颐和园的故事数学的发展方向

2020年11月26日发(作者：荣霖)

数学的发展方向

1．更高的抽象性 在纯粹数学领域中，集合论观点的渗透和公理化方法的运用极大地推
动了纯粹数学向更高的抽象化发展。 20世纪初，康托尔创立的集合论在数学中的作用
越来越明显，集合概念本身被抽象化了，例如，它可以 是任意性质的元素集合，诸如函数的
集合、曲线的集合等．集合论作为一种语言被应用于数学的不同领域 ，同时引起了数学中基
本概念的深刻变革，从而导致新的数学分支的建立，实变函数和泛函分析即是明显 的例子。
法国数学家勒贝格(H．Lebesgue)利用以集合论为基础的“测度”概念而两大支柱。 在
20世纪公理化方法向各个数学领域渗透。抽象代数是建立了与柯西和黎曼积分不同的“勒
贝 格积分”．在勒贝格积分的基础上，进一步推广导数等微积分基本概念，进而重建了如微
积分基本定理等 微积分中的基本事实，从而形成了新的数学分支——实变函数论；受集合论
的影响，空间和函数这两个基 本概念发生了进一步的变革，空间被理解为某种约束某类元素
关系的空间结构的集合，即空间是某种结构 的集合，而函数的概念则被推广为两个空间(包
括一个空间到它自身)之间的元素的对应(映射)关系， 其中将函数映为实数(或复数)的对应
关系就是通常所称的“泛函”。实变函数和泛函分析成为现代分析 学的应用公理化方法把代
数理论进行抽象化的杰出成就．代数学中公理化方法的系统运用是在希尔伯特关 于几何基础
的工作出现之后，受希尔伯特的直接影响，诺特(EmmyNoether，1882～19 35)及其学派确立
了公理化方法在代数领域中的地位，诺特在一篇论文中用公理化方法发展了一般理想 论，奠
定了抽象交换环的理论基础，它是现代抽象代数开始的标志．抽象代数使代数结构成为代数
学研究的中心，代数结构的研究对现代数学的发展影响深远。
2．更深入的基础探讨
随着 集合论在数学各领域中的渗透和应用，它逐渐成为数学理论的坚实基础，但随后罗素悖
论(通俗的形式即 所谓的“理发师悖论”)的出现打破了人们对集合论作为数学基础的信任，
引起了关于数学基础的一系列 问题。例如：(1)如何解决已发现的悖论并进一步保证在公理
系统中不出现悖论。(2)如何理解“数 学的存在”。(3)有无实无限，如何理解实无限。(4)
数学的基础是什么。 对这些问题的不同 回答，形成了数学基础中的各种学派。其中3个
学派——逻辑主义、直觉主义和形式主义，对后来数学基 础的发展产生了较大的影响．对这
些学派的基本观点将在后面内容中详细介绍，这里不予赘述。三大学派 在20世纪前30年间
非常活跃，相互争论非常激烈。现在看来，这三大学派都未能对数学基础问题做出 令人满意
的解答。但他们的研究却将人们对数学基础的认识引向了空前的深度。并促使数学基础作为一门数学分支学科得到前所未有的发展，其中最重要的方向就是数理逻辑。三大学派在基础
问题上积 累的深刻的结果，都被纳入数理逻辑研究的范畴而极大地推动了现代数理逻辑的形
成与发展。
3．更强的统一性 20世纪以来，不同学科之间的相互渗透、结合更为广泛．不同分支领
域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科
的不断兴起 。 20世纪可以说既是纯粹数学的时代，又是应用数学的时代。特别是20世
纪40年代以后， 数学以空前的广度和深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子
计算机的推助，应用数学的蓬勃 发展已成为当代数学的一股强大潮流。应用数学的这个新时
代具有以下几方面的特点。 (1)数学的应用几乎扩展到所有的知识领域 19世纪70、
80年代，恩格斯曾经对数学应用 状况做过这样的估计：“在固体力学中是绝对的，在气体力
学中是近似的，在流体力学中已经比较困难了 ，在物理学中多半是尝试性的和相对的，在化
学中是最简单的一次方程式，在生物学中等于零”。然而经 过1世纪的发展，数学的应用远
远超出了恩格斯的估计。数学正向人类的一切知识领域进军。数学在物理 学中的应用经历了
一系列激动人心的重大事件；现代化学为了描述化学过程已少不了微分方程和积分方程 ，并