youbi【3套试卷】中考数学

2020年11月27日发(作者：甘风子)
中考第一次模拟考试数学试卷含答案
一、选择题（本大题共
8
小题，共
24.0
分）

1.
下列运算正确的是（ ）

A.

B.

C.

D.

2.
如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图为
（ ）



A.

B.

C.

D.

3.
舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5
亿千克，
这个数用科学记数法应表示为（ ）

A.
年龄
/
岁

13


B.
14

6


C.
15

8

16

3


D.
17

2

18

1


4.
该校
22
名男子足球队队员的年龄分布情况如下表：

频数
/
人数

2

则这些队员年龄的平均数和中位数分别是（ ）
A.
16
岁、
15
岁
B.
15
岁、
14
岁
C.
14
岁、
15
岁
5.

将一副三角板（∠
A=30°
）按如图所示方式摆放，使得
AB
∥
EF
，则∠
1
等于（ ）


D.
15
岁、
15
岁
A.

B.

C.

D.

6.

如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函
数解析式为（ ）
A.

B.

C.

D.

7.

如图，圆锥体的高
h=2
（ ）
cm
2
．


cm
，底面圆半径
r=2cm
，则圆锥体的全面积为
A.

B.

C.

D.

8.

如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块
A
悬于盛有水的水槽中，然后
匀速向上提起 ，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤
的读数
y
（单位：
N
）与铁块被提起的高度
x
（单位：
cm
）之间的函数关
系的 大致图象是（ ）
A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共
8
小题，共
24.0
分）
9.

分解因式：
m
2
n-4mn+4n=______
．
10.

从
-1
，
2
，
3
，-6
这四个数中任选两数，分别记作
m
，
n
，那么点（
m
，
n
）在函数
y=
图
象上的概率是
______
．
11.

若方程组中
x
和
y
值相等，则
k=______
．
12.

关于
x
的一元二次方程
ax
2
+ 2x+c=0
（
a≠0
）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的
实数a
，
c
的值：
a=______
，
c=______< br>．
13.

一次函数
y
1
=kx+b
与< br>y
2
=x+a
的图象如图，则
kx+b
＞
x+a的解
集是
______
．





14.

如图，△
ABC
是⊙
O
的内接正三角形， 图中阴影部分的面积是
12π
，则⊙
O
的半径为
______
．



15.

如图
①
，在矩形< br>ABCD
中，对角线
AC
与
BD
交于点
O
， 动点
P
从点
A
出发，沿
AB
匀
速运动，到达点B
时停止，设点
P
所走的路程为
x
，线段
OP
的长为
y
，若
y
与
x
之间
的函数图象如图
②
所示，则矩形
ABCD
的周长为
______
．


2
的网格中，以顶点
O
为圆心，以
2
个单位长度 为半16.

如图，在
2×
径作圆弧，交图中格线于点
A
， 则
tan
∠
ABO
的值为
______
．




三、计算题（本大题共
1
小题，共
6.0
分）
17.

解方程：
=-3
．







四、解答题（本大题共
9
小题，共
66.0
分）
18.

解不等式组







19.

在平面直角坐标系中，△
ABC
的三 个顶点坐标分别为
A
（
2
，
-4
），
B
（
3
，
-2
），
C
（
6
，
-3）．
（
1
）画出△
ABC
关于
x
轴对称的△
A
1
B
1
C
1
；
（
2
）以
M
点为位似中心，在网格中画出△
A
1
B
1
C
1
的位似图形△
A
2
B
2
C
2
， 使△
A
2
B
2
C
2
与
△
A
1
B
1
C
1
的相似比为
2
：
1
．








20.

今年
5
月份，十八中九年级学生参加了中考体育模拟考试，
为了了解该校九年级（
1
）班同学的中考体育情况，对全班
学生的中考体育成 绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数
分布表和扇形统计图，根据图表中的信息解答下列问题：
（
1
）求全班学生人数和
m
的值．
（
2
）求扇形统计图中的
E
对应的扇形圆心角的度数；
（
3
）该班中考体育成绩满分共有
3
人，其中男生
2
人，女生
1
人，现需从这
3
人中随机选取
2
人到八年级进行经验交流 ，
请用
“
列表法
”
或
“
画树状图法
”求出恰好选到一男一女的概率．
分组

A

B

C

D

E





分数段（分））

26≤x
＜
31

31≤x
＜
36

36≤x
＜
41

41≤x
＜
46

46≤x
＜
51

频数

2

5

15

m

10





21. < br>如图，在△
ABC
中，过点
C
作
CD
∥
AB
，
E
是
AC
的中点，连接
DE
并延长，交
AB
于点
F
，交
CB
的延长线于点
G
，连接AD
，
CF
．
（
1
）求证：四边形
AFCD
是平行四边形．
（
2
）若
GB=3
，
BC=6
，
BF=
，求
AB
的长．









22.
某商场用
36
万元购进
A
、
B
两种商品，销售完后共获利
6
万元，其进价和售价如下表：


进价（元
/
件）

售价（元
/
件）

A

1200

1380

B

1000

1200

（
1
）该商场购进
A
、
B
两种商品各多少件； < br>（
2
）商场第二次以原进价购进
A
、
B
两种商品．购 进
B
种商品的件数不变，而购进
A
种商品的件数是第一次的
2
倍，
A
种商品按原售价出售，而
B
种商品打折销售．若两种
商品销 售完毕，要使第二次经营活动获利不少于
81600
元，
B
种商品最低售价为 每件多
少元？







23.

如图的⊙
O
中，
AB
为直径，
O C
⊥
AB
，弦
CD
与
OB
交于点
F
，
过点
D
、
A
分别作⊙
O
的切线交于点
G
，并与
AB
延长线交于
点
E
．
（
1
）求证：∠
1=
∠
2
．
（
2
）已知：
OF
：
OB=1
：
3
，⊙
O< br>的半径为
3
，求
AG
的长．












24.

已知抛物线
y=x
2
+bx+c
经过A
（
1
，
0
），
B
（
0
，< br>2
）两点，顶点为
D
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）将△
OAB
绕点
A
顺时针旋转
90 °
后，点
B
落到点
C
的位置，将抛物线沿
y
轴平移
后经过点
C
，求平移后所得图象的函数关系式．







25.

某市出租车起步价是
5
元（
3
千米及
3
千米以内为起步价），以后每增加
1
千米加收
1
元，不足
1
千米按
1
千米收费．
（
1
）写出收费
y
（元）与行驶里程
x
（千米）之间的函数关 系式．
（
2
）小黄在社会调查活动中，了解到一周内某出租车载客
307< br>次，请补全如下条形统
计图，并求该出租车这
7
天运营收入的平均数．
（
3
）如果出租车
1
天运营成本是
60
元，请根据（2
）中数据计算出租车司机一个月的
收入（以
30
天计）．








26.

如图，四边形
ABCD
是矩形，
AB=6
，
BC=8
，点
P
从
A
出发在线段
AD
上以
1
个单位/
秒向点
D
运动，点
Q
同
时从点
C
出 发，以
1
个单位
/
秒的速度向点
A
运动，当
点P
到达点
D
时，点
Q
也随之停止运动．
（
1
）设△
APQ
的面积为
S
，点
P
的运行时间为t
，求
S
与
t
的函数关系式；
（
2
）
t
取几时
S
的值最大，最大值是多少？
（
3
）当
t
为何值时，△
APQ
是等腰三角形？







答案和解析

1.
【答案】
C
【解析】
解：
A
、
结
果是，故本
选项
不符合
题
意；

B
、结
果是
3
，故本
选项
不符合
题
意；

C
、
结
果是
6a
，故本
选项
符合
题
意；

D
、
结
果
3
故
选
：
C
．

根据有理数的乘方，零指数
幂
，立方根，
单项
式乘以
单项
式，二次根式的加减分
别
求出每个式子的
值
，再判断即可．

本
题
考
查
了有理数的乘方，零 指数
幂
，立方根，
单项
式乘以
单项
式，二次根式的
加减等知
识
点，能正确求出每个式子的
值
是解此
题
的关键
．

2.
【答案】
B
【解析】
-2
，故本
选项
不符合
题
意；

解：从正 面看易得第一
层
有
3
个正方形，第二
层
最右
边有一个正方形，最左
边
有一
个正方形，中
间
没有没有正方形．< br>
故
选
：
B
．

找到从正面看所得到的< br>图
形即可，注意所有的看到的棱都
应
表
现
在主
视图< br>中．

本
题
考
查
了三
视图
的知识
，主
视图
是从物体的正面看得到的
视图
．

3.
【答案】
D
【解析】
10
10
．

解：将
499.5
亿
用科学
记
数法表示
为
：
4.995×
故
选
：
D
．

10
n
的形式，其中
1≤|a|
＜
10
，
n
为
整数．确定
n
的
值时
，科学
记
数法的表示形式
为
a×
要看把原数
变
成
a
时
，小数点移
动< br>了多少位，
n
的
绝对值
与小数点移
动
的位数相
同．当原数
绝对值
≥1
时
，
n
是非
负
数 ；当原数的
绝对值
＜
1
时
，
n
是
负
数．

10
n
的形式，其此
题
考
查
了科 学
记
数法的表示方法．科学
记
数法的表示形式
为
a×
中
1≤|a|
＜
10
，
n
为
整数，表示
时
关
键
要正确确定
a
的
值
以及
n
的
值
．

4.
【答案】
D
【解析】
解 ：
这
些
队员
年
龄
的平均数是
（
岁
），

中位数
为
第
11
、
12
个数据的平 均数，即中位数
为
故
选
：
D
．

根据平均数和中位数的定
义
求解可得．

=15
（
岁
），

=15
本
题
考
查
了确定一
组
数据的平均数，中位数的能力．注意找中位数的
时候一定要
先排好
顺
序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个 ，
则
正
中
间
的数字即
为
所求．如果是偶数个
则
找中
间
两位数的平均数．

5.
【答案】
C
【解析】
解：
∵
AB
∥
EF
，

，

∴∠
BDE=
∠
E=45°
又
∵∠
A=30°
，

，

∴∠
B=60°
+60°=105°
，

∴∠
1 =
∠
BDE+
∠
B=45°
故
选
：
C．

依据
AB
∥
EF
，即可得
∠
BD E=
∠
E=45°
，再根据
∠
A=30°
，可得
∠
B=60°
，利用三角形
外角性
质
，即可得到
∠
1 =
∠
BDE+
∠
B=105°
．

本
题< br>主要考
查
了平行
线
的性
质
，解
题时
注意：两直
线
平行，内
错
角相等．

6.
【答案】
C
【解析】
解：
A
、
y =x+2
，
x
为
任意
实
数，故
错误
；
B
、
y=x
2
+2
，
x
为
任意
实
数，故
错误
；

C
、
D
、
y=
故
选
：
C
．

，
x+2≥0
，即
x≥-2
，故正确；

，
x+2≠0
，即
x≠-2
，故
错误
；

分
别
求出个解析式的取
值
范
围
，
对应数
轴
，即可解答．

本
题
考
查
了函数 自
变
量的取
值
范
围
，解决本
题
的关
键
是函数自
变
量的范
围
一般
从三个方面考
虑：

（
1
）当函数表达式是整式
时
，自
变量可取全体
实
数；

（
2
）当函数表达式是分式
时
，考
虑
分式的分母不能
为
0
；

（< br>3
）当函数表达式是二次根式
时
，被开方数非
负
．

7.
【答案】
A
【解析】
解：底面
圆
的半径< br>为
2
，
则
底面周
长
=4π
，
∵
底面半径
为
2cm
、高
为
2
∴
圆锥
的母
线长为
4cm
，

∴
侧
面面
积
=×4π×4=8π
；

底面
积为
=4π
，

全面
积为
：
8π+4π=12πcm
2
．

故
选
：
A
．

2
．

表 面
积
=
底面
积
+
侧
面
积
=π×< br>底面半径
2
+
底面周
长
×
母
线长
÷
本
题
利用了
圆
的周
长
公式和扇形面
积公式求解，牢
记
公式是解答本
题
的关
键
．

8.
【答案】
C
【解析】
cm
，

解 ：露出水面前排开水的体
积
不
变
，受到的浮力不
变
，根据称 重法可知
y
不
变
；

铁块
开始露出水面到完全露 出水面
时
，排开水的体
积
逐
渐变
小，根据阿基米德原
理可知受到的浮力
变
小，根据称重法可知
y
变
大；
< br>铁块
完全露出水面后一定高度，不再受浮力的作用，
弹
簧秤的
读
数
为铁块
的重
力，故
y
不
变
．

故
选
：
C
．

根据在
铁块
开始露 出水面到完全露出水面
时
，排开水的体
积
逐
渐变
小，根据阿 基
米德原理和称重法可知
y
的
变
化，注意
铁块
露出 水面前
读
数
y
不
变
，离开水面后
y
不变
，即可得出答案．

本
题
考
查
了函数的图
象，用到的知
识
点是函数
值
随高度的
变
化， 注意分析
y
随
x
的
变
化而
变
化的
趋势
，而不一定要通
过
求解析式来解决．

9.
【答案】
n
（
m-2
）
2
【解析】
解：
m
2
n-4mn+4n
，

=n
（
m
2
-4m+4
），

=n
（
m-2
）
2
．

故答案
为
：
n
（
m-2
）
2
．

先提取公因式
n
，再根据完全平方公式
进
行二次分解．
< br>本
题
考
查
了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方 公式
进
行
二次分解，注意分解要
彻
底．

10.
【答案】

【解析】
解：画
树
状
图
得：


∵
共有< br>12
种等可能的
结
果，点（
m
，
n
）恰好在 反比例函数
y=
图
象上的有：（
2
，
3
），
（
-1
，
-6
），（
3
，
2
），（-6
，
-1
），

∴
点（
m
，
n
）在函数
y=
图
象上的概率是：
故答案
为
：．

首先根据
题
意画出
树
状
图
，然后由树
状
图
求得所有等可能的
结
果与点（
m
，n
）恰好
在反比例函数
y=
图
象上的情况，再利用概率公式即可 求得答案．

此
题
考
查
了列表法或
树
状< br>图
法求概率．用到的知
识
点
为
：概率
=
所求 情况数与
总
情况数之比．

11.
【答案】
1
【解析】
=
．

解：
∵
x=y
把< br>x=y
代入
2x+3y=5
得：
x=1
，
y=1
再把
x=1
，
y=1
代入
4x-3y=k
中得：< br>k=1
．

x
和
y
值
相等，
则x=y
，代入
2x+3y=5
得，
x=1
，
y=1．代入方程
组
中第一个方程得：
k=1
当
给
出的未知 数
较
多
时
，
应选择
只含有
2
个相同未知数 的
2
个方程
组
成方程
组
先
求解．

12.
【答案】
1 1
【解析】
解：
∵
关 于
x
的一元二次方程
ax
2
+2x+c=0
（
a≠ 0
）有两个相等的
实
数根，

∴△
=2
2
-4ac=0
，

∴
ac= 1
，即当
a=1
时
，
c=1
．

故答案
为
：
1
；
1
．

根据方程 的系数
结
合根的判
别
式，即可得出
△
=4-4ac=0，取
a=1
找出
c
值
即可．

本
题< br>考
查
了根的判
别
式，熟
练
掌握
“
当
△
=0
时
，方程有两个相等的
实
数根
”
是 解
题
的关
键
．

13.
【答案】
x
＜
-2
【解析】
解：把
x=-2
代入
y
1
=kx+b
得，

y
1
=-2k+b
，

把
x=-2
代入
y
2
=x+a
得，

y
2
=-2+a
，

由
y
1
=y
2
，得：
-2k+b=-2+a
，

解得
=2
，

解
kx+b
＞
x+a
得，

（
k-1
）
x
＞
a-b
，

∵
k
＜
0
，

∴
k-1
＜
0
，

解集
为
：x
＜
∴
x
＜
-2
．

故答案
为
：
x
＜
-2
．

把x=-2
代入
y
1
=kx+b
与
y
2
=x+a
，由
y
1
=y
2
得出
=2
，再求 不等式的解集．

=2
，把
，

本
题
主要 考
查
一次函数和一元一次不等式，本
题
的关
键
是求出
看作整体求解集．

14.
【答案】
6
【解析】
解：
∵△
ABC
是等
边
三角形，

，

∴∠
C=60°
根据
圆
周角定理可得
∠
AOB=2
∠
C=120°
，

设
⊙
O
的半径
为
r
，

∵
阴影部分的面
积
是
12π
，

∴
=12π
，

解得：
r=6
，

故答案
为
：
6
．

根据等
边
三角 形性
质
及
圆
周角定理可得扇形
对应
的
圆
心 角度数，再根据扇形面
积
公式
计
算可得．

本
题< br>主要考
查
扇形面
积
的
计
算和
圆
周角 定理，根据等
边
三角形性
质
和
圆
周角定
理求得圆
心角度数是解
题
的关
键
．

15.
【答案】
28
【解析】
解：
∵
当
OP
⊥
AB
时
，
OP
最小，且此
时
AP =4
，
OP=3
，

∴
AB=2AP=8
，
AD=2OP=6
，

（
8+6
）
=28
．

∴
C
矩 形
ABCD
=2
（
AB+AD
）
=2×
故答案为
：
28
．

根据矩形的性
质结
合
图
②
的最低点的坐
标
，即可得出
AB
、
AD
的
长
度，再利用矩
形的周
长
公式即可求出
结论
．< br>
本
题
考
查
了
动
点
问题
的 函数
图
象以及矩形的周
长
，
观
察
图
②最低点的坐
标
，找出
矩形的
长
和
宽
的
长
度是解
题
的关
键
．

16.
【答案】
2+

【解析】
解：如
图
，
连
接
OA
，
过
点
A
作
AC< br>⊥
OB
于点
C
，


则
AC=1
，
OA=OB=2
，

∵
在< br>Rt
△
AOC
中，
OC=
∴
BC=OB- OC=2-
，

==2+
．

==
，
< br>∴
在
Rt
△
ABC
中，
tan
∠
A BO=
故答案是：
2+
．

连
接
OA
，< br>过
点
A
作
AC
⊥
OB
于点
C
，由
题
意知
AC=1
、
OA=OB=2
，从而得出
OC==
、
BC=OB-OC=2-
，在
Rt
△
ABC< br>中，根据
tan
∠
ABO=
可得答案．

本
题
主要考
查
解直角三角形，根据
题
意构建一个以
∠
ABO
为
内角的直角三角形是
解
题
的关
键
．

17.
【答案】解：方程两边同乘以
x-2
得：
1=x-1-3
（
x-2
），
整理得出：
2x=4
，
解得：
x=2
，
检验：当
x=2
时，
x-2=0
，
∴
x=2
不是原方程的根，
则此方程无解．
【解析】

分式方程去分母
转
化
为
整式方程，求出整式方程的解得到
x
的
值
，
经检验
即可得
到分式方程的解．

此
题
考
查
了解分式方程，利用了
转
化的思想，解分式方程< br>时
注意要
检验
．

18.
【答案】解：，
解
①
得
x
＜
3
，
解
②
得
x
＞
-1
．
故不等式组的解集为
-1
＜
x
＜
3
．
【解析】

先求出不等式
组
中每一个不等式的解集，再求出它们
的公共部分即可求解．

考
查
了解一元一次不等式
组
．解集的
规
律：同大取大；同小取小；大小小大中
间
找；大大小小找 不到．

（
1
）如图所示：△
A
1
B
1< br>C
1
，
19.
【答案】解：
即为所求；

（
2
）如图所示：△
A
2
B
2
C
2
，即为所求．
【解析】

（
1
）利用
轴对
称
图
形的性
质进
而得出
对应
点位置
进
而画出
图
形即可；

（
2
）利用位似
图
形的性
质
得出
对应
点
位置
进
而画出
图
形 即可．

此
题
主要考
查
了
轴对
称
变换
以及位似
变换
，根据
题
意得出
对应
点位置是解
题
关
键
．

30%=50
（人）；
20 .
【答案】解：（
1
）由题意可得：全班学生人数：
15÷
m=50 -2-5-15-10=18
（人）；

×=72°
（
2
）扇形统计图中的
E
对应的扇形圆心角的度数是：
360°
；

（
3
）画树状图：
，
共有
6
种结果，其中一男一女的结果有
4
种，
所以
P
（一男一女）
==
．
【解析】

（
1
）利用
C
分数段所占比例以及其
频
数求出
总
数即可，
进
而得出
m
的
值
；

（
2
）用
360°
乘以
E
所占的百分比即可得出答案；
（
3
）利用列表或画
树
状
图
列
举
出所有的可能，再根据概率公式
计
算即可得解．

此
题主要考
查
了
频
数分布，扇形
图
表和概率的求法．关键
是掌握概率
=
所求情况
数与
总
情况数之比，能正确从
统计图
中得到信息．

21.
【答案】解：（
1
） ∵
E
是
AC
的中点，
∴
AE=CE
，
∵
AB
∥
CD
，
∴∠
AFE=
∠
CDE
，
在△
AEF
和△
CED
中，
∵，
∴△
AEF
≌△
CED
（
AAS
），
∴
AF=CD
，
又
AB
∥
CD
，即
AF
∥
CD
，
∴四边形
AFCD
是平行四边形；

（
2
）∵
AB
∥
CD
，
∴△
GBF
∽△
GCD
，
∴
=
，即
=
，
解得：
CD=
，
∵四边形
AFCD
是平行四边形，
∴
AF=CD=
，
∴
AB=AF+BF=+=6
．
【解析】

（
1
）由
E
是
AC
的中点知
AE=CE
，由
AB
∥
CD
知
∠
AFE=
∠
CDE
，据此 根据
“AAS”
即
可
证
△
AEF
≌△
CE D
，从而得
AF=CD
，
结
合
AB
∥
CD
即可得
证
；

（
2
）
证
△
GBF
∽△
GCD
得
得答案．

本
题
主 要考
查
平行四
边
形的判定与性
质
，解
题
的 关
键
是掌握全等三角形、相似三
角形及平行四
边
形的判定与性
质
．

22.
【答案】解：（
1
）设购进
A种商品
x
件，
B
种商品
y
件，
根据题意得< br>=
，据此求得
CD=
，由
AF=CD
及
AB=AF+ BF
可

化简得，解之得．
答：该商场购进
A
、
B
两种商品分别为
200
件和
120
件．

（
2
）由于第二次
A
商品购进
400
件，获利为
400=72000
（元） （
1380-1200
）
×
从 而
B
商品售完获利应不少于
81600-72000=9600
（元）
设
B
商品每件售价为
z
元，则
120
（
z-1000
）
≥9600
解之得
z≥1080
所以
B
种商品最低售价为每件
1080
元．
【解析】

（
1
）
设购进
A
种商品
x
件，
B
种商品
y
件，列出不等式方程
组
可求解．
< br>（
2
）由（
1
）得
A
商品
购进
数量 ，再求出
B
商品的售价．

本
题
考
查
一元 一次不等式
组
的
应
用，将
现实
生活中的事件与数学思想联
系起来，
读
懂
题
列出不等式关系式即可求解．准确地解不等式
组
是需要掌握的基本能力．

23.
【答案】（
1
）证明：连接
OD
，如图，∵
DE
为⊙
O
的切线，
∴
OD
⊥
DE
，
∴∠
ODE=90°
， 即∠
2+
∠
ODC=90°
，
∵
OC=OD
，
∴∠
C=
∠
ODC
，
∴∠
2+
∠
C=90°
，
而
OC
⊥
OB
，

∴∠
C+
∠
3=90°
，
∴∠
2=
∠
3
，
∵∠
1=
∠
3
，
∴∠
1=
∠
2
；

（
2
）解： ∵
OF
：
OB=1
：
3
，⊙
O
的半径为< br>3
，
∴
OF=1
，
∵∠
1=
∠
2
，
∴
EF=ED
， 在
Rt
△
ODE
中，
OD=3
，
DE=x，则
EF=x
，
OE=1+x
，
∵
OD
2
+DE
2
=OE
2
，
∴
3
2
+x
2
=
（
x+1
）
2< br>，解得
x=4
，
∴
DE=4
，
OE=5
，
∵
AG
为⊙
O
的切线，
∴
AG
⊥
AE
，
∴∠
GAE=90°
，
而∠
OED=
∠
GEA
，
∴
Rt
△EOD
∽
Rt
△
EGA
，
∴
=
，即
=
，
∴
AG=6
．
【解析】

（
1
）
连
接
OD
， 根据切
线
的性
质
得
OD
⊥
DE
，
则
∠
2+
∠
ODC=90°
，而
∠
C=
∠
ODC
，
则
，由
OC
⊥
OB
得
∠
C+
∠
3=90°
，所以
∠
2=
∠
3，而
∠
1=
∠
3
，所以
∠
1=
∠2
；

∠
2+
∠
C=90°
（
2< br>）由
OF
：
OB=1
：
3
，
⊙
O< br>的半径
为
3
得到
OF=1
，由（
1
）中∠
1=
∠
2
得
EF=ED
，在
Rt
△
ODE
中，
DE=x
，
则
EF=x
，
OE =1+x
，根据勾股定理得
3
2
+x
2
=
（
x+1
）
2
，解得
x=4
，
则
DE=4
，
OE=5
，根据切
线
的性
质
由
AG
为< br>⊙
O
的切
线
得
∠
GAE=90°
，再
证
明
Rt
△
EOD
∽
Rt
△
EGA，利用相似比可
计
算出
AG
．

本
题
考
查
了切
线
的性
质
：
圆
的切
线< br>垂直于
经过
切点的半径．也考
查
了勾股定理和
相似三角形的判 定与性
质
．

24.
【答案】解：（
1
）已知抛物 线
y=x
2
+bx+c
经过
A
（
1
，0
），
B
（
0
，
2
），
∴，
解得，
∴所求抛物线的解析式为
y=x
2
-3x+2
；

（
2
）∵
A
（
1
，
0
），
B
（
0
，
2
），

∴
OA=1
，
OB=2
，
可得旋转后
C
点的坐标为（
3
，
1
），
当
x=3
时，由
y=x
2
-3x+2
得
y=2，
可知抛物线
y=x
2
-3x+2
过点（
3
，
2
），
∴将原抛物线沿
y
轴向下平移
1
个单位后过点
C
．
∴平移后的抛物线解析式为：
y=x
2
-3x+1
；
【解析】

（
1
）利用待定系数法，将点
A
，< br>B
的坐
标
代入解析式即可求得；

（
2
） 根据旋
转
的知
识
可得：
A
（
1
，
0
），
B
（
0
，
2
），由
OA=1
，
OB=2
，可得旋
转
后
C
点的
坐
标为
（
3
，
1
），当
x=3
时
，由
y =x
2
-3x+2
得
y=2
，可知抛物
线
y=x< br>2
-3x+2
过
点（
3
，
2
）
故可 知将原抛物
线
沿
y
轴
向下平移
1
个
单位后
过
点
C
．于是得到平移后的抛物
线
解析式．

本
题
主要考
查
待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的图
象的
变换
的知
识
点，熟
练
掌握
图< br>象
变换
等知
识
是解答本
题
的关
键
， 此
题
很容易
结
合一次函数出
现
在
综
合题
中，需要同学
们
注意．

25.
【答案】解：（
1
）分两种情况：
当
0≤x≤3
时，
y=5
；
当
x
＞3
时，
y=5+1
（
x-3
），化简得
y=x+2．

（
2
）行驶里程为
5
千米时的次数为：
307-
（
150+84+25+10+8
）
=30
（次）．
条形图补充如下：

5+84×1+30×2+25×3+10×4+8×5
）
÷7=262
该出租车这
7
天运营收入的平均数为：（
307×
（元）．

30-60×30=6060
（元）． （
3
）
262×
即出租车司机一个月的收入为
6060
元．
【解析】

（
1
）分两种情况
进
行
讨论
：
0≤x≤3
；
x
＞
3
．根据出租
车收
费标
准即可得出收
费
y
（元）
与行
驶
里程
x
（千米）之
间
的函数关系式．

（
2< br>）先求出行
驶
里程
为
5
千米
时
的次数，补
全条形
图
，再根据加
权
平均数的定
义
列式
计
算即可．

（
3
）利用
样
本估
计总
体的思想，用（
2
）中所求的平均数乘以
30
再减去运
营
成本即
可．

本
题
考
查
的是条 形
统计图
的
综
合运用．
读
懂
统计图
，从< br>统计图
中得到必要的信息
是解决
问题
的关
键
．条形< br>统计图
能清楚地表示出每个
项
目的数据．也考
查
了一次
函数的
应
用，平均数．根据出租
车
收
费标
准得出收
费
y
（元）与行
驶
里程
x
（千米）之
间
的函数关系式是解
题
的关
键
．

，
26.
【答案】解：（
1
）在△
ABC
中，∵
AB=6
，
BC=8
，∠
ABC=90°
根据勾股定理得
AC=10
， ∴
sin
∠
ACB=
，同法可得
sin
∠
PA Q=
，
过点
Q
作
QF
⊥
AD
于点
M
，

在
Rt
△
AQF
中，
∵
AQ=10-t
，
∴
QF=AQsin
∠
PAQ=
（
10-t
），
t×
（
10-t
）， ∴
S=×
即
S=-t
2
+3t
（
0
＜
t≤8
）；

（2
）∵
S=-
（
t
2
-10t+25
）
+=-
（
t-5
）
2
+
，
当
t=5
时，△
APQ
的面积
S
取得最大值，为；

（
3
）△
APQ
是等腰三角形，
①
当
AP=AQ
时，
t=10-t
，
则
t=5
，
②
当
PA=PQ
时，作
PE
⊥
AQ
于
E
∵
cos
∠
OAQ=
，则
AE=t
，
∴
AQ=t
，
∴
t+t=10
，
∴
t=
，
③
当
QA=QP
时，作
QF< br>⊥
AD
于点
F
，

∴
AF=
（
10-t
），
∴（
10-t
）
=t
，
∴
t=
， 综上所述，当
t=5
或
t=
或
t=
时，△
AP Q
是等腰三角形．
【解析】

（
1
）利用
si n
∠
ACB=
，得出
sin
∠
PAQ=
，即可得出
QF=AQsin
∠
PAQ=
（
10-t
），
进< br>而表示出
△
APQ
的面
积为
S
；

（
2
）利用二次函数最
值
求法运用配方法求出，得出最
值
；

（
3
）根据当
AP=AQ
时
和当
PA= PQ
时
当
QA=QP
时
，分
别
得出
t的
值
．

本
题
属于四
边
形
综
合
题
，考
查
了二次函数的最
值问题
以及等腰三角形 的性
质
和
锐
角三角函数的定
义
等知
识
，等 腰三角形的性
质
以及二次函数最
值问题
是中考
中重点内容同学
们应
熟
练
掌握并
应
用．


中考第一次模拟考试数学试题含答案
一．选择题（共12小题）
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3
32
B．0 C．﹣ D．π
2．计算（
xy
）的结果是（ ）
A．
xy

32
B．
xy

6
C．
xy

52
D．
xy

62
3．根据实时数据，截至2019年1 2月31日24时，网购总交易额约7.5万亿元，用科学记
数法表示为（ ）元．
A．7.5×10
8
B．0.75×10
12
C．7.5×10
11
D．7.5×10
12
4．反比例函数
y
＝的图象位于平面直角坐标系的（ ）
A．第一、三象限
C．第一、二象限
22
B．第二、四象限
D．第三、四象限

5．若关于
x
的一元二次方程
mx< br>﹣（2
m
﹣1）
x
+1＝0有两个实数根，则
m
的取 值范围是（ ）
A．
m
＜ B．
m
≤ C．
m
≥ D．
m
≤且
m
≠0
6．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3
cm
，4
cm
，8
cm

C．5
cm
，5
cm
，11
cm

7．若代数式
A．
x
＜3
B．8
cm
，7
cm
，15
cm

D．13
cm
，12
cm
，20
cm

在实数范围内有意义，则实数
x
的取值范围是（ ）
B．
x
＞3
2
C．
x
≠3 D．
x
＝3
8．对于二次函数
y
＝﹣（
x
﹣1） ﹣3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
C．顶点坐标是（1，﹣3）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
B．某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，一定有一张中奖
B．对称轴是
x
＝﹣1
D．与
x
轴只有一个交点
C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查
10．以原点
O
为位似中心，把△
ABO
缩小为原来的后得到△
A
'
B'
O
，若
B
点坐标为（4，﹣
6），则
B
'的 坐标为（ ）
A．（2，﹣3）
C．（2，﹣3）或（﹣2，3）
B．（﹣2，3）
D．（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）
11．如图，在?
ABCD
中，
AB
＝2，
BC
＝3．以点
C
为圆 心，适当长为半径画弧，交
BC
于点
P
，
交
CD
于 点
Q
，再分别以点
P
，
Q
为圆心，大于
PQ
的长为半径画弧，两弧相交于点
N
，
射线
CN
交
BA的延长线于点
E
，则
AE
的长是（ ）

A． B．1 C． D．
12．如图，在?
ABCD
中，过
A
、
B
、
C
三点的圆交
AD
于
E
，且与
CD
相切．若
AB
＝4，
BE
＝5，
则
DE
的 长为（ ）

A．3 B．4 C． D．
二．填空题（共6小题）
13．因式分解：
m
﹣
my
+
mx
﹣
yx
＝ ．
14．已知方程组，则
x
＝ ．
y
2< br>15．如图，
AB
为⊙
O
的直径，弦
CD
⊥
AB
于点
E
，已知
CD
＝6，
EB
＝1，则⊙O
的半径为 ．

16．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳 高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是
S
甲
＝1.2，
S
乙＝0.5，则在本次测试中， 同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）
22
1 7．已知有理数
m
，
n
满足（
m
+）+|
n
﹣4|＝0，则
m
222020
?
n
2020
的值为 ．
18．如图，正△
ABC
的边长为4，过点
B
的直线
l
⊥
AB
，且△
ABC
与△
A
′
BC
′关于直线
l
对
称，
D
为线段
BC
′上一动点， 则
AD
+
CD
的最小值是 ．

三．解答题（共8小题）
19．计算（1﹣）+|4﹣3
0
|+（﹣1）+
2
．
2 0．如图，已知四边形
ABCD
是平行四边形，点
E
，
F
分 别是
AB
，
BC
上的点，
AE
＝
CF
，并 且
∠
AED
＝∠
CFD
．
求证：（1）△
AED
≌△
CFD
；
（2）四边形
ABCD
是菱形．

21．为了解今年初四学生的数 学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的
数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结 合图表所给出的信息解答系列问题：
成绩
优秀
良好
合格
不合格
（1）该校初四学生共有多少人？
（2）求表中
a
，b
，
c
的值，并补全条形统计图．
（3）初四（一）班数学老师准备从 成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名
同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的 概率．
频数
45
频率
b

0.3
0.35
a

105
60
c

< br>22．为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定
广告 牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端
D
距广告牌立柱距离
CD
为3米，从D
点测得广
告牌顶端
A
点和底端
B
点的仰角分别是60 °和45°．
（1）求公益广告牌的高度
AB
；
（2）求加固钢缆
AD
和
BD
的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
23．如图，以
O
为圆心，
AB
长为直径作圆，在⊙
O
上取一点，延长
AB
至点
D
，连接
DC
，过
点A
作⊙
O
的切线交
DC
的延长线于点
E
，且∠
DCB
＝∠
DAC
．
（1）求证：
CD
是⊙
O
的切线；
（2）若
AD
＝6，tan∠
DCB
＝，求
AE
的长．

24 ．某商场购进一批新型的电脑用于出售给与之合作的企业，每台电脑的成本为3600元，
销售单价定为 4500元，在该种电脑的试销期间，为了促销，鼓励企业积极购买该新型电
脑，商场经理决定一次购买 这种电脑不超过10台时，每台按4500元销售；若一次购买
该种电脑超过10台时，每多购买一台， 所购买的电脑的销售单价均降低50元，但销售
单价均不低于3900元．
（1）企业一次购买这种电脑多少台时，销售单价恰好为3900元？
（2）设某企业一次购 买这种电脑
x
台，商场所获得的利润为
y
元，求
y
（元）与
x
（台）
之间的函数关系式，并写出自变量
x
的取值范围．若
A
企业欲购进一批该新型电脑（不
超过25台），则
A
企业一次性购进多少 台电脑时，商场获得的利润最大？
（3）该商场的销售人员发现：当企业一次购买电脑的台数超过某一 数量时，会出现随着
一次购买的数量的增多，商场所获得的利润反而减少这一情况，为使企业一次购买的 数
量越多，商场所获得的利润越大，商场应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条
件不变 ）
25．对于一个函数给出如下定义：对于函数
y
，若当
a
≤x
≤
b
，函数值
y
满足
m
≤
y
≤
n
，且
满足
n
﹣
m
＝
k
（< br>b
﹣
a
），则称此函数为“
k
属和合函数”．例如：正比例函 数
y
＝﹣3
x
，当
1≤
x
≤3时，﹣9≤
y
≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝
k
（3﹣1），求得：
k
＝3，所以 函数
y
＝﹣
3
x
为“3属和合函数”．
（1）①若一次函 数
y
＝4
x
﹣1（1≤
x
≤2）为“
k
属 和合函数”，则
k
的值为 ；
②若一次函数
y
＝
ax
﹣1（1≤
x
≤3）为“2属和合函数”，求
a
的值．
（2）反比例函数
y
＝（
k
＞0，
a
≤
x
≤
b
，且0＜
a
＜
b
）是“
k
属和合函 数”，且
a
+
b
＝3，
请求出
a
﹣
b的值；
（3）已知二次函数
y
＝﹣2
x
+4
ax，当﹣1≤
x
≤1时，
y
是“
k
属和合函数”，求k
的取值
范围．
26．如图，已知抛物线
y
＝
ax< br>+
bx
+1经过
A
（﹣1，0），
B
（1，1）两点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）阅读理解：
在同一平面直角坐标系中，直 线
l
1
：
y
＝
k
1
x
+
b
1
（
k
1
，
b
1
为常数，且
k
1
≠0），直线
l
2
：
y
＝
k
2
x
+
b
2
（
k
2
，
b
2
为常数，且
k
2
≠0），若
l
1
⊥
l2
，则
k
1
?
k
2
＝﹣1．
解决问题：
①若直线
y
＝3
x
﹣1与直线
y＝
mx
+2互相垂直，求
m
的值；
②抛物线上是否存在点P
，使得△
PAB
是以
AB
为直角边的直角三角形？若存在，请 求出
点
P
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）
M
是抛 物线上一动点，且在直线
AB
的上方（不与
A
，
B
重合）， 求点
M
到直线
AB
的
2
2
距离的最大值．


参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）
1．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B．0 C．﹣ D．π
【分析 】任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于
一切负实数，两个负实 数绝对值大的反而小．依此即可求解．
【解答】解：∵π＞3＞0＞﹣，
∴最大的数是π．
故选：
D
．
2．计算（
xy
）的结果是（ ）
A．
xy

32
32
B．
xy

6
C．
xy

52
D．
xy

62
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（
xy
）＝
xy
．
故选：
D
．
3．根据实时数据，截至2019年12月31日24时，网购 总交易额约7.5万亿元，用科学记
数法表示为（ ）元．
A．7.5×10
8
3262
B．0.75×10
n
12
C．7.5×10
11
D．7.5×10
12
【分析】科学记数法的表示形式为
a< br>×10的形式，其中1≤|
a
|＜10，
n
为整数．确定
n< br>的值时，要看把原数变成
a
时，小数点移动了多少位，
n
的绝对值与小 数点移动的位数
相同．当原数绝对值＞1时，
n
是正数；当原数的绝对值＜1时，n
是负数．
【解答】解：7.5万亿＝75＝7.5×10．
故选：
D
．
4．反比例函数
y
＝的图象位于平面直角坐标系的（ ）
A．第一、三象限
C．第一、二象限
【分析】根据反比例函数的图象性质求解．
【解答】解：∵
k
＝2＞0，
B．第二、四象限
D．第三、四象限

12
∴反比例函数
y
＝的图象在第一，三象限内，
故选：
A
．
5．若关于
x
的一元二次方程
mx< br>﹣（2
m
﹣1）
x
+1＝0有两个实数根，则
m
的取 值范围是（ ）
A．
m
＜ B．
m
≤ C．
m
≥ D．
m
≤且
m
≠0
22
【分 析】由方程由两个实数根以及二次项系数不为0，可得出关于
m
的一元二次不等式
组， 解不等式组即可得出结论．
【解答】解：由已知得：，
解得：
m
≤且
m
≠0．
故选：
D
．
6．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3
cm
，4
cm
，8
cm

C．5
cm
，5
cm
，11
cm

B．8
cm
，7
cm
，15
cm

D．13
cm
，12
cm
，20
cm

【 分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，
即可作出判断．
【解答】解：
A
、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B
、8+7＝15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C
、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D
、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选：
D
．
7．若代数式
A．
x
＜3
在实数范围内有意义，则实数
x
的取值范围是（ ）
B．
x
＞3 C．
x
≠3 D．
x
＝3
【分析】分式有意义时，分母
x
﹣3≠0，据此求得
x
的取值范围．
【解答】解：依题意得：
x
﹣3≠0，
解得
x
≠3，
故选：
C
．
8．对于二次函数
y
＝﹣（
x
﹣1）﹣3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是
x
＝﹣1
2
C．顶点坐标是（1，﹣3） D．与
x
轴只有一个交点
【分析】
A
．
a
＝﹣1，故抛物线开口向下，即可求解；
B
．函数的对称轴为：
x
＝1，即可求解；
C
．顶点坐标是（1，﹣3），即可求解；
D
．△＝
b
﹣ 4
ac
＞0，故二次函数与
x
轴有两个交点，即可求解．
【解答】 解：
A
．
a
＝﹣1，故抛物线开口向下，原答案错误，不符合题意；
2
B
．函数的对称轴为：
x
＝1，原答案错误，不符合题意；
C
．顶点坐标是（1，﹣3），正确，符合题意；
D
．△＝
b﹣4
ac
＞0，故二次函数与
x
轴有两个交点，原答案错误，不符合题意 ；
故选：
C
．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
B．某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，一定有一张中奖
2
C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查
【分析】根据随机事件， 可判断
A
；根据概率的意义，可判断
B
、
C
；根据调查方式 ，可
判断
D
．
【解答】解：
A
、“打开电视机，正在播放 《动物世界》”是随机事件，故
A
错误；
B
、某种彩票的中奖概率为
故
B
错误；
，说明每买100 0张，有可能中奖，也有可能不中奖，
C
、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率 为，故
C
错误；
D
、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用 抽样调查，故
D
正确；
故选：
D
．
10．以原点
O
为位似中心，把△
ABO
缩小为原来的后得到△
A
'
B
'
O
，若
B
点坐标为（4，﹣
6），则
B
'的坐标为（ ）
A．（2，﹣3）
C．（2，﹣3）或（﹣2，3）
【分析】根据位似变换的性质计算．
B．（﹣2，3）
D．（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）
【解答】解：以原点
O
为位似中心，把 △
ABO
缩小为原来的后得到△
A
'
B
'
O
，
∵
B
点坐标为（4，﹣6），
∴
B
'的坐标为（4 ×，﹣6×）或（﹣4×，6×），即（2，﹣3）或（﹣2，3），
故选：
C
．
11．如图，在?
ABCD
中，
AB
＝2，
BC
＝ 3．以点
C
为圆心，适当长为半径画弧，交
BC
于点
P
，< br>交
CD
于点
Q
，再分别以点
P
，
Q
为圆心，大于
PQ
的长为半径画弧，两弧相交于点
N
，
射线
CN
交
BA
的延长线于点
E
，则
AE
的长是（ ）

A． B．1 C． D．
【分析】只要证明
BE
＝
BC
即可解决问题；
【解答】解：∵由题意可知
CE
是∠
BCD
的平分线，
∴∠
BCE
＝∠
DCE
．
∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
AB
∥
CD
，
∴∠
DCE
＝∠
E
，∴∠
BCE
＝∠
AEC
，
∴
BE
＝
BC
＝3，
∵
AB
＝2，
∴
AE
＝
BE
﹣
AB
＝1，
故选：
B
．
12．如图，在?
ABCD
中，过
A
、
B
、
C
三点的圆交
AD
于
E
， 且与
CD
相切．若
AB
＝4，
BE
＝5，
则
DE
的长为（ ）

A．3 B．4 C． D．
【分析】连接CE
，根据圆周角定理易知：∠
BAE
＝∠
BEC
+∠
EBC
，而∠
DCB
＝∠
DCE
+∠
BCE
，这两个等式中，由弦切角定理知：∠
DCE
＝∠
EBC
；再由平行四边形 的性质知：∠
DCB
＝∠
EAB
，因此∠
BEC
＝∠
BCE
，即可得
BC
＝
BE
＝5，即
AD
＝5， 进而可由切割线定理求
DE
的长．
【解答】解：连接
CE
；
∵，
∴∠
BAE
＝∠
EBC
+∠
BEC
；
∵∠
DCB
＝∠
DCE
+∠
BCE
，
由弦切角定理知：∠
DCE
＝∠
EBC
，
由平行四边形的性质知：∠
DCB
＝∠
BAE
，
∴∠BEC
＝∠
BCE
，即
BC
＝
BE
＝5，
∴
AD
＝5；
由切割线定理知：
DE
＝
DC÷
DA
＝
故选：
D
．
2
，

二．填空题（共6小题）
13．因式分解：
m
﹣
my
+< br>mx
﹣
yx
＝ （
m
﹣
y
）（
m
+
x
） ．
【分析】原式两项两项结合提取公因式即可．
【解答】解：原式＝（
m
﹣< br>my
）+（
mx
﹣
yx
）
＝
m
（
m
﹣
y
）+
x
（
m
﹣
y
）
＝（
m
﹣
y
）（
m
+
x
），
故答案为：（
m
﹣
y
）（
m
+
x
）．
14．已知方程组，则
x
＝ 1 ．
y
2
2
【分析】方程组利用加减消元法求出解得到
x
与
y
的值，代入原式计算即可 求出值．
【解答】解：
①+②得：4
x
＝4，
，
解得：
x
＝1，
把
x
＝1代入①得：
y
＝0，
则原式＝1＝1．
故答案为：1
15．如图，
AB
为⊙
O
的直径，弦
CD
⊥
AB
于点
E
，已知
CD
＝6，
E B
＝1，则⊙
O
的半径为 5 ．
0

【分析】连接OC
，由垂径定理知，点
E
是
CD
的中点，
CE
＝
CD
，在直角△
OCE
中，利用
勾股定理即可得到关于半径的方 程，求得圆半径即可．
【解答】解：连接
OC
，
∵
AB
为⊙
O
的直径，
AB
⊥
CD
，
∴
CE
＝
DE
＝
CD
＝×6＝3，
设⊙
O
的半径为
x
，
则
OC
＝
x
，
OE
＝
OB
﹣
BE
＝
x
﹣1 ，
在Rt△
OCE
中，
OC
＝
OE
+
C E
，
∴
x
＝3+（
x
﹣1），
解得：
x
＝5，
∴⊙
O
的半径为5，
故答案为：5．
222
222

16．甲、乙两名同学进行跳高测 试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是
S
甲
＝1.2，
S
乙
＝0.5，则在本次测试中， 乙 同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）
【 分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越
小，表明这组数据分 布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵
S
甲
＝1.2，
S
乙
＝0.5，
22
22
∴
S
甲
＞
S
乙
，
∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；
故答案为：乙．
17．已知有理数
m
，
n
满足（
m
+）+|
n
﹣4|＝0，则
m
222020
?
n
2020
的值为 1 ．
【分析】利用非负数的性质求出
m
与
n
的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：因为（
m
+）+|
n
﹣4|＝0，
所以
m
+＝0，
n
﹣4＝0，
所以
m
＝±，
n
＝±2，
所以
m
202 0
2
22
?
n
2020

×（±2）
20 20
2020
＝（±）
＝（）
2020

2020
×2
2020

＝（×2）
＝1．

故答案为：1．
18．如图，正△
ABC
的边长为4，过点
B的直线
l
⊥
AB
，且△
ABC
与△
A
′
BC
′关于直线
l
对
称，
D
为线段
BC
′上一动点，则
AD
+
CD
的最小值是 8 ．

【分析】连接
CC
′，根据△
ABC
、△
A
′
B C
′均为正三角形即可得出四边形
A
′
BCC
′为菱
形，进 而得出点
C
关于
BC
'对称的点是
A
'，以此确定当点D
与点
B
重合时，
AD
+
CD
的值
最 小，代入数据即可得出结论．
【解答】解：连接
CC
′，如图所示．
∵△
ABC
、△
A
′
BC
′均为正三角形， ∴∠
ABC
＝∠
A
′＝60°，
A
′
B
＝
BC
＝
A
′
C
′，
∴
A
′
C
′∥
BC
，
∴四边形
A
′
BCC
′为菱形，
∴点
C
关于
BC
'对称的点是
A
'，
∴ 当点
D
与点
B
重合时，
AD
+
CD
取最小 值，
此时
AD
+
CD
＝4+4＝8．
故答案为：8

三．解答题（共8小题）
19．计算（1﹣）+|4﹣3
0
|+（﹣1）+
2
．
【 分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的性质计算，第三项利
用有理数的乘方计算 ，最后一项，利用特殊角的三角函数值及算术平方根的意义化简，
即可得到结果．
【解答】解：原式＝1+3
＝1+3
＝3
﹣4+1+2
．
﹣4+1+
20．如图，已知四边形
ABCD
是平行四边形，点
E
，
F
分别是
AB
，
BC
上的点，
AE＝
CF
，并且
∠
AED
＝∠
CFD
．
求证：（1）△
AED
≌△
CFD
；
（2）四边形
ABCD
是菱形．

【分析】（1）由全等三角形的判定定理
ASA
证得结论；
（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴∠
A
＝∠
C
．
在△
AED
与△
CFD
中，

∴△
AED
≌△
CFD
（
ASA
）；
（ 2）由（1）知，△
AED
≌△
CFD
，则
AD
＝
CD
．
又∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴四边形
ABCD
是菱形．

21．为了解今年初四学生的数学学 习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的
数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图 表所给出的信息解答系列问题：
成绩
优秀
良好
合格
不合格
（1）该校初四学生共有多少人？
（2）求表中
a
，
b
，
c
的值，并补全条形统计图．
（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙 、丙、丁四名同学中任意抽取两名
同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
频数
45
频率
b

0.3
0.35
a

105
60
c


【分析】（1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数；
（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案；
（3）根据题意画出树状 图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比
值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35＝300（人），
答：该校初四学生共有300人；
（2）由（1）得：
a
＝300×0.3＝90（人），
b
＝
c
＝
＝0.15，
＝0.2；
如图所示；
（3）画树形图得：

∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴
P
（抽到甲和乙）＝＝．

22．为了弘扬“社会主义核心价值 观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定
广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端
D
距广告牌立柱距离
CD
为3米，从
D
点测得广
告牌顶端
A
点和底端
B
点的仰角分别是60°和45°．
（1）求公益广告牌的高度
AB
；
（2）求加固钢缆
AD
和
BD
的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

【分析】（ 1）根据已知和tan∠
ADC
＝，求出
AC
，根据∠
BDC
＝45°，求出
BC
，根据
AB
＝
AC
﹣
BC< br>求出
AB
；
（2）根据cos∠
ADC
＝，求出
A D
，根据cos∠
BDC
＝，求出
BD
．
【解答】解：（ 1）在Rt△
ADC
中，∵∠
ADC
＝60°，
CD
＝3，
∵tan∠
ADC
＝，
， ∴
AC
＝3?tan60°＝ 3
在Rt△
BDC
中，∵∠
BDC
＝45°，
∴
BC
＝
CD
＝3，
∴
AB
＝
AC
﹣
BC
＝（3﹣3）米．
， （2）在Rt△
ADC
中，∵cos∠
ADC
＝
∴AD
＝＝＝6米，
在Rt△
BDC
中，∵cos∠
BDC＝
∴
BD
＝＝＝3
，
米．
23．如图，以
O
为圆心，
AB
长为直径作圆，在⊙
O
上取一点，延长
AB
至点
D
，连接
DC
，过
点
A
作⊙
O
的切线交
DC
的延长线于点
E
，且∠
DCB
＝∠
DAC
．
（1）求证：
CD
是⊙
O
的切线； < br>（2）若
AD
＝6，tan∠
DCB
＝，求
AE
的长 ．

【分析】（1）连结
OC
，
OE
，根据圆周角定理得 到∠
BCO
+∠1＝90°，而∠
DCB
＝∠
CAD
，∠
CAD
＝∠1，于是∠
DCB
+∠
BCO
＝90°；
（2）根据切线的性质得到
EC
＝
EA
，
OE
⊥< br>AC
，则∠
BAC
＝∠
OEA
，得到tan∠
DCB
＝tan∠
OEA
＝＝，易证Rt△
CDO
∽Rt△
CAE
，得到，求得
CD
，然后在Rt△
DAE
中，运用勾股定理可计算出
AE
的长．
【解答】（1）证明：连结
OC
，
OE
，如图，
∵
AB
为直径，
∴∠
ACB
＝90°，即∠
BCO
+∠1＝90°，
又∵∠
DCB
＝∠
CAD
，
∵∠
CAD
＝∠1，
∴∠1＝∠
DCB
，
∴∠
DCB
+∠
BCO
＝90°，即∠
DCO
＝90°，
∴
CD
是⊙
O
的切线；
（2）解：∵
EA
为⊙
O
的切线，
∴
EC
＝
EA
，
OE
⊥
DA
，
∴∠
BAD
+∠
DAE
＝90°，∠
OEA
+∠< br>DAE
＝90°，
∴∠
BAC
＝∠
OEA
，
∴∠
CDB
＝∠
OEA
．
∵tan∠
DCB
＝，
∴tan∠
OEA
＝＝，
∵Rt△
DCO
∽Rt△
DAE
，
∴＝＝＝，