果亲王允礼试论数学的科学性及其特点与数学教学

2020年11月27日发(作者：卢锦梭)
试论数学的科学性及其特点与数学教学

人民教育出版社 俞求是 摘要：数学 科学有3个特点：抽象性、逻
辑严密性和应用广泛性。作为一门科学的教学，数学教学应重视数学
程的系统性，应重视基本概念尤其是某些重要的基本概念的教学。量
化思想是基本而重要的数学思想， 数学教育中，应教学生学习抽象的
方法，把发展学生的抽象思维能力作为目标；应培养学生严密的思维，
要让学生理解数学过程的同时，不能混淆教材编制与堂教学之间的界
线；使学生认识数学的应用 价值，注重培养学生应用数学的意识和能
力。

关键词：数学；科学；量化；抽象；严密；应用。

数学是什么，数学的研究对象是 什么，数学有什么特点，对于这些问
题，一直都有讨论和研究，许多学者发表了论述和观点，并成为数学
教育的热门话题。确实，这些问题都既是重要的理论问题，也是重要
的实践问题，对于这些问题 的不同回答，会对数学教育各个领域产生
一定的影响，会影响编制怎样的数学程和教材，制订怎样的数学 教学
目标，提倡怎样的数学教学方法和数学学习方法。本对与此相关的问
题作初步的探讨。

一、数学的科学性与数学教学

11 数学的研究对象和科学性

数学的研究对象是什么？对这个问题，曾有各种不同的回答，也一直
为我国数学教育 界所重视，并加以讨论研究。仅仅在莫里兹编撰的《数
学家言行录》中，就列举了几十种关于数学及数学 本性的描述：有的
认为数学就是研究数量之间种种的度量关系，是为了发现表示种种数
学规律的 方程式；有的认为数学仅是关于数量关系的科学；有的认为，
混合数学要研究诸如天学、光学和力学之中 的空间关系和数量关系，
而不包含直接经验的几何或代数等则称为纯数学，等等。在此，我们
仅 考察作为几千年数学发展结晶的传统中小学数学程的主体和基本
内容看数学的研究对象：算术——数学中 最基础、最初等的部分,它
研究的对象是自然数以及自然数在加、减、乘、除、乘方、开方运算
中的性质、法则，在社会实践中有极广泛的应用；初等代数——主要
包括有理数、实数及其运算，整式、 分式和根式的运算和变形，解方
程、方程组和不等式，以及指数、对数运算，排列组合、二项式定理等；初等几何——研究直线、圆、平面等基本图形的形状、大小和相
关位置关系；三角学——以三角 形的边角关系为基础，研究几何图形
中的数量关系及其在测量方面的应用，并研究三角函数的性质及其应
用的数学分支，中学数学主要学习其中与平面三角形相联系的部分，
即平面三角学；解析几何— —借助于坐标系用代数方法研究一些简单
几何图形，例如直线、二次曲线、平面和二次曲面等的一门学科 ，被
分为平面解析几何与空间解析几何两个部分，中学数学以平面解析几
何为主要内容。微积分 学——是建立在实数、函数和极限等概念基础
上研究函数的微分、积分及有关概念和应用的数学分支；概 率论——
研究随机现象的数量规律；统计学——研究怎样去有效地收集、整理
和分析带有随机性 的数据，以对所考察的问题作出推断和预测，直至
为采取一定的决策和行动提供依据和建议。中小学数学 程虽然与现代
数学科学前沿有很大的距离，但却是现代数学科学的基础。“数学研
究的对象是现 实世界中的数量关系和空间形式。数与形，这两个基本
概念是整个数学的两大柱石。整个数学就是围绕着 这两个概念的提
炼、演变与发展而发展的。数学在各个领域中千变万化的应用也是通
过这两个概 念而进行的。社会的不断发展，生产的不断提高，为数学
提供了无穷泉与新颖题，促使数与形的概念不断 深化，由此推动了数
学的不断前进，在数学中形成了形形式式、多种多样的分支学科。这
不仅使 数学这一学科日益壮大，蔚为大成，而且使数学的应用也越越
广泛与深入了。”⑴这里，吴俊院士论述了 数学的基本对象，同时也
分析了数学的发展，很重要的是指出应该从发展的观点认识数学的研
究 对象——数与形。

为什么说数学是一门科学？这就必须弄清科学的概念。科学概念有以下的几层涵义：(1)科学是人类对客观世界的认识，是反映客观事实
和规律的知识，它指出了自然 界和社会现象间必然、本质、稳定和在
一定条下反复出现的内在联系，科学具有客观真理性；(2)科学 是反
映客观事实和规律的知识体系，知识单元的内在逻辑特征和知识单元
间的本质联系清楚了， 建立起了一个完整的知识体系时才可以称为科
学，因而科学具有系统性。只是点点滴滴、互不联系的知识 还算不上
科学；(3)科学是一项反映客观事实和规律的知识体系相关活动的事
业，在人类实践 活动中起着重大作用。数学就是一门科学。(1) 数学
的概念、定理、公式、法则都于客观现实世界， 正确反映了客观世界
在数与形方面的规律性，数学结论经历了千锤百炼，被证明是经受了
人类长 期实践检验的客观真理；(2) 数学已经建立了严密的科学体
系，就整个数学学科而言，可以分为若干 分支学科，数学理论的建立
在逻辑上具有严密性，数学结论具有清楚性、确定性，不容半点疏忽
马虎；(3)数学理论在实践活动中得到广泛应用，并在实践活动中不
断丰富、发展。

1．2 数学作为一门科学的教学

数学教学一个很重要的方面是应该强调数学教学 是一门科学的教学。
从这样角度思考问题，作为一门科学的教学，就要求我们在数学教学
中重视 揭示数学与客观现实的密切联系,揭示数学结论的真理性和真
实性，揭示数学理论是怎样从现实世界中得 到并不断发展；作为一门
科学的教学，数学教学就必须重视数学知识体系的系统性与逻辑性；
作 为一门科学的教学，就必须重视数学在实践中巨大作用的教学，并
重视数学探究活动过程的教学。下面着 重就中学数学程系统性问题作
一探讨。

我国中学数学教育一直比较重视数学程的系 统性，根据一些重要的数
学教学调查和国际数学教育比较的结论，长期以我国中小学生数学成
绩 好的主要原因中首先就是我国中小学数学教学内容的系统性较强
⑵。怎样使我国中学数学程更加具有系统 性，是我国中学数学教育应
该研究的一个重要问题。数学各个分支学科之间有广泛的联系，并具
有学科内在统一性，但不可否认，数学不同分支具有各自不同的研究
对象、各自的分支体系。高等学校数 学系的数学专业程总是按照学科
分支程的形式呈现。初等数学中不同学科分支也具有一定的系统性，我国数学教育实践经验告诉我们，数学内容以分科形式呈现能够比较
清楚地把蕴涵的思想方法表达出 ，学生也容易比较系统、深刻地学到
数学基础知识基本技能和其中蕴含的思想方法，更好地加以掌握和运
用。回顾我国数学教育的历史，为我国中学数学教育界称道的一些中
学数学教材也多釆取分科教 学，并达到了较高的教学水平。良好的学
科程体系结构是学生有良好认知结构的基础。目前，高中数学新 程的
实施给我国的高中数学教学带了许多可喜的变化，高中数学程大大拓
宽了中学数学视野，教 材内容的广度和深度都有了极大改观，一些传
统内容的处理让人看到新的理念，高中数学程釆用了模块化 的结构设
置，使教学更加具有灵活性。但另一方面，由于每个模块时的确定性，
使教学内容的选 择与安排受到模块时的限制，导致某些联系很密切的
教学内容被安排到了不同的模块，而同一模块中教学 内容又未必联系
很密切，教学安排的逻辑脉络不够清楚，对于不同必修模块的教学顺
序不作规定 ，就使实际教学产生一些困难，目前，对于这个问题老师
们作了大量的研究，但仍没有太好的办法。根据 教材试验，教材的模
块化设计(尤其是必修模块仍用模块化设计的必要性问题)和系统性
问题成 为老师们研究最多、反映较多、意见也较多的一个问题，某些
教学内容结构体系的变化导致了学生相关数 学能力的下降。例如，相
当数量的老师认为立体几何中点线面的空间基本关系应该先讲，几何
体 的体积、面积计算问题应该移到立体几何的后部，有些老师对于立
体几何的有关直线、平面位置关系的教 学顺序作了调整，老师们希望
教材更加有系统性。

中学数学传统教学内容中如初等 代数（含三角函数）、立体几何、解
析几何和概率统计的基础知识是高中学生应该掌握的数学基础知识，
这些内容应该作为高中数学的必修内容，按这些内容本身的逻辑体系
安排这些学科分支的教材内 容，并应考虑教学内容之间的互相联系，
而必修内容则不必再设置模块，而是按照过去大纲教材一样按学 期确
定教学内容。在确定了必修内容以后的其他内容，如微积分的初步知
识及目前的一些选修模 块的教学内容，则可作为选修程。这样，既保
证了程的灵活性和选择性，又兼顾了数学程的必要的逻辑性 和系统
性，而教学内容的学分可根据相应教学内容的分量等因素加以确定。
应该充分考虑数学教 学内容之间的内在逻辑和联系，构建合理的知识
体系，要充分考虑继承经过长时间教学试验的、已经比较 成熟的体系
结构。目前高中数学新程试验中老师们在实际教学中对各部分内容的
教学顺序作了许 多研究，并作了部分调整(在一定程度上参考了传统
的教学内容安排顺序)。例如一些教学对比实验发现 ，教学安排先讲
映射后讲函数，学生对函数概念的理解要好一些，这说明概念的不同
安排顺序必 然会对学生掌握有关概念产生影响。当然，在对于内容体
系结构作慎重选择后，对于内容的呈现还必须符 合时代发展需要。

作为一门科学的教学，数学教学必须重视数学基本概念的教学，因为数学概念是数学理论的基本组成部分。要掌握数学理论，首先要弄清
基本概念。对概念定义的叙述要 釆取慎重的态度，如果没有充分的理
由和实质性的改进，则不宜更新表述，而应该考虑我国数学教学传统
的因素，避免引起不必要的混乱。另外，应该注意概念体系的完整性。
在新高中数学程的试验中 ，有相当比例的老师反映，新标实验教材中
反函数概念讲得不够完整，应该完整讲述反函数的定义域、值 域、对
应关系等，现在概念没有讲清，学生就常对于概念提出许多问题。另
外，传统中学数学教 学中反三角函数的最基本的内容，包括基本的概
念和性质、定理、公式仍是数学的基础知识，也仍应该列 入中学数学
的教学内容。要掌握数学理论，首先要弄清基本概念。中学数学教学
中以下的概念是 极其重要的：集合、映射、运算、函数、方程、向量、
概率、抽样、统计、概率，复数、导数、积分、极 限，等等。作为一
门科学的教学，数学教学还必须重视数学科学中丰富蕴涵的科学思想
和方法（ 其中某些一般科学方法），包括抽象、公理化、演绎、归纳、
符号、算法、数形结合、坐标、变换、优化 、统计、随机，等等。

1．3 量化思想

从数量关系角度研究事物， 使我们对于事物有数量上的把握，这就是
基本的数量意识。量是事物存在和发展的规模、程度、速度，以 及事
物构成因素在空间上的排列等可以用数量表示的规定性。例如，物体
的大小、质量的疏密、 运动的快慢、温度的高低、颜色的深浅、物体
的排列顺序、生产力的发展水平和配置等等，都是事物的量 的规定性。
质是和量相对应的一个基本范畴，任何事物都是质和量两方面的统
一。数学研究的一 个重要方面就是现实世界的数量关系，凡是要研究
量、量的关系、量的变化，量的关系的变化、量的变化 的关系，就少
不了数学。不仅如此，量的变化还有变化（如导数以及导数的导数），
变化仍用量 刻画。对于客观世界的描述大致可以分为定性的描述和定
量的描述，而定性描述与定量描述又密不可分。 数学研究的最基本的
问题是现实世界客观存在的事物的多与少、大与小、位置及位置的变
化、可 能性大小，等等，这样就产生了数以及表示数的字母，刻画位
置的坐标，刻画可能性的概率，以及进一步 的方程、不等式、函数、
曲线的方程和方程的曲线、随机变量及其概率的分布、分布的函数，
等 等。解析几何的基本思想是引入坐标系从而借助于坐标对于几何对
象作定量的研究，概率论则首先引入随 机变量，借助于随机变量对随
机现象作量化的处理，从而达到对于随机现象的研究。数学总是从量
的方面描述客观世界的，把客观事物进行量化的描述是数学的基本任
务。所以，新高中数学程提出了量 化思想，这应该作为一种重要数学
思想在教学中加以认识和重视。

二、数学科学的特点与中学数学教学

一般认为，数学科学具有三个显著特点， 这就是抽象性，逻辑严密
性，应用广泛性。数学的以上三个特点是互相联系，互相影响，密不
可 分的，认识数学的以上特点，并注意在中学数学教学中正确把握好
数学的特点，具有重要意义。

21 抽象性

所谓抽象就是在思想中分出事物的一些属性和联系而撇 开另一些属
性和联系的过程。抽象有助于我们撇开各种次要的影响，抽取事物的
主要的、本质的 特征并在“纯粹的”形式中单独地考察它们，从而确定
这些事物的发展规律。数学以高度抽象的形式出现 ，首先是其研究的
基本对象的高度抽象性。数学抽象最早发生于一些最基本概念的形成
过程中， 恩格斯对此作了极其精辟地论述：“数和形的概念不是从其
他任何地方，而是从现实世界中得到的。人们 用学习计数，也就是作
第一次算术运算的十个指头，可以是任何别的东西，但总不是知性的
自由 创造物。为了计数，不仅要有可以要有可以计数的对象，而且还
要有一种在考察对象时撇开它们的数以外 的其他一切特性的能力，而
这种能力是长期以经验为依据的历史发展的结果。和数的概念一样，
形的概念也完全是从外部世界得的，而不是从头脑中由纯粹的思维产
生出的。必须先存在具有一定形状的 物体，把这些形状加以比较，然
后才能构成形的概念。纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系，也就是说，以非常现实的材料为对象的。这种材料以极度抽象的形式
出现，这只能在表面上掩盖它于 外部世界。但是，为了对这些形式和
关系能从它们的纯粹形态加以研究，必须使它们完全脱离自己的内< br>容，把内容作为无关紧要的东西放在一边；这样就得到没有长宽高的
点，没有厚度和宽度的线，a 和b与x和，常数和变数；只是在最后
才得到知性自身的自由创造物和想象物，即虚数。”⑶ 数的概念 ，点、
线、面等几何图形的概念属于最原始的数学概念。在原始概念的基础
上又形成有理数、无 理数、复数、函数、微分、积分、n维空间以至
无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。从数学研究的 问题看，数
学研究的问题的原始素材可以自任何领域，着眼点不是素材的内容而
是素材的形式， 不相干的事物在量的侧面，形的侧面可以呈现类似的
模式，比如代数的演算可以描述逻辑的推理以至计算 机的运行；流体
力学的方程也可能出现在金融领域，数学强大的生命力就在于能够把
一个领域的 思想经过抽象过程的提炼而转移到别的领域，纯数学的研
究成果常常能在意想不到的地方开花结果。有些 外国数学家由于数学
研究对象的抽象性，就认为数学是不知其所云为何物，这种认识是不
妥的。

数学科学的高度抽象性，决定数学教育应该把发展学生的抽象思维能
力规定为其目标 。从具体事物抽象出数量关系和空间形式，把实际问
题转化为数学问题的科学抽象过程中，可以培养学生 的抽象能力。

在培养学生的抽象思维能力的过程中，应该注意从现实实际事物中抽
象出数学概念的提炼过程的教学，又要注意不使数学概念陷入某一具
体原型的探讨纠缠。例如，对于直线 概念，就要从学生常见并可以理
解的实际背景，如拉紧的线，笔直的树干和电线杆等事物中抽象出这个概念，说明直线概念是从许多实际原型中抽象出的一个数学概念，
但不要使这个概念的教学变成对 直线的某一具体背景的探讨。光是直
线的一个重要实际原型，但如果对于直线概念的教学陷入到对于光的
概念的探究，就会导致对直线概念纠緾不清。光的概念涉及了大量数
学和物理的问题，牵涉了近 现代几何学与物理学的概念，其中包括对
欧几里得几何第五公设的漫长研究历史，非欧几何的产生，以及 光学，
电磁学，时间，空间，从牛顿力学的绝对时空观，到爱因斯坦的狭义
相对论和广义相对论 ，等等。试图从光的实际背景角度去讲直线的概
念，陷入对于光的本质的讨论，就使直线的概念教学走入 歧途。应该
清楚，光不是直线唯一的实际原型，直线的实际原型是极其丰富的。

在 培养中学生的抽象思维能力方面，要注意的一个问题是应根据中学
生的年龄心理特点，对中学数学教学内 容的抽象程度有所控制，过度