坍塌的意思-
北师大版《数学》 (八年级上册)知识点总结
大战场中学
第一章 勾股定理
1、勾股定理
2
2
2
直角三角形两直角边
2、勾股定理的逆定理
a,b 的平方和等于斜边
c 的平方,即
a
b
c
作用:用来在直角三角形中已知两边求第三边的长度
如果三角形的三边长
a,b, c 有关系
a
2
b
2
c
2
,那么这个三角形是直角三角形。
作用:已知三边用来判断三角形是否为直角三角形
3、勾股数 :满足
a
2
b
2
c
2
的三个正整数,称为勾股数。
常见的勾股数:
3,4,5 ; 6,8,10
第二章 实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
零
有理数
实数
有限小数和无限循环小数
负有理数
正无理数
负无理数
无理数
无限不循环小数
2、无理数: 无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
( 1)开方开不尽的数,如
7 ,
3
2
等;
( 2)有特定意义的数,如圆周率
π,或化简后含有
π的数,
如
π
3
+8
等;
( 3)有特定结构的数,如 0.1010010001 , 等;
( 4)某些三角函数值,如 sin60
o
等二、
实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是
零),从数轴上看, 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,
如果 a 与 b 互为相反数,
则有
a+b=0, a=— b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
是它本身,也可看成它的相反数,若
(|a|≥0)。零的绝对
|a|=a,则 a≥0;若 |a|=-a,则
值a≤0。
3、倒数
如果 a 与 b 互为倒数, 则有 ab=1,反之亦成立。 倒数等于本身的数是
1 和 -1。零没有倒
数。
4、数轴
规定了原点、 正方向和单位长度的直线叫做数轴 (画数轴时, 要注意上述规定的三要素缺
一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想, 理解实数与数轴的点是一一对应的,
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
并能灵活运用。
1、算术平方根:一般地,如果一个正数
x 的平方等于 a,即 x
2
=a,那么这个正数
x 就
叫做 a 的算术平方根。特别地, 0 的算术平方根是 0。
表示方法: 正数 a 的算术平方根记作“
a
”,读作根号
a。
2
性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根:一般地,如果一个数
平方根(或二次方根) 。
x 的平方等于 a,即 x =a,那么这个数
x 就叫做 a 的
”,读作“正、负根号 a”。
表示方法: 正数 a 的平方根记做“
性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方:求一个数
a 的平方根的运算,叫做开平方。
a
a
a
的双重非负性:
0
注意 a 的算术平方根
a
0
3、立方根
次方根)。
一般地,如果一个数
x 的立方等于 a,即 x
3
=a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(或三
表示方法: 一个数 a 的立方根记作
3
a
性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:
3
a
3
a
,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所
表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
( 1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
( 2)求差比较(作差法) :设 a、 b 是实数,
a b
0
a
b ,
a
a
b
b
0
0
a
a
b ,
b
( 3)求商比较法: 设
a、b
是两正实数,
a
1
a
b;
a
1
a
b;
a
1
a
b;
b
b
a
b
( 4)绝对值比较法:设
a、 b 是两负实数,则
b
a
b 。
( 5)平方法:设
a、 b 是两负实数,则
a
2
b
2
a
b
。
五、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“
”;被开方数
a 必须是非负数。
2、性质:
( 1)
(
a )
2
a ( a
0)
a ( a
0)
( 2) a
2
a
a( a
0 )
( 3)
ab
a
b ( a
0 , b
0 )
(
a
b
ab ( a
0, b
0 )
)
( 4)
a
b
a
(a 0 , b 0 )
b
(
a
b
a
( a 0, b 0)
)
b
3、运算结果若含有“
a
”形式,必须满足:
(
1)被开方数的因数是整数,因式是整
式;( 2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
( 1)六种运算: 加、减、乘、除、乘方、开方
( 2)实数的运算顺序
先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
( 3)运算律
加法交换律
a
( a
ab
b
b)
b a
c a
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
(b c )
ba
( ab ) c
a ( bc )
a (b
c )
ab
ac
第三章图形的平移与旋转
一、平移
1、定义
在平面内,将一个图形整体沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
2、性质
平移前后两个图形是全等图形;
等,对应角相等。
二、旋转
1、定义
在平面 内,将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋
转,这个定点称为旋转中心 ,转动的角叫做旋转角。
2、性质
旋转前后两个图形是全等图形,对应点 到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的
连线所成的角 等于旋转角。
经过平移, 对应点连线平行且相等,
对应线段平行且相
第四章 四边形性质探索
一、四边形的相关概念
1、四边形
在同一平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
2、四边形具有不稳定性
3、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理:四边形的内角和等于
四边形的外角和定理:四边形的外角和等于
4、推论:多边形的内角和定理:
360°。
360°。
( n 2)
n 边形的内角和等于
180°;
5、多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于
6、设多边形的边数为
360°。
n (n 3)
2
n,则多边形的对角线共有
条。从 n 边形的一个顶点出发能
引( n-3 )条对角线,将 n 边形分成( n-2 )个三角形。
二、平行四边形
1、平行四边形的定义
: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
( 1)边:平行四边形的对边平行且相等。
( 2)角:平行四边形的对角相等,邻角互补
( 3)对角线:平行四边形的对角线互相平分。
( 4)对称性:平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。
常用点:(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点, 则这条直线被一组对边截下的线段的中
点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
( 2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定方法
( 1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
( 2)定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形定理
( 3)定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
( 4)定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形
( 5)结论:两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中, 一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,
平行线间的距离处处相等。
叫做这两条平行线的距离。
5、平行四边形的面积
三、菱形
1 、菱形的定义
S
平行四边形
=底边长×高 =ah
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
( 1)边:菱形的四条边相等,对边平行
( 2)角:菱形的相邻的角互补,对角相等
( 3)对角线:菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角
( 4)对称性:菱形既是 中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中
心到菱形四条边的距离相等) ;对称轴有两条,是对角线所在的直线。
3、菱形的判定方法
( 1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义法)
( 2)定理 1:四条边相等的四边形是菱形
( 3)定理 2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积 S
菱形
=底边长×高 =两条对角线乘积的一半四、
矩形
1 、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
( 1)边:矩形的对边平行且相等
( 2)角:矩形的四个角都是直角
( 3)对角线:矩形的对角线相等且互相平分
( 4)对称性:矩形既是中心对称图形又是轴对称图形; 对称中心是对角线的交点(对称中
心到矩形四个顶点的距离相等) ;对称轴有两条,是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定方法
( 1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形
( 2)定理 1:有三个角是直角的四边形是矩形
( 3)定理 2:对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积 S
矩形
=长×宽 =ab
五、正方形
1 、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
( 1)边:正方形四条边都相等,对边平行
( 2)角:正方形的四个角都是直角
( 3)对角线:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角
( 4)对称性:正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点;对称
轴有四条,是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定方法
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:
先证它是矩形,再证它是菱形。
先证它是菱形,再证它是矩形。
4、正方形的面积
2
2
设正方形边长为
a,对角线长为
b S
正方形
= a
b
2
六、梯形
(一) 1 、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
2、梯形的判定方法
( 1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
( 2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
(二)直角梯形的定义:一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地,梯形的分类如下:
一般梯形
梯形
特殊梯形
等腰梯形
(三)等腰梯形
1、等腰梯形的定义
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形的性质
( 1)边:等腰梯形的两腰相等,两底平行。
( 2)角:等腰梯形同一底上的两个角相等,同一腰上的两个角互补。
( 3)对角线:等腰梯形的对角线相等。
( 4)对称性:等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定方法
( 1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形
( 2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
( 3)对角线相等的梯形是等腰梯形(选择题和填空题可直接用)
(四)梯形的面积
(
1
)如图,
S
直角梯形
梯形 ABCD
BAC
1
(CDAB ) DE
2
(2)梯形中有关图形的面积:
①
S
ABD
S
;
②
S
AOD
③
S
ADC
S
BOC
;
S
BCD
七、有关中点四边形问题的知识点:
( 1)顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形;
( 2)顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形;
( 3)顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形;
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