祝寿词语神奇的数学

2020年11月26日发(作者：谢少文)



数字黑洞 6174

任意选一个四位数(数字不 能全相同)，把所有数字从大到小
排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作，7步以内必然会得到
6174。















例如，选择四位数 6767：

7766 - 6677 = 1089

9810 - 0189 = 9621

9621 - 1269 = 8352

8532 - 2358 = 6174

7641 - 1467 = 6174



……

6174 这个“黑洞”就叫做 Kaprekar 常数。对于三位
数，也有一个数字黑洞——495。




3x + 1 问题

从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这
个数是偶数，把它除以 2 ;如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的
3 倍后再加1 。你会发现，序列最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
的循环。






例如，所选的数是 67，根据上面的规则可以依次得到：

67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34,
17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...


数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421 陷
阱”。但是，是否对于 所有 的数，序列最终总会变成 4, 2, 1
循环呢?


这个问题可以 说是一个“坑”——乍看之下，问题
非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳;殊不知进去容
易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数
学家不计其数，这可以从3x + 1 问题的各种别名看出来： 3x + 1 问
题又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、
Hasse 算法、Ulam 问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆
让谁都不沾光，直接叫做 3x + 1 问题算了。


直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数
都成立。





特殊两位数乘法的速算

如果两个两位数的十位相同，个位数相加为 10，那么你可
以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作 AB 和 AC，
那么它们的乘积的前两位就是 A 和 A + 1 的乘积，后两位就是 B
和 C 的乘积。


比如，47 和 43 的十位数相同，个位数之和为 10，因而它
们乘积的前两位就是 4×(4 + 1)=20，后两位就是7×3=21。也
就是说，47×43=2021。


类似地，61×69=4209，86×84=7224，
35×35=1225，等等。


这个速算方法背后的原因是，(10 x + y) (10 x + (10 - y)) =
100 x (x + 1) + y (10 - y) 对任意x 和 y 都成立。




幻方中的幻“方”

一个“三阶幻方”是指把数字 1 到 9 填入3×3的
方格，使得每一行、每一列和两条对角线的三 个数之和正好都相
同。下图就是一个三阶幻方，每条直线上的三个数之和都等于
15。





大家或许都听说过幻方这 玩意儿，但不知道幻方中的一些美
妙的性质。例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的
三阶幻方，就有816
2
+ 357
2
+ 492
2
= 618
2
+ 753
2
+ 294
2
利用
线性代数，我们可以证明这个结论。






天然形成的幻方




从 1/19 到 18/19 这 18 个分数的小数循环节长度都是
18。把这 18 个循环节排 成一个18×18的数字阵，恰好构成一
个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是
81 (注：严格意义上说它不算幻方，因为方阵中有相同数字)。





196 算法

一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“ 回文
数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直
到得出一个回文数为止。例 如，所选的数是67，两步就可以得到
一个回文数 484：

67 + 76 = 143

143 + 341 = 484

把 69 变成一个回文数则需要四步：
69 + 96 = 165

165 + 561 = 726

726 + 627 = 1353

1353 + 3531 = 4884


89 的“回文数之路”则特别长
到第一个回文数,88。


要到第 24 步才会得

，
大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得
到一 个回文数，这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样
——对于 几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回
文数。不过，196 却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经
用计算机算到了 3 亿多位数，都没有产生过一次回文数。从196
出发，究竟能否加出回文数来?196 究竟特殊在哪儿?这至今仍是个
谜。





Farey 序列

选取一个正整数 n。把所有分母不超过 n 的 最简 分数
找出来，从小到大排序。这个分数序列就叫做 Farey 序列。例
如，下面展示的就是n = 7时的 Farey 序列。