世界第二高楼中考数学专题提升(一)

2020年11月27日发(作者：彭述之)
二轮专题提升
专题提升(一) 综合型问题



1． [2012·荆门]如图Z－1－5，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD
上一点，PE ⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点
Q.若BF＝2，则PE的长为 ( C )

图Z－1－5
A．2
C.3
B．23
D．3
【解析】 ∵△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线，
∴∠EBP＝∠QBF＝30°.∵BF＝2，FQ⊥BP，
3
∴BQ＝BF·cos30°＝2×
2
＝3.
∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝23.
在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，
1
∴PE＝
2
BP＝3.故选C.
2．[2010·黄冈]已知四 条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形
的面积是12，则k的值为
( A )
A．1或－2 B．2或－1

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C．3 D．4
【解析】 依题意过(0，－3)的直线 y＝kx－3与y＝－1，y＝3，x＝1所围的
四边形有两种情况．分别求出各顶点的坐标(含k)， 利用面积等于12分别求
出k＝1或－2.选A.
3．[2012·嘉兴]如图Z－1－6， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC.点D是
AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥C D，分别交CD，CA于点E，F，与
AG
过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF. 给出以下四个结论：①
AB
FG2
＝
FB
；②点F是GE的中点；③ AF＝
3
AB；④S
△
ABC
＝5S
△
BDF
，其中正确
结论的序号是 ①③ ．


图Z－1－6
【解析】 ∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC.∵AG⊥AB，∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
AGFG
∴
CB
＝
FB
.
AGFG
∵BA＝BC，∴
AB
＝
FB
，
故①正确；
∵∠ABC＝90°，BG⊥CD，
∴∠DBE＋∠BDE＝∠BDE＋∠BCD＝90°，
2 / 10
∴∠DBE＝∠BCD.
∵AB＝CB，点D是AB的中点，
11
∴BD＝
2
AB＝
2
CB，
BD1
∴tan∠BCD＝
BC
＝
2
，
AG1
∴在Rt△ABG中，tan∠ABG＝
AB
＝
2
.
AGFG1
∵
AB
＝
FB
，∴FG＝
2
FB，故②错误；
∵△AFG∽△CFB，∴AF∶CF＝AG∶BC＝1∶2，
1
∴AF＝
3
AC.
2
∵AC＝2AB，∴AF＝
3
AB，故③正确；
11
∵ BD＝
2
AB，AF＝
3
AC，∴S
△
ABC
＝6 S
△
BDF
，
故④错误．
故答案为①③.
4．[20 11·芜湖]如图Z－1－7，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例
k
函数y＝< br>x
经过正方形AOBC对角线的交点，半径为(4－22)的圆内切于
△ABC，则k的 值为__4__．

图Z－1－7
【解析】 设圆心为I，正方形对角线交点为P，则PC＝PI＋IC＝4－22＋2
(4－22)＝22，
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∴BC＝4＝OB，
k
∴P点坐标为(2，2)．∵点P在y＝
x
上，
∴k＝2
2
＝4.
5．[2011·南通]如图Z－1－8，三个半圆依次 相外切，它们的圆心都在x轴的正
3
半轴上并与直线y＝
3
x相切，设半圆C
1
，半圆C
2
，半圆C
3
的半径分别是
r
1
，r
2
，r
3
，则当r
1
＝1时，r
3
＝__9__．

图Z－1－8
3
【解析】 依题意直线y＝< br>3
x与x轴的夹角为30°，分别过C
1
，C
2
，C
3
作过
3
切点的半径，交直线y＝
3
x于P
1
，P
2
，P
3
.
又过C
1
作C
1
B ⊥C
2
P
2
于B，则C
1
C
2
＝1＋r< br>2
，C
2
B＝r
2
－1，则1＋r
2
＝2( r
2
－1)，
r
2
＝3，
同理得3＋r
3
＝2(r
3
－3)，r
3
＝9.
6．[2011·金华]如图Z－1－9，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O
为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A，B和C，D，连结
OA，此时有OA∥PE .
(1)求证：AP＝AO；
(2)若AB＝12，求tan∠OPB的值；
( 3)若以图中已标明的点(即P，A，B，C，D，O)构造四边形，则能构成菱形
的四个点为____ ____，能构成等腰梯形的四个点为________或________或
________．
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图Z－1－9
【解析】 (1)证∠APO＝∠POA；
(2)作OH⊥AB于H，由垂径定理求OH，又∵PA＝AO，
OH
∴PH＝AO＋AH，计算tan∠OPB＝
PH
就容易了；
(3)由OA∥PE知OC∥PF，从而寻找菱形和等腰梯形．
解：(1) 证明：∵PG平分∠EPF，

第6题答图
∴∠DPO＝∠BPO.
∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，
∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO.
(2) 过点O作OH⊥AB于点H，
1
则AH＝HB＝
2
AB＝6.
又∵OA＝10，∴OH＝OA
2
－AH
2
＝8.
又∵PH＝PA＋AH＝AO＋AH＝16，
OH81
∴tan ∠OPB＝
PH
＝
16
＝
2
.
(3)P，A，O，C A，B，D，C P，A，O，D P，C，O，B
7．[2012·荆门]荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖
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