剑指天下谈数学教学与数学美育

2020年11月27日发(作者：钱允中)
谈数学教学与数学美育
数学之美充满了整个世界，它结构的完整、图形的对称、
布局的合理、形式的简洁，无不体现出数学中美的因素。而
作为人类文明和智慧的结晶，数学本身又蕴含 着探求未知世
界，追求科学真理的功能。数学教学则应在师生和数学2间
架起一座桥梁，使数学 中美的因素得以体现。
数学美的产生，需要具备两方面的条件：一是审美对象的存
在。即数学 本身存在着美的因素；二是审美者的存在。数学
教学过程则为数学审美能力的培养——数学美育提供了条
件。数学审美能力是在数学审美活动中逐渐培养起来的。它
主要包括数学审美感知力、审美想象 力、审美情感活动能力
和审美评价能力。下面从这四个方面谈一些粗浅的看法。
1提高数学审美感知能力
数学审美感知力是对数学中美学因素的直观把握，这是教学
审美的基础。’数学学习过程中，学生首先接触到的是数学
概念、公式、定理、法则等，它们虽然蕴涵着 美的因素，但
由于数学的美主要是通过数学语言来体现的，具有一定的间
接性、模糊性。因此， 并不是所有的学生都能感受到数学美
的存在。这就需要教师在教学中有意识地培养学生的数学审
美感知力，引导他们去发现美，鉴赏美。例如，教材中对杨
辉三角形的介绍仅限于二项展开式中系数规律 的分析，其实
它还是蕴含组合恒等式的宝库：每行中与首末两端等距离的
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数相等，即C＝C；除1以外的其余各数都等于它肩上的两数
之和。即C＋＝c＋c；第N行各数之和等 于2，即c＋CL＋CZ
＋…＋q＝2；自腰上某个1开始，平行于另一腰的连续n个
数之和等 于最后一个数的斜下方那个数，即C＋C＋＋C＋
＋…＋c，－＝c＋C，或C＋C＋l＋C＋＋…＋C ＋＝c十等。
通过教师的深入挖掘，使学生看到一个小小的“三角形”，
却蕴藏着如此众多的数 学知识，从而充分感受到杨辉三角形
在形式上所具有的简洁美。图形上存在着的对称美，生成方
式上体现出的统一美。数学中有些规律的奇巧或结果的出人
预料（奇异美）也给人以美的享受。比如，对 于任意三角形，
它们的三条中线总是交于一点，使学生看到各种三角形都是
如此而并非巧合，显 示了一种奇巧的美。同样，三角形三条
角平分线、三条垂直平分线、三条高
也分别交于一点， 更进一步使学生认识到既使是最简单的图
形——三角形也蕴藏着铁一般的规律。再如，欧拉公式e＝cosx＋isinx，被人们认为是一个非常优美的公式。原因在
于指数函数与三角函数在实数域 中看不出有什么联系，而在
复数域内却发现了他们之间的相互转化，并被一个非常简单
的关系式 联系在一起。特别有趣的是当x=π时，欧拉公式
写成了e－l＝0它把数中最富有特色的五个数0，l ，i，e，
π巧妙地联系在一起。
从数学美的外在表现形式出发，变抽象为直观，充分揭示其
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美的内涵是数 学教学应遵循的原则。空间审美感知力（即对
物体的形状、大小、方位等空间特征的感知力）的培养也是
如此。解析几何中讨论的空间曲面是对称的，对称虽然显得
呆板，区若将其看成一种美，就会发 现，这些图形和它们的
方程之间有着怎样的一种和谐统一的美感，反过来，由方程：
z＝＋y关 于、y的对称性，又可以给作图和研究曲面的性质
带来极大的方便。引导学生从上述特征出发，在激发学 生求
知欲的同时，也进行了一堂生动的数学美育课。
2提高数学审美想象力
数学审 美离不开想象，想象在数学中占有十分重要的地位。
谈数学审美想象力，就不能不提到“0．618”这 一数字。
“0.618”在数学上称为黄金分割数。按此比例把线段分割
做成像框给人以协调的 感觉；它可以把圆十等份，做成正十
边形，连接对角线又可得到正五角星；另外，医学研究发现，
人体内部存在着一个最佳藕合系数，其变动范围在0.617－
0．675之间摆动，正巧把黄金分割 值0．618包括在内。人
类意识活动的最佳状态的重要条件是脑心耦合机制，即心脑
以心、脑 最佳频率耦合的形式参与了思维。这些都并不是巧
合，而缘于数学本身所具有的内在美。再如，在讲授利 用圆
的内接多边形面积的极限来求圆面积时，结合我国魏晋时代
数学家刘徽首创的“割圆术”： “割之弥细，所失弥少；以
至于不可割．则与圆合体而无所失矣。”这说明刘徽想到了
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