意大利普拉托数学的哲学理论和数学教学

2020年11月27日发(作者：江顺怡)
数学的哲学理论和数学教学



恩格斯 指出全部哲学,特别是近代哲学的重大的基本问题,是思维
和存在的关系问题。”数学是研究数贷关系和 空间形式的科学,数和形是数学研
究的基本对象。唯物论和唯心论反映在数学上的分歧和斗争就在于,数 和形是客
观存在的,还是主观臆造的?数学来源于现实世界,还是与现实世界无关的“自由
创造 物和想象物”?在唯心论者看来,“数是上帝创造的”,“数是万物之本原”,
数学不过是“感觉的集合 ”、“纯粹心智的创造”、“纯理性思维的产物”等等。
按照他们的观点,数学仿佛是独立于客观物质世 界的某个思维王国中的自由乐园。
尽管他们之间的意见观点也有很大分歧,但不_过是对修建这块自由乐 园各有不
同的主张与行动规划而已,唯心论则是他们共同的思想渊源。
思格斯 研究了数学与客观物质世界的关系问题。他在肯定了“纯数
学具有脱离任何个人的特殊经验而独立的意义 ”的同时,又明确指出:“在纯数
学中悟性绝对不能只处理自动的创造物和想象物。数和形的概念不是从 其它任何
地方,而是从现实世界中得来的。人们曾用来计数,从而用来作第一次算术运算的
十个 指头,可以是任何别的东西,但是总不能是悟性的自由创造物。……形的概念
也完全是从外部世界得来的 ,而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的。必须先
存在具有一定形状的物体,把这些形状加以比较,然 后才能构成形的概念。纯数学
的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料。”
抽象的逻辑思维是数学研究的主要思维形式。因此,抽象表现为数
学这门科学的 最基本的特征。唯心主义者则常以此k确切的例证,歪曲抽象的逻
辑思维在数学中的地位和作用,作为反 对唯物主义的工具。他们认为数学是从一
些先验的概念和公理出发,单纯用逻辑的方法推演出来的,因此 与现实世界是风
马牛不相及的。恩格斯深刻地分析了抽象思维在数学中的作用,指出这是“一种
在考察对象时撇对象的其它一切特性而仅仅顾及到数目的能力。而这种能力是长
期的以经验为依据的历史 发展为结果。”数学中的“这些材料以极度抽象的形式
出现,这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事 实。”从现实世界中抽象出来
的数学规律,“在一定的发展阶段上就和现实世界脱离,并.目.怍为某种 独立的
东西,作为世界必须适应的外来的规律而与现实世界相对立。”客观世界中虽然
并不存在 没有长宽高的抽象的点,没有厚度和宽度的抽象的线,没有厚度的抽象
的面,但其原形极其广泛地存在于 客观世界中,建立在这些抽象化了的概念基础
上的欧氏几何学是客观世界中空间形式规律性的反映,客观 外界是它产生和完善
的根源。
牛顿、莱布尼兹发明的微积分是数学发展史乃至 整个自然科学发展
史上的?要里程碑。恩格斯热情地称赞:”在一切理论成就中,未必再有什么象17< br>世纪下半叶微积分的发明那样枝看作人类精神的最高胜利了。”伯是在世纪下半
叶和整个18世纪 ,微积分理论却建立在含糊不清的无穷小概念上,牛顿为避免无
穷小把导数当作界对这一切想象的数a都 提供了原形。”可见抽象的微积分的产
生是有着明显的实际背景的,而决不是什么“量的鬼魂”。
数和形是数学研究的对象。这无疑是正确的。但是对数和形的概念
的理解不能总 是停留在客观现实的直观理解上。其实,随着数学的发展,数和形的
表现呈现出多种多样的形式和极其复 杂的情况。数和形的概念不再具有与外界现
实直技密切相关的性质,而表现为层次愈来愈高的抽象。人类 对自然数无穷序列
的认识就经历了不同等级的抽象过程。由具体车物到自然数

概念这是第一级抽象;由具体的a然数到一般的Q然数《,这是第二级抽象;从任
意有限多个 自然数到自然数无穷序列这是第三级抽象。卉线在一个方向上有大小,
平面在两个方向上冇大小,而立体 在三个方向上有大小,这就是兹’冷上通常所
说的一维、二维和三维空间。这是现实物质空间性质在数学 上的反映,建立在此
第础上的四维、五维、…n维空问,无限维空间乃至一般的抽象空间——这些曾被不少人看作是“狮头羊身蛇尾的或半人半马的妖怪”的数学概念,不再直接来
源于现实,但它们也 足间接地来源于现实的。恩格斯在《自然辩证法>中,从几何
学的空间概念出发,从箨术和代数学的数是 出发,深入地研究和分析了“无限”
这个漑念的抽象过程,指出“不仅有一次的无限,而且还有二次的无 限,我们的读
者如果髙兴的’,还可以用E!己的想象构造出无限空间里的次数更高的无限。”
抽象思维的自由创造,是由来0经验的初始m念和原理的有意识的合乎逻辑的发
展。这是不值得奇怪的。
马克思、恩格斯关于数学的哲学理论
我们承认,抽象思维对数 学的发展起了巨大的推动作用。柚象思维
的发展过程也就是数学真?断被揭示的过程。但是在一定的历史 条件下,人们对物
质世界的认识,只能达到一定的深度和广度,人们掌握客观真理的限度是受历史
条件制约的。因此,人的认识具有相对性,真理也具有相对性。反映在数学上,其
定理公式的真理性也 是相对的。数学的抽象形式表现力是有限的,杣象后的数学
概念自身总是带有某种局限性和片面性。如果 把数学理论的发展自封于抽象的形
式柜架里,这只会为数学“开辟了获得最大成就但也造成谬误的道路? ”恩格斯
在《自然辩证法》中一针见血地指出:“全部所谓纯数学都是研究抽象的,它的一
切数 量严格说来都是想象的数量。一切抽象在推到极端时都变成荒谬或走向自己
的反面。”这是体现在数学发 展上的事物相对性原理的精彩论述,同时也说明了
数学的抽象是应该与客观外界事物相的,脱离实际的想 象的抽象是违背事物发展
规律的。
马克思、恩格斯关于数学的研究和论述, 闪耀着辩证法的光辉。他
们既把数学作为“辩证的辅助工具和表现方式”,又认为:“变数的数学——其
中最重要的部分是微积分——本质上不外是辩证法在数学上的运用。”在辩证法
和数学的结合上 ,他们既阐明得精辟深刻,又运用得得心应手。
辩证唯物主义认为:世界是永恒运动着 的物质世界,运动是物质的
根本属性。马克思、恩格斯既阐明了数学基础的唯物论观点,又认为运动是数 学
的根本属性,从而与孤立地、静止地看待数学的形而上学观点划清了界限。马克
思精心研究了 微积分的发明者牛顿、莱布尼兹各自提出的“流数”和“无穷小”
概念,正当不少数学家和哲学家为这两 个概念喋喋不休地激烈争辩时,马克思独
具匠心,指出微分系数的双重意义:“一个是表示运动另一个表 示它的值,它的极
限。”并指出:计算中“唯一的困难是在逐渐消失的量之间固定的一个比的这种
辩证的见解。”马克思还研究了髙阶导数的计算。
指出计算只把当作运动的出发点, 计算只是把当作运动的出发点,
并说:这是“奇妙的”,但是理解了这个运动出发点的含义时,也是“不 足为奇”
的。恩格斯还考察研究了积分的实际背景:水蒸汽的分子运动,指出它“在蒸气机
的汽 缸中积累起来,把活塞举高一定的距离,而自己转变为物体的运动的时候,这
一运动不是被积分了吗?” “这种积分和数学上的积分不同的地方在一种是由人
的头脑有意识地完成的,另一种是由自然界无意识地 完成的而“头脑的辩证法只
是现实世界(自然界和历史)的运动形式的反映。”因而数学上积分的实质是 物质
运动的结果。恩格斯热情称赞笛卡儿的变数(即解折几何)是数学中的转折点,并
强调指出 这个转折点的意义是“运动进入了数学”、“辩证法进入了数学”。并
说:“只有微分学才能使自然科学 有可能用数学来不仅仅表明状态,并且也表明
过程:运动恩格斯的上述论断不仅阐明了运动是数学的根本 属性,而且还说明了
数学的运动属性是表现为数学的运算。物质的运动有其自身的规律性,数学的运算也有其自身的规律性。这些规律性表现为数学运算的发展变化中的相互依赖和,
彼此之间的转化和 互换,即这些规律性集中表现为对立统一规律。马克思研究了
微分和求导这样两种运算,若对函数r== _f(X)求
马克思研究了微分和求导这样两种运算
在等式 的右边,成了这个等式本身的内容。马克思接着指出:“它们
表明要进行的运算并因而作为出发点的这种 作用,是已经在自己领土上活动的微
分学


所固有的。不容置疑,数学家中未尝有人注意到这种转换,尤其没有人用一种完
全初等的微分等式来证实 这种转换即作用上的逆转是必要的。”马克思在研究曲
线的切线时,指出“要敢于把弦等同于弧,或者反 过来把弧等同于弦。”这正是直
与曲的对立统一观。数学中最基本的运算加、减、乘、除,乘方、开方、 微分、
积分,它们各自都表现为互为逆运算的关系,除了它们各自的互为逆运算关系,在
所有这 些运算之间也还存在着其它许多,它们也是可以互相转化的,正如恩格斯
所说:在数学发展过程中”计算 方法的一切固定差别都消失了,一切都可以用相
反的形式表达出来”,而“这种从一个形式到另一个相反 的形式的转变并不是一
种无聊的游戏。它是数学科学的最有力的杠杆之一。”数学的发展充分证明了恩< br>格斯这一论断的正确性。
牛顿、莱布尼兹公式:
牛顿、莱布尼兹公式:
是把区间上的定积分转变到这个区间端点上的原函数的值。格林公
式:
格林公式
是把以平而区域为积分范围的二重积分转变到沿着平而曲线进行
的曲 线积分。类似地,由髙斯公式,三重积分转变到了曲面积分。揭示这种或那种,
不仅为解决数学问题提供 了有效手段,而且在此基础上,还可以使我们有可能认
识到更本质的背景,从而发展到更加广阔的领域, 取得人们意想不到的结果。所以,
恩格斯说:“数学,把某个确定的数,.例如把一个二项式,化为无穷 级数,即化为
某种不确定的东西,从常识来说,这是荒谬的举动。但是,如果没有无穷级数和二
项式定理,那我们能走多远呢?”
辩证法的基本规律之一是否定之否定规律。对任何事 物的否定都是
转化为另外一种事物,而不能化为绝对的无。辩证的否定决不是简单而轻易地将
旧 事物抛弃,而是为新事物的产生铺垫道路,从而推动事物的发展。数学上的“零”
是对任何定量的否定, 但是这种否定为数学的发展带来了H新月异的变化,其本
身具有丰富的内容。恩格斯指出:“作为一切正 数和负数之间的界限,作为能够既
不是正又不是负的唯一真正的中性数,零不只是一个非常确定的数,而 且它本身
比其他一切被它所限定的数都更?要,事实上,零比其他一切数都有更丰富的内
容。”
辩证法的否定之否定规律在马克思、恩格斯的数学研究中得到了充