52色数学趣味题(三)

2020年11月26日发(作者：姚奠中)数学趣味题（三）

1、蝴蝶效应

气象学家Lorenz提出一篇论文，名叫「 一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas州引起龙卷风？」论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定， 他把这种现象戏称做「蝴蝶效应」。就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的 点数也不一定是相同的。Lorenz为何要写这篇论文呢？

这故事发生在1961年的某个冬 天，他如往常一般在办公室操作气象电脑。平时，他只需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三 个内建的微分方程式，计算出下一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图。

这一天，Lor enz想更进一步了解某段纪录的後续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的後续结果 。当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵。在一小时後，结果 出来了，不过令他目瞪口呆。结果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到後期，数据差异就越大了，就像是 不同的两笔资讯。而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0.000127，而这些微的差异却造成天壤 之别。所以长期的准确预测天气是不可能的。

参考资料：阿草的葫芦(下册)——远哲科学教育 基金会

2、动物中的数学“天才”

蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是 平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度 28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。u3000 u3000

丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更 精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体 的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？u3000u3000

蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称 的图案。

冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积 最小，从而散发的热量也最少。

真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历 ”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿 5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年 不是365天，而是400天。(生活时报)

3、麦比乌斯带

每一张纸均有两 个面和封闭曲线状的棱(edge)，如果有一张纸

它有一条棱而且只有一个面，使得一只蚂蚁 能够不越过棱就可从纸上的任何一点到达其他任何一点，这有可能吗?事实上是可能的只要把一条纸带半扭转，再 把两头贴上就行了。这是德国数学家麦比乌斯(M?bius.A.F 1790-1868)在1858年发现 的，自此以後那种带就以他的名字命名，称为麦比乌斯带。有了这种玩具使得一支数学的分支拓朴学得以蓬勃发展 。

4、数学家的遗嘱

阿拉伯数学家花拉子密的遗嘱，当时他的妻子正怀着他们 的第一胎小孩。“如果我亲爱的妻子帮我生个儿子，我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一；如 果是生女的，我的妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。”。

而不幸的是，在孩 子出生前，这位数学家就去世了。之后，发生的事更困扰大家，他的妻子帮他生了一对龙凤胎,而问题就发生在他 的遗嘱内容。

如何遵照数学家的遗嘱，将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢？

5、火柴游戏

一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干支火柴於桌上，两人轮流取，每 次所取的数目可先作一些限制，规定取走最後一根火柴者获胜。

规则一：若限制每次所取的火柴 数目最少一根，最多三根，则如何玩才可致胜？

例如：桌面上有n=15根火柴，甲﹑乙两人轮 流取，甲先取，则甲应如何取才能致胜？

为了要取得最後一根，甲必须最後留下零根火柴给乙， 故在最後一步之前的轮取中，甲不能留下1根或2根或3根，否则乙就可以全部取走而获胜。如果留下4根，则乙 不能全取，则不管乙取几根（1或2或3），甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏。同理，若桌上留有8根火柴 让乙去取，则无论乙如何取，甲都可使这一次轮取後留下4根火柴，最後也一定是甲获胜。由上之分析可知，甲只 要使得桌面上的火柴数为4﹑8﹑12﹑16...等让乙去取，则甲必稳操胜券。因此若原先桌面上的火柴数为 15，则甲应取3根。（∵15-3=12）若原先桌面上的火柴数为18呢？则甲应先取2根（∵18-2=1 6）。

规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则又如何致胜？

原则： 若甲先取，则甲每次取时，须留5的倍数的火柴给乙去取。

通则：有n支火柴，每次可取1至k 支，则甲每次取後所留的火柴数目必须为k+1之倍数。

规则三：限制每次所取的火柴数目不是 连续的数，而是一些不连续的数，如1﹑3﹑7，则又该如何玩法？

分析：1﹑3﹑7均为奇数 ，由於目标为0，而0为偶数，所以先取者甲，须使桌上的火柴数为偶数，因为乙在偶数的火柴数中，不可能再取 去1﹑3﹑7根火柴後获得0，但假使如此也不能保证甲必赢，因为甲对於火柴数的奇或偶，也是无法依

照己意来控制的。因为〔偶-奇=奇，奇-奇=偶〕，所以每次取後，桌上的火柴数奇偶相反。若开始时 是奇数，如17，甲先取，则不论甲取多少（1或3或7），剩下的便是偶数，乙随後又把偶数变成奇数，甲又把 奇数回覆到偶数，最後甲是注定为赢家；反之，若开始时为偶数，则甲注定会输。

通则：开局是 奇数，先取者必胜；反之，若开局为偶数，则先取者会输。

规则四：限制每次所取的火柴数是1 或4（一个奇数，一个偶数）。

分析：如前规则二，若甲先取，则甲每次取时留5的倍数的火柴 给乙去取，则甲必胜。此外，若甲留给乙取的火柴数为5之倍数加2时，甲也可赢得游戏，因为玩的时候可以控制 每轮所取的火柴数为5（若乙取1，甲则取4；若乙取4，则甲取1），最後剩下2根，那时乙只能取1，甲便可 取得最後一根而获胜。

通则：若甲先取，则甲每次取时所留火柴数为5之倍数或5的倍数加2。

6、韩信点兵

u3000u3000韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉 高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人 一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

u3000u3000我们先考虑下列的问题：假设 兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

u3 000u3000首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两 互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）。

u3000 u3000中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之 ，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」

u3000u3000答曰：「二十三」
< br>u3000u3000术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置 三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一， 七七数之剩一，则置十五，即得。」

u3000u3000孙子算经的作者及确实着作年代均不 可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早， 所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder T heorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

7、二十棵树植树问题

数学史上有个20棵树植树问题，几个世纪以来一直享誉全球，不断给人类智慧的滋养，聪明的启迪，伴 随人类文明几个世纪，点缀装饰于高档工艺美术的百花丛中，美丽经久不衰、与日俱增且不断进步，不断发展，在 人类文明的进程中更加芬芳娇艳，更加靓丽多采。

? ? 20棵

树植树问题 ，源于植树，升华在数学上的图谱学中，图谱构造的智、巧、美又广泛应用于社会的方方面面。20棵树植树问题 ，简单地说，就是：有20棵树，若每行四棵，问怎样种植（组排），才能使行数更多？

? ? 20棵树植树问题，早在十六世纪，古希腊、古罗马、古埃及等都先后完成了十六行的排列并将美丽的图谱广泛应 用于高雅装饰建筑、华丽工艺美术。进入十八世纪，德国数学家高斯猜想20棵树植树问题应能达到十八行，但一 直未能见其发表绘制出的十八行图谱。直到十九世纪，此猜想才被美国的娱乐数学大师山姆.劳埃德完成并绘制出 了精美的十八行图谱，而后还制成娱乐棋盛行于欧美，颇受人们喜爱。

? ? 进入20世纪， 电子计算机的高速发展方兴未艾，电子计算机的普及和应用在数学领域中也大显身手，电子计算机绘制出的数学图 谱更是广泛应用于工艺美术、建筑装饰和自然科学领域。数学上的20棵树植树问题也随之有了更新的进展。在二 十世纪七十年代，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机超越数学大师山姆.劳埃德保持的十八行纪录，成功地绘 制出了精湛美丽的二十行图谱，创造了20棵树植树问题新世纪的新纪录并保持至今。

乌飞兔走 ，星移斗换。 今天，人类已经从20世纪跨入了21世纪的第一个年代。20棵树植树问题又被数学家们从新提 出：跨入21世纪，20棵树，每行四棵，还能有更新的进展吗？数学界正翘首以待。国外有人曾以二十万美金设 奖希望能有新的突破，随着高科技的与日俱进和更新发展，期望将来人类的聪明智慧与精明才干能突破现在20行 的世界纪录，让20棵树植树问题能有更新更美的图谱问世，扮靓新的世纪。

8、小兔亏了多少 钱

小兔的百货商店今开开业，狐狸买了一瓶酒付了10元，小兔找给他3元。晚上整理一天的收 入时，发现狐狸付的10元是假币。小兔一着急，这下可亏大了，大哭起来。其它小动物听到了哭声都跑了过来。

? ? 小熊笨笨说：“赶紧去找狐狸要回亏的钱。大家帮忙算一算，小兔亏了多少钱，再去向 狐狸要钱。”

? ? 小猪说：“10元是假的，找了狐狸3元钱是真的，亏了3元，向狐狸要3元钱。”

? ? 小 狗欢欢一听，说：“错了！10元钱是假的。找了狐狸3元，还给了狐狸一瓶7元的酒呀！所以一共亏了10元（ 7+3）呀！要向狐狸要10元钱呀！”

? ? 小猴乐乐说：“狐狸的10元钱是假的，小兔 就亏了10元，再向狐狸要10元真钱就行了呀！”

其余的小动物听了小狗欢欢和小猴乐乐的话 ，一起去狐狸家帮助小兔要回亏了的10元

决定了泊松一生道路的数学趣题

泊 松（Poisson S.-D,B.,1781.6.21~1840.4.25）是法国数学家
，曾任过欧洲许多国家科学院的院士，在积分理论、微分方程、概率论、级数理论等方面都有过较大的贡献。

据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏：

某人有12品脱啤酒一瓶（ 品脱是英容量单位，1品脱=0.568升），想从中倒出6品脱。但是他没有6品脱的容器，只有一个8品脱的 容器和一个5品脱的容器。怎样的倒法才能使5品脱的容器中恰好装好了6品脱啤酒？

不容易想 到的是，对这个数学游戏的研究竟决定了泊松一生的道路。从此，他决心要当一位数学家。由于他的刻苦努力，他 终于实现了自己的愿望。

这个数学游戏有两种不同的解法，如下面的两个表所示。
第一种解法：

12 12 4 4 9 9 1 1 6

8 0 8 3 3 0 8 6 6

5 0 0 5 0 3 3 5 0

第二种解法：

12 12 4 0 8 8 3 3 11 11 6 6

8 0 8 8 0 4 4 8 0 1 1 6

5 0 0 4 4 0 5 1 1 0 5 0

下面两个题目是与泊松青年时代研究过的题目类型相同的；希望 青少年朋友研究后也会有人决心当数学家。

一个桶装满10斤油，另外有一个能装3斤油的空桶 和一个能装7斤油的空桶。试用这三个桶把10斤油平分为两份。

有大、中、小三个酒桶，分别 能装19斤、13斤、7斤酒。现在大桶空着，另外两个桶都装满了酒。试问：用这三个桶倒几次可以把全部酒平 分成两份？

趣题1：能不能把一个正方形剪成6个大大小小的正方形？

趣题2 ：两支长度相等的蜡烛，第一支能点4小时，第二支能点3小时，同时点 燃这两支蜡烛，几小时后第一支的长度 是第二支的两倍？

趣题3：某数加上168得到一个正整数的平方,加上100也能得到一个正 整数的 平方.请问这个数是多少？

趣题4：某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上了山， 最后又沿原路走回 原地。假如他在平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每 小时走6千米，试求 他5小时共走了多少千米？

趣题5：赵小姐的岁数有如下特点：（1）它的3次方是一个四位数 ，而4次方 是一个六位数；（2）这四位数和六位数的各位数字正好是0-9这十个 数字。问：赵小姐今年多 少岁？

趣题6：在跑马场的跑道上，有A，B，C三匹马，A在一分钟内能跑两圈，B能 跑三圈，C能跑四圈。现将三匹马并排在起跑线上，准备向同一个方 向起跑。请问：经过几分钟，这三匹马又能 并排地跑在起跑线上？

趣题7：有四个数，其中任意三个数相加，所得的和分别是84，88， 99， 110，试求这四个数。

趣题8：在同一平面内，1个圆将平面分成2个部分，2个圆 将平面最多分成4个 部分，．．．，那么10个圆将平面最多分成多少部分?

趣题9：一个人 从点M出发步行，前进20米就向右转15度，再前进20米，又向 右转15度，......，照这样走下去，

他能不能回到M点？如果能，他 回到M点时，一 共走了多少米？

趣题10：两枚不同的硬币相切，其中另一圆绕另一圆滚动，又回到起点时， 该圆共自转几圈？

趣题11：能不能把一个正方形剪成6个大大小小的正方形？

趣题12：两支长度相等的蜡烛，第一支能点4小时，第二支能点3小时，同时点 燃这两支蜡烛，几小时后第 一支的长度是第二支的两倍？

趣题13：某数加上168得到一个正整数的平方,加上100也 能得到一个正整数的 平方.请问这个数是多少?

趣题14：某人步行了5小时，先沿着平路走 ，然后上了山，最后又沿原路走回 原地。假如他在平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每 小时 走6千米，试求他5小时共走了多少千米？

趣题15：赵小姐的岁数有如下特点：（1）它的3 次方是一个四位数，而4次方 是一个六位数；（2）这四位数和六位数的各位数字正好是0-9这十个

数字。问：赵小姐今年多少岁？

趣题16：在跑马场的跑道上，有A，B，C三匹马 ，A在一分钟内能跑两圈，B能 跑三圈，C能跑四圈。现将三匹马并排在起跑线上，准备向同一个方 向起跑。 请问：经过几分钟，这三匹马又能并排地跑在起跑线上？

趣题17：有四个数，其中任意三个数 相加，所得的和分别是84，88，99， 110，试求这四个数。

趣题18：在同一平面内 ，1个圆将平面分成2个部分，2个圆将平面最多分成4个 部分，．．．，那么10个圆将平面最多分成多少部 分?

趣题19：一个人从点M出发步行，前进20米就向右转15度，再前进20米，又向 右转15度，......，照这样走下去，他能不能回到M点？如果能，他 回到M点时，一共走了多少米？< br>
趣题20：两枚不同的硬币相切，其中另一圆绕另一圆滚动，又回到起点时， 该圆共自转几圈？



答案：请您先想想再看答案~~

趣题1：剪成9个是容易的 ，把其中的四个视为一个时,剩下的一个就是5个了，故能剪成6个。

趣题2：2．4小时
趣题3：此数为156。

趣题4：此人在5小时中共走了20千米。
趣题5：赵小姐今年十八岁。

趣题6：一分钟后，这时A跑完两圈，B跑完三圈，C跑完四 圈，三匹马正好再一次在起跑线上处于平排状态。

趣题7：这四个数依次是：43，39，28 ，17。

趣题8：共92个。

趣题9：此人一共走了480米。
趣题10：2圈。

趣题11：剪成9个是容易的，把其中的四个视为一个时,剩下的一个就 是5个了，故能剪成6个。

趣题12：2．4小时

趣题13：此数为156。

趣题14：此人在5小时中共走了20千米。

趣题15：赵小姐今年十八岁。

趣题16：一分钟后，这时A跑完两圈，B跑完三圈，C跑完四圈，三匹马正好再一次在起跑线 上处于平排状态。

趣题17：

这四个数依次是：43，39，28，17。< br>
趣题18：共92个。

趣题19：此人一共走了480米。

趣 题20：2圈。

（1）一道趣味数学题

这是Leo Moser为愚人节所作的一道趣味数学题（转引自Raymond Blum等人写的书classic ma themagic）。

下面是一个28位数，不过空缺了10个数字。把空缺的数字填上数字0 ，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，每个只数字使用一次。

5_383_8_2_936_5_8_203_9_3_76 问题 是，这些28位数能够被396整除的概率是多少？

乍一看，这是一个非常棘手的问题。

这里有非常多不同的填法，共有10！种不同的方式，也就是能形成3628800个不同的28位数 。这么多的被除数，除数也很大，如果一个个数去算，得需要多少时间呀。如果你会计算机编程，也许得到答案要 快得多。

也许作者希望你一个个数地尝试，消耗掉你的精力和耐心，直到放弃对这道题的努力。 因为这道趣味数学题出现在愚人节里。

且慢，不要被作者牵着鼻子走，让我们先来看看有没有判 断一个大数被某些数整除的捷径。

（2）若干除数的整除性快速判段

关于2： 一个整数的末位是偶数，则这个数能被2整除。

关于3：一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

关于4：一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

关于5：一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

关于6：一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

关于7：一个整 数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7

的倍数，则原数能被7整 除。 因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x-2y）+21y，

如果x- 2y能被7整除，则数N能被7整除。多于两位数的继续此操作。

关于8：一个整数的未尾三位 数能被8整除，这个数能被8整除。

关于9：一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

关于11 ：一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11

整除。因为一 个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x-y）+11y，如果x-y能被11整除，

则数N能被11整除。

关于13：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的 4倍，如果差是

13的倍数，则原数能被13整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+ y=10×（x+4y）-39y，

如果x+4y能被13整除，则数N能被13整除。

关于17：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17
< br>的倍数，则原数能被17整除。因为一个两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x-5y）+51 y，

如果x-5y能被17整除，则数N能被7整除。

关于19：一个整数的 个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是

19的倍数，则原数能被19整 除。因为一个

两位数N可以表示成N=10x+y=10×（x+2y）-19y，
< br>如果x+2y能被19整除，则数N能被19整除。

（3）关于除数为7、11、13的 1001法

判断较大一个的6位数能否被7、11、13整除，还有一个快捷的“1001”法 。

因为1001=7×11×13，1001能被7、11、13整除。一个数能被7、11、 13整除的数减去1001及其倍数也能被7、11、13整除。

aba的1001倍等于把a bc再写一遍放在后边， abc×1001=abcabc

例如，897654能否被7整除 ，可以先计算897654-896896，看得数能否被7整除。

（4）396作为除数
现在，来寻找解答上述趣味题的方法。

因为，396=4×9×11，一个数要被 396整除，要同时满足3个条件：末两位被4整除，所有数字和北9整除，奇数位数字和与偶数位数字和的差能 被11整除。

这些28位数末两位为76，能被4整除，所以不管其余空白数怎么填写，所有大 数都能被4整除。

已经给出的所有数字和能被9整除，空白数字0-9的数字和也能被9整除， 所以不管空白数怎么填写，所有大数都能被9整除。

我们发现，所有的空白数都出现偶数位上， 整道题的机关就在这里。现在，我们已经非常接近答案了。剩下的过程和结论留给大家继续吧。

我不得不佩服作者出题的巧妙。

（5）也是一道趣味题：用1和0构造平方数

在本文结束前，也给愚人节出一个趣味数学题：

使用3个1和若干个0构成一个任意大的数，使 它是一个完全平方数。注意，想要多少个0、0在任何位置都行。

完成这个平方数后，使用3个 2和若干个0做同样的事。

如果你还有精力，不妨再攀登高峰，尝试用30个1或者300个1 、若干个0做同样的事情。

u3000现有一笔出售苹果的生意,已知客人可能需要的苹果数量 肯定是1个到1000个之间,但不知道具体数字.客人要求必须全部用客人提供的箱子装整箱.(每个箱子都最 多可以装1000个苹果).箱子一旦装成就无法再拆开重装.

u3000u3000有100 0个苹果,10个箱子.

u3000u3000明天凌晨就要出货,但由于联络问题还不能知道 具体数字

u3000u3000问怎么装才能无论客人需要的苹果是多少个都能满足整箱提供< br>
u3000u3000答案:

u3000u30001,2,4,8,16,3 2,64,128,256,489

有20棵树，每行4棵，最多4棵，问能完成最多多少行的 排列?

少于16行 你是一般的人。

16行 你不是一般的人。

18行 天才。

20行 你离超人还差一步了。

超过20行 你是超人了。