ordro专家访谈：关于小学数学的数学味

2020年11月26日发(作者：喻良能)
关于小学数学的数学味
——王尚志教授访谈录
施银燕 王尚志
王尚志：首都师范大学数学系教授、博士生导师。《普通高中数学课程标准》
负责人之一。
施银燕：北京第二实验小学教师，首都师范大学数学系博士生。

数学是多彩的，“数学味”的内涵也是丰富的

施银燕（以下简称施）：王教授， 您好！新课程改革之初，一些热闹而又走样的
数学课引起了老师们的反思，张奠宙教授曾告诫当心“去数 学化”，这一观点得
到了广大教师的支持和赞同。“数学课要有数学味”成了老师们的共识。随着实践和思考的深入，大家对“数学味”的认识也发生了根本的变化：从起初关注教
学内容是数学的还是 非数学的：“不要种了别人的田而荒了自己的地”到如今的
关注数学的本质：“把握数学教学的根”。可 究竟什么是数学的本质呢？
王尚志（以下简称王）：我并不愿意给数学的本质下定义。可能有人认为这 是可
以给定义的，我觉得最好还是不要这么“抠”，说数学就是什么，还是从具体的
例子来讨论 问题可能更好。
施：对于这个问题，有些数学教育家从不同侧面给出了回答。
史宁中教授曾 说“数学的本质就是分类”，梁贯成先生在一次报告中曾提到
数学和科学完全不同。对于专家的观点，我 们应该怎么理解？
王：“数学的本质是分类”我猜测这句话不是史教授的本意，有可能是很随口的一句话，在当时语境下的有感而发。脱离了具体的语境谈“数学的本质就是分类”
未免有断章取义之 嫌。分类的确是非常重要的研究方法，但不是数学的专利。
梁先生说“数学不是科学”可能想强调数学 的严格性。但是因此而断定操作
实验就不是数学的方法，我认为并不妥当。数学尤其是小学数学，可能就 是依赖
观察、操作加上一些点到为止的说理得出结论的。说“数学是科学”或“数学不
是科学” ，说到底还要看你对数学和科学的定义如何，我想最好还是不要在文字
上去做这个游戏。
施： 听了您的话，很受启发。原来一直很困惑于罗素关于数学的定义“数学是这
样一门学科，在其中我们永远 不会知道我们所讲的是什么，也不会知道我们所说
的是不是真的。”现已释然。大概也是特定情况下表达 的某种特定的情感吧。可
以这样说，数学的内涵是多彩的，因此，对“数学味”的界定也是丰富的，不必
在定义上过多纠缠。

数学味，重要的是学生对数学的理解

施：说到数学，就会提到数学语言的严谨性。我在刚参加工作时就知道这是一个
不能碰的雷区：数学老 师一旦用错概念说错话，便是“科学性错误”，因这一点
就会“一票否决”。细细想来，觉得不少争论不 休的问题似乎没多大意义。您能
就下面例子分析一下吗？
例1“描出图形的周长”是错的。因 为周长是封闭图形一周的长度，长度怎能描
出来呢？所以某教材在周长一课中呈现的都是描一描（指一指 ）它的“边线”。
与之类似的有：三角形的高有3条，而平行四边形的高则有无数条。因为三角形
高的定义为“一个顶点向它的对边或者对边延长线引垂线，顶点到垂足间的线
段”；而平行四边形高的 定义为“对边之间的距离”。前者是线段，位置确定；
后者是距离，位置不定所以有无数条。
例2“万级的数位有万、十万、百万、千万”是错的。因为“万、十万、百万、
千万”是计数单位，“万 位、十万位、……”才是数位的名称，二者不能混淆。
（某地教研室编制的测试卷）
例3“等 式两边同乘一个实数仍然相等”是错的。因为等式性质是“等式两边乘
同一个实数仍然相等”，“乘同” 和“同乘”含义是不一样的。（《中学数学教
与学》.人大复印 2009/1 P3）
王： 我的想法还是不要过多地在抽象的问题上让学生去做这些区别，应关注对具
体问题的理解。线段和长度， 某种意义上说本就是一回事。数位和计数单位之间
有着密切的联系，在遇到具体的问题学生也不会混淆。 而在字面上进行机械的区
分为难学生没有多大意义。比如给一个多位数，十万位上是3，这个3表示3个
什么？学生能理解这样的问题就可以了。“乘同”、“同乘”并不是数学上的什
么概念。说“同 乘一个实数”即“同时乘一个实数”，乘的自然是相同的数，不
至于认为左边乘2右边乘3去。在这些问 题上较真，会让孩子脑子里充斥着与朴
素认识相矛盾的东西，反而不利于他们对数学的理解。
施：不应拘泥于表面的文字，而应关注学生真正的理解！
王：对，要学会听懂孩子们的“数学 普通话”！学生没有系统学过数学，也正因
为如此，他们思考问题时也就少了一些条条框框，有时反而更 容易接近数学的本
质。抛开一些名词、概念，重要的思想往往是相通的。我一直有个想法，就是孩
子的想法，原则上一定是有道理的。不管在你眼里他是聪明的还是愚笨的，他可
能没我们看得那么远， 但是最近的一步往往是有道理的。能理解孩子朴素想法里
可能蕴藏着的数学本质，在此基础上逐步引导他 学会讲道理，这一点很重要。

“数学味”不能靠简单下放，而需要深度思考

施：课改赋予教师更多的“教什么”的自主权。实际教学中，我们还常看到不少
课拥有十分华丽 的尾巴——把一些中学甚至大学的数学知识或方法下放。比如小
学里就讲实数的连续性和有理数的稠密性 ，教学平行时谈到黎曼几何，往往这样
的课也因为“有数学味”得到大家的肯定。对于这一点，您怎么看 ？
王：有一点我们应该清楚，就是不见得老师知道的一定要让学生知道。前不久我
刚和老师们 讨论过小学的《确定位置》一课，老师们都舍不得放弃研究一条直线
上各点或一个三角形各定点数对的特 点这个环节，甚至还有老师提要渗透直线的
斜率等，我想说，就一个特殊图形做文章这是以后会处理的事 ，没有必要在刚接
触坐标时蜻蜓点水地做。确定位置最重要的是什么？应该是对参照点、方向、单
位的体会！用数对刻画位置，是实现空间有序化结构化的基础。这是我们要重点
做的文章。我们的认识 可能有一些误区，我们往往崇拜高深的、欣赏简洁巧妙的。
其实重要的思想方法往往能以极其朴素的形式 表达出来。
施：蜻蜓点水般把中学数学中的某些知识在小学课堂中走一朝不是路子，要下的
功 夫应该是怎样简单中显深刻，浅显中见经典。您能再举一些例子具体谈谈吗？
王：最近几年我和小学老师有些接触，我们会讨论一些具体问题，挺有意思。
比如估计，它是 本次课程改革特别加强的内容。小学阶段，大家比较认同的把“估
计”分为三种类型：计算“估计”（简 称为估算）、测量“估计”（简称为估测）
和数量“估计”（简称为估数）。我们可以看出，它们是依据 “估计”对象和内
容的不同划分的。但是从数学的角度看，这三种“估计”类型拥有共同的特点，
例如：都需要首先确定数量级(或单位)；结果的正确与否都需要评价者给定误差
范围才能确定；结果 的正确与否与实际情境密切相关等。所以这样的分类对估计
的数学内涵的认识没什么实质的帮助。在“估 计”的数学本质没有阐述清楚之前，
就想讨论估计的策略、技巧等可能意义不大。我们不妨结合实际案例 来分析：如
我们常常见到这样的题目：估算24.8248的结果。但是这样的估算题目并没有
对结果的误差范围作要求，所以我们可以进行以下几种“估计”：一是利用四舍
五入法取近似数，把原算 式变为20 50，从而估计出结果的数量级为10
3
；二
是将24.82和48都往 大估，把原算式变为30 50确定出1500是原计算结果的
一个上界，再将24.82和48都往小估，把原算式变为20 4 0确定出800是原
计算结果的一个下界，这样就确定出原计算结果在800到1500这个区间中。我
们还可以在此基础上，不断缩小误差范围，求得更佳近似值。再如要估计一座
15层楼的高度约 是多少米，可以以自己的身高为基准量，估计出每一层的楼高
约是多少倍的身高，再推测整个楼的高。这 里最重要的是选定“估计”的单位，
这些单位可以是科学中已经规定好的单位，如“厘米、千克”等，也 可以是自己
规定的单位，如刚才我们把自己的身高当做基准量。从上面分析可以看出，“估
计” 中包含的数学内涵有“界、单位、数量级、误差与近似”，而“界、单位、
数量级、误差与近似”则是我 们从小学到大学的数学学习中反复出现，贯穿始终
的数学思想和方法。显然从这四个不同维度再去审视估 计，比“估数、估算、估
测”更能反映数学的本质。施：您的分析让我们很受启发！很多时候由于我们自
身数学修养的欠缺，不能站在更高的层次来审视小学数学。可能我们最急需的还
是加强学习，您 能给我们提些建议吗？
王：我觉得单纯的学习不一定有效。不少老师有这样的经验：上大学学了高等数
学，忘了中小学数学，回到中小学又彻底忘了高等数学。关键还在于深度的思考，
从整体上去把 握数学课程。我让我的学生思考，在小学（或中学）数学里，最重
要的是什么？有哪些主线？我和学生有 这样的共识：凡是反复出现的必然是重要