剑圣是谁2020学年初中数学5.3 展开与折叠(2020)

2020年11月26日发(作者：包拯)

5.3 展开与折叠
知识点一、几何体的表面展开图
有些几何体是由 一些平面图形围成的，将它们的表面积适当剪开，可以展开成平面图形，
这样的平面图形称为相应几何体 的表面展开图.


同一个立体图形，按照不同的方式展开，得到的表面展开图可能是不一样的.
立体图形中相对的两个面在展开图中既没有公共边，也没有公共顶点.
1. 常见的几何体的表面展开图
（1）圆柱的侧面展开图

（2）圆锥的侧面展开图

（3）棱柱的侧面展开图

2. 正方体的11种不同的展开图
“一四一”型




“一三二”型

“阶梯”型

PS：球没有表面展开图.
例：右下图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是( )

【解答】D
【解析】最直接的方法是做一个如图所示的正方体的表面展开图，然后再折叠后进行对照即
可． 也可用排除法，观察正方体的表面展开图，可发现分成4块的面中的4个小正方形中有
3块的颜色是阴影 ，这就可排除A，再想象折叠的图形，可知正方体被分成4块的面的对面
应是阴影，这就可排除B、C， 所以选D．
知识点二、平面图形的折叠
1. 将平面图形折叠还原成几何体，叫做平面展开图形的折叠，平面展开图形的折叠是将平
面图形立体化；
2. 由平面展开图形判断立体图形的方法有两种：一是制作模型，动手操作；二是发挥空间
想 象能力，根据平面展开图形的特征进行判断；


3. 一些常见的平面展开图形与折叠后形成的几何体的对应关系如下表：
平面展开图形
一个圆和一个扇形
两个圆和一个长方形
两个多边形和若干个长方形（正方形）
一个多边形和若干个三角形
折叠后形成的几何体
圆锥
圆柱
棱柱
棱锥
4. 判断一个平面图形能否折叠成立体图形的方法：
（1）看面数够不够；
（2）看各面的位置是否合适，尤其是底面的位置；
（3）看对应边的长度是否相等.
例：如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体 ，且有一个面涂有颜色．下列图
形中，是该几何体的表面展开图的是（ ）


A B C D
【解答】B
【解析】观察图形可知，这个几何体对应的展开图是B选项.

巩固练习
一．选择题
1． 如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～ 11，折叠围绕成正方体后，与数
字6重合的数字是（ ）



A．7，8 B．7，9 C．7，2 D．7，4
2． 某正方体的平面展开图如图所示，这个正方体可能是下面四个选项中的（ ）
A．B．C．D．
3． 图为正方体的展开图，那么在原正方体中与“你”字所在面相对的面上的字为（ ）

A．前 B．程 C．似 D．锦
4． 下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
5． 将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则 原正方体中与数字5所在
的面相对的面上标的数字为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
6． 一个圆柱的侧面展开图是长方形，这个长方形的一组邻边长分别是6和8，则这个圆柱
的底面半径是（ ）
A．3

B． C． D．或

7． 下面四个图形是如图的正方体的表面展开图的是（ ）

A．B．C．D．
8． 如图是一个正方体线段AB，BC，CA是它的三个面的对角线下列图形中，是该正方体
的表面展开图的 是（ ）

A．B．C．D．
9． 如图是哪种几何体的表面展开形成的图形？（ ）

A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．棱柱
10．围成三棱柱的面共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
11．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方
体 包装盒的是（ ）
A．B．C． D．
12．把正方体的六个面分别涂上白，黄，蓝，红，紫，绿六种不同的颜色，将上述大小相同，


颜色分布一样的，四个正方体，拼成一个平面放置的长方体，如图所示，则正方体中与白色< br>面相对的面的颜色是（ ）

A．黄色 B．蓝色 C．紫色 D．绿色
13．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）

A．B．C．D．
14．下图中各图形经过折叠后可以围成一个棱柱的是（ ）
A．
二．填空题
B． C． D．
15．将一个棱长为整数的正方体木 块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各
个面未染色的小正方体有2197个，则只有两 个面染色的小正方体有 个．
16．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体 后，有“守”字一面的相对面
上的字是 ．

17．某正方体的平面展开图如图所示，a与其对面的数字互为相反数，则a的值为 ．



18．如图是一个正方体的表面沿着某些棱剪开后展成的一个平面图形 ，若这个正方体的每两
个相对面上的数字的和都相等，则这个正方体的六个面上的数字的总和为 ．

19．某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下 ，其
中阴影部分为内部粘贴角料，（单位：mm）．则此长方体包装盒的体积是 ．

20．小明家有一个如图的无盖长方体纸盒，现沿着该纸盒的棱将纸盒剪开，得到其平面展开
图 ．若长方体纸盒的长、宽、高分别是a，b，c（单位：cm，a＞b＞c）．则它的展开图周长
最大时 ，用含a，b，c的代数式表示最大周长为 cm．

21．如果把骰子看作是一个 正方体，点数1的对面是6，点数5的对面是2，点数4的对面
是3，则与点数是3的面垂直的所有的面 的点数和是 ．
三．解答题


22．如图，是一种包装盒的表 面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．若h＝a+b，
且a，b满足（a﹣1）2+（b﹣3 ）2＝0，求该几何体的表面积．

23．如图所示，两个圆和一个长方形（阴影部分）恰好 可以围成一个圆柱，求这个圆柱的体
积（π取3.14）．

24．若一个正方形的边长增加3cm，则其面积就增加69cm2．
（1）求这个正方形的边长；
（2）若把这个正方形的四个角各剪去一个边长为acm（0＜ a＜5）的小正方形，再折叠成一
个无盖的长方体盒子（如图），求这个长方体的侧面积及体积．




25．已知一个六棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是8厘米，请回答下列问题
（1）这个六棱柱一共有多少个面？一共有多少条棱？这些棱的长度之和是多少？
（2）沿一条侧棱将这个六棱柱侧面全部展开成一个平面图形，这个图形的面积是多少？






26．将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面 连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图
的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是 （填A或B）．

（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表
面 展开图．（用阴影表示）

（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画 在右图的方格图中．（用阴
影表示）





27．如图1是边长为20cm的正方形薄铁片，小明将其四角各剪去一个相同的小正方形（图
中阴影部 分）后，发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子，图2为盒子的示意图（铁
片的厚度忽略不计）．
（1）设剪去的小正方形的边长为x（cm），折成的长方体盒子的容积为V（cm3），用只含


字母x的式子表示这个盒子的高为 cm，底面积为 cm2，盒子的容积V为
cm3；
（2）为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长x之间的关系，小明列表分析：
x（cm） 1 2 3 4
576
5
500
6 7 8
128 V（cm3） 324 588 252
请将表中数据补充完整，并根据表格中的数据写出当x的值逐渐增大时，V的值如何变化？




28．如图，如果将图1的长方体展开图剪下，再把它折叠井粘好粘合 处，那么就能得到图2
的长方体包装盒．

（1）根据图1所示的尺寸（单位：厘米），用含a、b、c的式子表示包装盒的表面积．
（ 2）包装盒的成本按粘好后的表面积计算，当a＝b＝c＝1时，已知每个包装盒的成本为x
元/cm2 ，按成本增加20%可定为售价，如果某工厂要加工这样的长方体的包装盒y个，并
且按售价的九折全部 卖给销售商，那么这个工厂盈利多少元？









一．选择题
1．如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有 自然数1～11，折叠围绕成正方体后，与数
字6重合的数字是（ ）

A．7，8 B．7，9 C．7，2 D．7，4
【解答】C
【解析】根据“间 二，拐角邻面知”可得与A面相邻的面为B面、C面、D面、E面，
折叠后与数字6重合的数字为7，2 ，
故选C．
2．某正方体的平面展开图如图所示，这个正方体可能是下面四个选项中的（ ）

A． B． C． D．
【解答】A
【解析】根据题意及图示经过折叠后符合只有A．
故选A．
3．图为正方体的展开图，那么在原正方体中与“你”字所在面相对的面上的字为（

A．前 B．程 C．似 D．锦



）