新型流感华罗庚学校数学教材(五年级下)第05讲 同余的概念和性质

2020年11月26日发(作者：仲芳型)
本系列共15讲
第五讲同余的概念和性质
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文档贡献者：与你的缘
你 会解答下面的问题吗？
问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，
问“六· 一”儿童节是星期几？
这个问题并不难答，因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，
即1 5=7×2＋1，所以“六·一”儿童节是星期一。
问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的 元旦是星期几？
这个问题也难不倒我们。因为，1993年有365天，而365=7
×52＋ 1，所以，1994年的元旦应该是星期六。
问题1、2的实质是求用7去除一总的天数后所得的余数。 在
日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得
的余数问题。这样就产生了 “同余”的概念。如问题1、2中的15
与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对 于模7
同余。
余同定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那
么称a、b 对于模m同余，用式子表示为：
a≡b(modm)
—
1
—
(*)< br>上式可读作：
a同余于b，模m。
同余式(*)意味着（我们假设a≥b）:
a －b=mk，k是整数，即m︱(a－b).
例如：①15≡365（mod
②56≡20（m od
③90≡0（mod
7），因为365－15=350=7×50。
9），因为5 6－20=36=9×4。
10），因为90－0=90=10×9。
由例③我们得到启发，a 可被m整除，可用同余式表示为：
a≡0(modm).
a≡0(mod
2)
2)例如，表示a是一个偶数，可以写
表示b是一个奇数，可以写b≡1(mod
补充定义：若 m不能整除（a－b），就说a、b对模m不同余，
用式子表示是：
ab(modm)
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式
与等式在其性质上相似。同余式有如下一些 性质（其中a、b、c、d
是整数，而m是自然数）。
性质1：a≡a(modm)，（反身性 ）
这个性质很显然，因为a－a=0=m·0.
—
2
—
性质2：若a ≡b(modm)，那么b≡a(modm)，（对称性）。
性质3：若a≡b(modm)，b≡c( modm)，那么a≡c(modm)，
（传递性）。
性质4：若a≡b(modm)，c≡d (modm)，那么a±c≡b±d(mod
m)，（可加减性）。
性质5：若a≡b(mod m)，c≡d(modm)，那么ac≡bd(modm)，
（可乘性）。
性质6：若a≡b( modm)，那么a
n
≡b
n
(modm)，（其中n为非0
自然数 ）。
性质7：若ac≡bc(modm)，(c，m)=1，那么a≡b(modm)。
注意： 同余式性质7的条件(c，m)=1，否则像普通等式一样，
两边约去，就是错的。
例如6≡1 0(mod4)，而35(mod4)，因为（2，4）≠1。
请你自己举些例子验证上面的性质。同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。
例1判定288和214对于模37是 否同余，74与20呢？
解：∵288-214=74=37×2，∴288≡214（mod37）.
∵74-20=54，而3754，∴74
—
3
—
20(mod37 ).
例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
若先求乘积，再求余数，计算 量太大。利用同余的性质可以使
“大数化小”，减少计算量。
解：∵418≡2（mod13） ，814≡8(mod13)，1616≡4(mod13),
∴根据同余的性质5可得：
41 8×814×1616≡2×8×4≡64≡12(mod13).
答：乘积418×814×1616 除以13余数是12。
例3
分析
求143
89
除以7的余数。
同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首
先考虑用同余的性质化大为小。这道题先把底数 在同余意义下变
小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。
解法1：∵143≡3( mod7)，∴143
89
≡3
89
(mod7).
∵89=64＋ 16＋8＋1，
而3
2
≡2(mod7)
3
4
≡4(mod 7)
3
8
≡16≡2(mod7)
3
16
≡4(mod7) ,
3
32
≡16≡2(mod7),
3
64
≡4(mod7 ).
—
4
—
∵3
89
≡3
64
·3
16
·3
8
·3≡4×4×2×3≡5(mod7),
∴143
8 9
≡5(mod7).
答：143
89
除以7的余数是5。
解法2： 证得143
89
≡3
89
(mod7)后，
3
6
≡ 3
2
×3
4
≡2×4≡1(mod7),
∴3
84
≡(3
6
)
14
≡1(mod7),
∴3
89
≡3
84
·3
4
·3≡1×4×3≡5(mod7).
∴143
89
≡5(mod7).
例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色
改 变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，
第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一 直进行下去。请问开灯1
小时四盏灯的颜色如何排列？
分析与解答经观察试验我们可以发现，每 经过4次互换，四
盏灯的颜色排列重复一次。而1小时=60分钟=120×30秒，所以这
道 题实质是求120除以4的余数。因为120≡0（mod4），所以开灯
1小时四盏灯的颜色排列刚好 同一开始一样。
—
5
—