABCD为平行四边形。这里是两个定义性特征的合取，不存 在运算性特征，
所以平行四边形概念是陈述性概念。对于运算性概念，依据运算方式的不同又可
分为程序性概念和构造性概念两种类型。程序性概念是指该概念的定义中给出了
判断概念本质属性的运算 程序，如“偶数”、“最大公因式”概念等。构造性概念
指在判断一个概念时，需要构造出一个满足某种 属性的对象后再实施运算的概念，
如“有界数列”的概念。于是，得到关于数学概念的一种分类（喻平等 ，2003）：
【陈述性概念
数学概名，f程序性概念
运算性概构造性概念 < br>将数学概念分为陈述性概念和运算性概念，比较好地刻画了数学概念的特征。
相对说来，陈述性概 念有“静”的一面，而运算性概念有“动”的一面。陈述性
概念的理解主要应明确定义性特征和整合定义 性特征的规则，运算性概念的理解
则要掌握运算的意义和运算的程序。
（4）叙实式概念、推理式概念、变化式概念和借鉴式概念。
有论者认为数学概念理解是对数 学概念内涵和外延的全面性把握。根据不同
特点的数学概念所对应的理解过程和方式可将数学概念分为叙 实式数学概念、推
理式数学概念、变化式数学概念和借鉴式数学概念等4种类型。
所谓叙实式 数学概念，一般指的是那些原始概念、不定义的概念，或者是那
些很难用严格定义确切描述内涵或外延的 概念。这类概念包括平面、直线等原始
概念，包括算法、法则等不定义概念，还包括数、代数式等外延定 义概念等。所
谓推理式数学概念，是指能够对概念与相关概念的逻辑关系本质进行描述的数学
概 念。此类概念的特点可归纳为：前有因，后有果，同层有联系。“前有因”指
的是它是在一些基本概念的 基础上产生的；“后有果”指的是它还能推出或定义
出一些概念；“同层有联系”指的是与它所并列于同 一个逻辑层次上的其他概念
有着一定的逻辑相关性。所谓变化式数学概念，包括以原始概念为基础定义的 ，
包括那些借助于一定的字母与符号等，经过严格的逻辑提炼而形成的抽象表述的
数学概念。所 谓借鉴式数学概念，包括由其他学科引申或借鉴出来的概念，包括
有直接非数学学科背景的概念，还包括 在其他学科有典型应用的概念，例如，导
数、梯度和数学归纳法等概念（王秀明等，2005）。
2.数学概念的特点
数学概念具有抽象性和具体性的双重特点。因为数学概念代表了一类对象 的
本质属性，因此它是抽象的，没有实际的物质存在。但另一方面，尽管概念作为
一种抽象，物 质世界中没有实际的存在，但是从数学教学和学习来看，学生可以
获得概念，概念一旦被学生所掌握，对 学生来说就是“实在”的东西了。这是概
念具体性的一面（曹才翰等，1989）。具体地，①数学概念 是反映一类事物在数