英国恋物语小学六年级奥数知识点 第六讲 最大与最小问题

2020年11月27日发(作者：郑厚植)第六讲 最大与最小问题

u3000u3000先看一个简单的问题：

u30 00u3000妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗 茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶，按 你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？

u3000u3000这个题目，取材于华罗庚教 授1965年发表的《统筹方法平话》.

u3000u3000开水壶不洗，不能烧开水，因而 洗开水壶是烧开水的先决条件；没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶，这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以 列出它们的相互关系图

u3000

u3000u3000从上图中很容易看出 ，最省时间的办法是：先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，可以完成洗茶壶、洗 茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，这样仅用16分钟就能沏茶了，这是没有“窝工”的最合理的安排，用最少的时间 完成了工作.

u3000u3000像这样，研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值 或最小值的问题，我们称为最大与最小问题.

u3000u3000在日常生活、科学研究和生 产实践中，存在大量的最大与最小问题.如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短 ，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题.这里 贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得 在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用.

一、数、式 、方程（组）中的最大最小问题

u3000u3000例1 把14拆成几个自然数的和，再求 出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？

u3000u3000分析与解答 这要考虑到一些 隐含着的限制条件，可以这样思考：

u3000u3000①要使14拆成的自然数的乘积最大 ，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数.

u3000u3000②拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3＞5，所以加 数大于4的数还要继续拆小.

u3000u3000③由于4=2+2，又4=2×2，因此拆 出的加数中可以不出现4.

u3000u3000④拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如 拆成三个2，不如拆成两个3.因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3.

u3000u3000因为14=3×4+2，所以把14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3 ×3×2=162最大.

u3000u3000对最大与最小问题一要注意变化规律，即弄清思 路，又要注意限制条件，对于字母则要根据其特点进行讨论分析.

u3000u3000例2 已知p·q-1=x，其中p、q为质数且均小于1000，x是奇数，那么x的最大值是____
.

u3000u3000分析与解答 由p·q-1=x，x为奇数可知，

u3000u3000q·p=x+1是偶数

u3000u3000又因为p、q为质数，所 以p、q中必有一个为偶质数2.不妨设p=2.

u3000u3000为了使x尽可能大，只 须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值：

u3000u30002×997-1= 1993.

u3000u3000方程中有参数和其他条件，也可能出现最大或最小问题.
u3000u3000的根为自然数，则最小自然数a=____.

u3000u 3000分析与解答 由原方程可得

u3000u3000



u3000u3000例4 求同时满足a+b＋c＝6，2a-b＋c=3，且b≥c≥0的a的最大值及最小 值.

u3000u3000分析 既然是求a的最大值及最小值，就要想办法将b及c用a的代 数式表示出来，再根据b≥c≥0来求.求b及c可将a＋b＋c＝6，2a-b+c=3看作含b、c的二元一 次方程组

u3000u3000

二、统筹方法中教学思想方法的初步应用
u3000u3000在开始引例中引用了华罗庚教授《统筹方法平话》中的例子，统筹方法是生产 建设和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工作效率、保证工作 质量是十分有效的，所用数学思想是朴素而精彩的.

u3000u3000例5 5个人各拿一 个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只 有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，使所有人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值.

u3000u3000分析 这是我们经常遇到而不去思考的问题，其中却有着丰富的数学思想.5个 人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序，要把所有情形的时间总和都计算出来加以比较，就太繁琐了. 凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.试用“逐步调整”法求解.

u3 000u3000解：首先证明要使所用总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置.
u3000u3000假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2≤a≤5），而打水需1分钟的人排在第 b位（其中2≤b≤5），我们将这两个人位置交换，其他三人位置不动.这样调整以后第b位后面的人排队和打 水所费时间与调整前相同，并且前b个人打水所费时间也未受影响，但第二位至第b位的人排队等候的时间都减少 了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了.换言之，要使所费时间最省，就要把打水 需1分钟的人排在第一位置.

u3000u3000其次，根据同样的道理，再将打水需2分钟 的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到三、四、五位.所以，将五人按照打水所需时间由 少到多的顺序排队，所费的总时间最省，得出5人排队和打水时间总和的最小值是：

u3000 u30001×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1=35（分钟）.

u3000u3000 本题所用的逐步调整法是一个很朴素的数学思想，它使我们思考问题过程简化，更

有趣味.
u3000u3000例6 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进 水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需 要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？

u3000u3000分析 本题没 给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.
u3000u3000解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引 入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a- b）×5=（2a-b）×15，化简，得：

u3000u30004a-b=6a-3b，即 a=b.

u3000u3000这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水 量.

u3000u3000再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程， 得

u3000u3000（xa-a）×2＝（2a-a）×15，

u300 0u3000化简，得 2ax-2a=15a，

u3000u3000即 2xa=17a. （a≠0）

u3000u3000所以x=8.5

u3000u3000因此 至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.

u3000u3000注意：x=8.5 ，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.

u3000u3000例7 在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共5个.一号仓库存 货10吨，二号仓库存货20吨，五号仓库存货40吨，三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个 仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.8元运费，那么最少要花多少运费？



u3000u3000分析与解答 由于运费是以每吨货物运输1千米为单位（即吨·千米）计量的，因此要使 运费最省，就要把所有货物运往离货物最多的仓库适当近的地方集中.

u3000u3000我 们依次计算以一、二、…、五号仓库为集中点所需的运费：

u3000u30000.8×（2 0×100+40×400）=14400（元），

u3000u30000.8×（10×1 00+40×300）=10400（元），

u3000u30000.8×（100×200 +20×100+40×200）=9600（元），

u3000u30000.8×（10× 300+20×200+40×100）=8800（元），

u3000u30000.8×（ 10×400＋20×300）=8000（元）.

u3000u3000因此，把所有货物集 中到五号仓库所需的运费最少，运费为8000元.

u3000u3000说明：①由例7的枚 举解法中我们可以看出，如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半，那么，把货物往此处集中花的运费是 最少（或最少之一）的.这可以叫做“小往大处靠”原则.

u3000u3000可以解释如下 .把各个仓库用A1，A2，…，An表示，Ai中的货物重量为mi，把所有货物集中到Ai的运输吨·千米数 为ai（它与集中货物到A所需的运输费用成正比），货物总重量为M（=m1＋m2＋…＋mn）.
< br>

u3000u3000a1相比较，把货物集中到Ai（2≤i≤n）的运输吨·千米数 ai所增加的至少是m1·A1Ai，所减少的至

多是（m2＋m3+…+mn）·A1Ai， 这里A1Ai表示A1与Ai之间的距离.

u3000u3000

u3000 u3000∴ai≥a1.

u3000u3000这说明了“小往大处靠”原则是正确的.
u3000u3000处靠”原则不成立.例如.在例7中一、二、五号仓库中的存货如果分别为3 0吨、10吨、30吨，那么容易知道把货物集中到二号仓库运费最少.

u3000u3000 例8 若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克，今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要几辆， 才能把这些箱货物一次全部运走？

u3000u3000分析与解答 如果认为19.5÷1. 5=13，因此只需13辆汽车就可以把这些箱货物一次全部运走，这就把题意理解错了.因为货物是整箱装的， 每辆汽车不一定都能满载.请先看一个反例，它说明甚至15辆车都不一定能一次运完.

u30 00u3000例如这批货物共装有65只箱子，其中64箱的重量都是301千克（不超过353千克），另一 箱的重量是236千克，那么总重量为

u3000u3000301×64+236=1950 0（千克）.

u3000u3000恰好符合总重为19.5吨的要求由于

u 3000u3000301×5=1505（千克）

u3000u3000即5只重量为301 千克的箱子的总和超过1.5吨，因此，每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子，15辆汽车最多只能 装4×15＝60（只）重量为301千克的箱子，这样，必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了.< br>
u3000u3000既然15辆汽车无论如何无法一次运完上例中的65只箱子，那么16辆汽 车能不能一次运完这些货物呢？答案是肯定的.事实上，

u3000u3000301×4+2 36＝1440（千克），

u3000u3000不超过1.5吨，这就是说，第16辆汽车可 以装余下的4只重量为301千克的箱子和1只重量为236千克的箱子.所以，16辆汽车可以一次运完这些箱 货物.

u3000u3000问题到这里仍然没有彻底解决.因为每箱货物的重量只要求不超过 353千克，除此别无具体数量的限制，所以我们还应该对于一般情况（上例仅是一种特殊情况）来验证16辆汽 车确实能一次运完全部箱子.

u3000u3000首先让12辆汽车装货刚刚超过1.5吨， 即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨，再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来，并把这1 2只箱子分别装上另外3辆空车，每车4箱，由于每车4箱总重量不超过

u3000u3000 4×353＝1412（千克）.

u3000u3000因此也不超过1.5吨.这时，12＋ 3＝15辆车就装完原来前12辆车上全部货物，总重量超过

u3000u30001.5×1 2=18（吨）.

u3000u3000而且每辆车载重不超过1.5吨，于是，剩下来装车的 箱子总重量不足

u3000u300019.5-18＝1.5（吨），

u3 000u3000可以把它们全部装在第16辆车上运走.

三、最短的路线（几何中的最大最小 问题）

u3000u3000例9 下图，直线l表示一条公路，A、B表示公路同一侧的两个 村子，现在要在公路l上修建一个汽车站，问这个汽车站建在哪一点时，A村与B村到汽车站的距离之和最短？< br>


u3000u3000分析与解

答 如果A、B两个村子在公 路l的两侧，问题就简单了，只要把A、B两点连接起来，与公路l的交点就是建站的地方，因为两点之间，线段 最短.

u3000u3000A、B两村在公路l的同侧的情形，我们用“对称”的方法来解决 ，先求出A点关于l的对称点A＇，连结A＇B与l交点于C点，则C点就是汽车站应建的那个点.
u3000u3000为什么AC＋BC是距离最短呢？我们假设不选C点，而选择C外的一点C＇，显然有

u3000u3000AC＋CB=A＇C＋CB=A＇B，

u3000u3 000AC＇+C＇B=A＇C＇+C＇B.

u3000u3000根据“连接两点的线中直线 段最短”，有 A＇C＇＋C＇B＞A＇B，所以选择C点能使AC＋CB距离最短.

u300 0u3000利用这种对称原理可以解决很多复杂的问题.

u3000u3000例10 设牧 马营地在M，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回营地.问：怎样的放牧路程最短？
u3000u3000分析与解答 依题意，每一条放牧路线都是一个三角形的三条边，我们设法把 这条路线变成两个固定点之间的连线.

u3000u3000根据“对称”原理，设草地的边线 是l1，河流的岸线是l2（下图）.令M关于l1、l2的对称点分别是M1、M2连结MM，分别交l1、l 2于A、B，则路线M→B→A→M就是最短路线，读者可自己证明其路线最短.


u3000u3000几何中的最大与最小问题很多，待学习一些知识后，将有很多有趣的最大与最小的问题 等待你去解决.