学习五笔人教版中考数学真题及答案

2020年11月27日发(作者：苏克之)
人教版中考数学真题及答案
一、函数与几何综合的压轴题
1.（2004安徽芜湖）如 图①，在平面直角坐标系中，
AB
、
CD
都垂直于
x
轴，垂 足
分别为
B
、
D
且
AD
与
B
相交 于
E
点.已知：
A
(-2,-6),
C
(1,-3) (1)求证：
E
点在
y
轴上；
(2)如果有一抛物线经过
A
，
E
，
C
三点，求此抛物线方程.
(3)如果
AB
位置不变，再将
DC
水平向右移动
k
(
k
> 0)个单位，此时
AD
与
BC
相交
于
E
′点，如图 ②，求△
AE
′
C
的面积
S
关于
k
的函数 解析式.
y
y
B
D
B
D
O
x
O x
E
E
′
C（1，-3）
C（1+k，-3）
A
A
（2，-6）
（2，-6）
图②
1
图①
[解]
（ 1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过
E
作
EO
′⊥x
轴，垂足
O
′∴
AB
∥
EO
′∥
D C
∴
EODOBO
ABDB
,
EO
CDDB
又∵< br>DO
′＋
BO
′＝
DB
∴
EOEO
ABDC
1
∵
AB
=6，
DC
=3，∴
EO
′=2
又∵
DOEO
DBAB
，∴
DO
EO2
AB
DB
6
31
∴
DO
′＝
DO
，即
O′与
O
重合，
E
在
y
轴上
方法二：由
D
（1，0），
A
（-2，-6），得
DA
直线方程：
y< br>=2
x
-2①
再由
B
（-2，0），
C
（1 ，-3），得BC直线方程：
y
=-
x
-2 ②
联立①②得
x0
y2
∴
E
点坐标（0，-2），即
E
点在
y< br>轴上
2
（2）设抛物线的方程
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)过
A
（-2，-6 ），
C
（1，-3）
4a2bc6
E
（0，-2）三点，得方程组< br>abc3
c2
解得
a
=-1,
b
=0,
c< br>=-2
∴抛物线方程
y
=-
x
2
-2
（ 3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当
DC
水平向右平移
k
后，过
AD
与
BC
的交点
E
′作
E
′< br>F
⊥
x
轴垂足为
同（1）可得：
EFEF
ABDC< br>1
得：
E
′
F
=2
方法一：又∵
E
′
F
∥
AB
EFDF
ABDB
，∴
DF
1
3
DB
S S
1112
△
AE
′
C
=
S
△
ADC
-
△
E
′
DC
=
2
DCDB
2
DCDF
2
DC
3
DB
=
1
3
DCDB
=DB=3+
k
S=3+k为所求函数解析式
方法二：∵
BA
∥
DC
，∴
S
△
BCA
=
S
△
BDA
∴
S
△
AE
′
C
=
S
△
BDE
′
1
2
BDEF
1
2
3 k23k
∴
S
=3+
k
为所求函数解析式.
证法三：S
△
DE
′
C
∶
S
△
AE
′
C
=
DE
′∶
AE
′＝
DC
∶
A B
=1∶２
同理：
S
△
DE
′
C
∶
S
△
DE
′
B
=1∶2,又∵
S
△
DE
′
C
∶
S
△
ABE
′
=
DC2
∶
AB
2
=1∶４
∴
S
221
AE C
9
S
梯形
ABCD
92
ABCDBD3k
3
。
F
∴
S
=3+
k
为所求函数解析式.
2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、
直径A C为
22
的圆与y轴交于A、D两点.
（1）求点A的坐标；
（2）设过点 A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙Ｍ的切线？
并对你的结论加以证明；
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S
1
、⊙Ｍ面积为S
2
，若< br>S
1
h
S
，抛物线
2
4
y＝ax
2
＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到
x
轴的距离为
h
.求这条 抛物线的解
析式.
[解]
（1）解：由已知AM＝
2
，OM＝1，
在Rt△AOM中，AO＝
AM
2
OM
2
1
，∴
点A的坐标为A（0，1）
（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b 即b＝1 ∴y＝x＋1
令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0），
AO
2
AB＝
BO
2
1
2
1
2
2
在△ABM中， AB＝
2
，AM＝
2
，BM＝2
AB
2
AM2
(2)
2
(2)
2
4BM
2
4
∴ △ABM是直角三角形，∠BAM＝90°
∴
直线AB是⊙Ｍ的切线
（3）解法一：由 ⑵得∠BAC＝AB90°，＝
2
，AC＝2
2
，
∴BC＝
AB
2
AC
2
(2)
2
(22)
2
10< br>∵∠BAC＝90°∴△ABC的外接圆的直径为BC，
∴
S
y
1< br>(
BC
2
)
2
(
10
2
)
2
5
2
而
S
AC
A
2
()
2< br>22
2
2
(
2
)2
S
5
·
M
1
h
2
h
B
x
S
,
　　 　
h
2
4
即　　
，
24
5
D
C
设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：
y＝a（＋1）（x－1），（ a≠0）即y＝ax
2
－a，∴－a＝±5，∴a＝±５
∴抛物线的解析式为y＝5x
2
－5或y＝－5x
2
＋5
解法二：（接上）求得∴h＝5 由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛
物线的对称轴是y轴，由题意得抛物 线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）
2
±５
又 B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±0，5＝a＝±５
∴抛物线的解析式为y＝5x2
－5或y＝－5x
2
＋5
5
解法三：（接上）求得∴5 h＝
因为抛物线的方程为y＝ax
2
＋bx＋c（a≠0）
abc0a
＝－
5a5
由已知得
abc0
　　　解得
b0
　　或　　
b0
4acb
2
c5c5
4a
5
　
∴抛物 线的解析式为y＝5x
2
－5或y＝－5x
2
＋5.
3.(200 4湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，
交x轴于A、B两点 ，抛物线
yax
2
bxc
(
a
0)
过点A、B，且 顶点C在⊙Ｐ上.
(1)求⊙Ｐ上劣弧
AB
⌒
的长；
(2)求抛物 线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点
y
D的坐标；
若不存在，请说明理由.
A
B
[解]
（1）如图，连结PB，过P作PM⊥ｘ轴，垂足为M.
O
·
x
P（1，－1）
C
在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,
6
∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝ 120°
AB
⌒
的长＝
120
180
2
4
3
y
（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝
3
.
又OM=1，∴A（1－
3
，0），B（1＋
3
，0），
A
M
B
O
·
P（1，－1）
x
由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，
C
则C(1，－3).
点 A、B、C在抛物线上，则
0a(13)
2
b(13)c
a1
0a( 13)
2
b(13)c
解之得
b2
3abc
c2
抛 物线解析式为
yx
2
2x2
（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则 四边形OPCD为平行四边形，且
PC∥OD.
又PC∥ｙ轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2， 即D（0，－2）.
又点D（0，－2）在抛物线
yx
2
2x2
上 ，故存在点D（0，－2），
使线段OC与PD互相平分.
4.（2004湖北襄樊）如图， 在平面直角坐标系内，
ABC
Rt的直角顶点△
C
（0，
3
）
在
y
轴的正半轴上，
A、B
是
x
轴上是两点，且
OA
∶
OB
＝3∶1，以
OA、OB
为直
径的圆分 别交
AC
于点
E
，交
BC
于点
F
.直线< br>EF
交
OC
于点
Q
.
（1）求过
A、B、 C
三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线
EF
与两圆有怎样的位置关系 ？并证明你的猜想.
（3）在△
AOC
中，设点
M
是
AC
边上的一个动点，过
M
作
MN∥AB
交
OC
于点< br>y
7
N
.试问：在
x
轴上是否存在点
P
，使得△
PMN
是一个以
MN
为一直角边的等腰直角
三角形？若存在 ，求出
P
点坐标；若不存在，请说明理由.
[解]
(1)在Rt△
ABC
中，
OC
⊥
AB
，
∴△
AOC
≌ △
COB
.
∴
OC
2
＝
OA
·
OB
.
∵< br>OA
∶
OB
＝3∶1,
C
(0,
3
),
∴
(3)
2
3OBOB.
y
∴
OB
＝1.∴
OA
＝3.
E
C
∴
A
(-3,0),
B
(1,0).
M
Q
设抛物线的解析式为
yax
2
bxc.
3
1
2
F
4
a
3
A O
1
P
O
O
2
B
x
9a3bc0,
3
,
则abc0,
解之，得
b
2
c3.
3
3,
c3.
∴经过
A、B、C
三点的抛物线的解析式为
y
3
x
2
2
33
3x3.
(2)
EF
与⊙
O
1< br>、⊙
O
2
都相切.
证明：连结
O
1
E、
OE
、
OF
.
∵∠
ECF
＝∠
A EO
＝∠
BFO
＝90°，
∴四边形
EOFC
为矩形.
∴
QE
＝
QO
.
∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠4, ∠2+∠4＝90°，
∴
EF
与⊙
O
1
相切.
同理：EF理⊙
O
2
相切.
(3)作
MP
⊥OA
于
P
，设
MN
＝
a
,由题意可得
MP
＝
MN
＝
a
.
8
∵
MN∥OA
,
∴△
CMN
∽△
CAO
.
∴
MNCN
A OCO
.
∴
a3a
3
3
.
解之，得
a333
2
.
此时，四边形
OPMN
是正方形.
∴MNOP
333
2
.
∴
P(
333
2
,0).
考虑到四边形
PMNO
此时为正方形，
∴点
P
在原 点时仍可满足△
PNN
是以
MN
为一直角边的等腰直角三角形.
故
x
轴上存在点
P
使得△
PMN
是一个以
MN
为一直角边的等腰直角三角形且
P(
333
2
,0)
或
P (0,0).
5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(
15
4
，
23
8
)，P是以AC为
对角线的矩形ABCD内部( 不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝
ax
2
+b
x
+ 1以P为顶点．
(1)说明点A、C、E在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y＝
ax
2
+b
x
+1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y＝< br>ax
2
+b
x
+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与 △FAO的
面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定
a
、 b的值
吗?若能，请求出
a
、b的值；若不能，请确定
a
、b的取值 范围．
9
(本题图形仅供分析参考用)
Y
D
C
[解]
P
（1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：
A
B
y=
1
2
x
+1.
O
X
将点E的坐标E(
15
4
，
23
8
)代入y=
1
2
x
+1中，左边=
23
8
，右边
=
1< br>×
1523
24
+1=
8
，
∵左边=右边，∴点E在 直线y=
1
2
x
+1上，即点A、C、E
在一条直线上.
（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，
而点A与点P都 在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口
向下
2
解法二：∵抛 物线y=
ax
2
+b
x
+c的顶点P的纵坐标为
4a
—
b
4a
，且P在矩形ABCD
内部，∴1＜
4a
—b
22
4a
＜3，由1＜1—
b
2
4a
得—< br>b
4a
＞0，∴
a
＜0，∴抛物线的开口向下.
（3）连接GA、FA，∵S
△GAO
—S
△FAO
=3 ∴
1
2
GO·AO—
1
2
FO·AO=3 ∵OA=1，
∴GO—FO=6. 设F（
x
1
,0）、G（
x2
,0），则
x
1
、
x
2
Y
为方程
ax
2
+b
x
+c=0的两个根，且
x
1
＜
x
2
，又∵
a
＜0，
D
C
P
E
A
∴
x
1
·
x
2
=
1
a
＜0，∴
x
1
＜0＜
x
2
，
B
F
O G
∴GO=
x
X
2
，FO= —
x
1
，∴
x
2
—（—
x
1
）= 6，
即
x
2
+
x
1
=6，∵
x
2
+
x
1
= —
b
a
∴—
b
a
=6，
10
∴b= —6
a
,
∴抛物线解析式为：y=
ax
2
—6
ax
+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9
a
）, ∵顶点P在
矩形ABCD内部，
∴1＜1—9
a
＜3, ∴—
2
9
＜
a
＜0.
y=ax
2
—6ax+1
由方程组
得：ax
2
—（6a+
1
）x=0
y=
1
2
x+1
2
6a
1
∴
x
=0或
x
=
2
a
=6+
1
2a
.
当
x
=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的< br>交
点，则有：0＜6+
1
2a
≤
15
4
，解 得：—
2
9
≤a＜—
1
12
综合得：—
2
＜
a
＜—
1
∵b= —6
a
，∴
1
912 2
＜b＜
4
3
6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2 )，⊙Ａ过点B且与
x
轴分别相交
于点O、C，⊙Ａ被
y
轴分成段两 圆弧，其弧长之比为3∶1，直线
l
与⊙Ａ切于点O，
抛物线的顶点在直线
l
上运动.
（1）求⊙Ａ的半径；
y
（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；
0
x
11 12
（3）过
l
上一点P的直线与⊙Ａ交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；< br>（4）若抛物线与
x
轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为
m
，求△PEC的
面积关于
m
的函数解析式.
[解]
(1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO90＝o
再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2 (2)⊙Ａ的切线
l
过原点，可设
l
为
y
＝
k x
任取
l
上一点(
b
，
kb
)，由
l与
y
轴夹角为45o可得：
b
＝－
kb
或
b< br>＝
kb
，得
k
＝－1或
k
＝1，
∴直线l
的解析式为
y
＝－
x
或
y
＝
x
又由r＝
2
，易得C(2，0)或C(－2，0)
由此可设抛物线解析式为
y
＝
ax
(
x
－2)或
y
＝
ax
(
x
＋2)
再把顶点坐标代入
l
的解析式中得
a
＝1
∴抛物线为y
＝
x
2
－2
x
或
y
＝
x< br>2
＋2
x
……６分
(3)当
l
的解析式为
y
＝－
x
时，由P在
l
上，可设P(m，－m)(m＞0)
过P作PP′⊥
x
轴于P′，∴OP|m|′＝，PP′＝|－m|，∴OP＝2m
2
，
又由切割线定理可得：OP
2
＝PC·PE,PC且＝CE，得PC＝PE ＝m＝PP′７
∴Ｃ与P′为同一点，即PE⊥
x
轴于C，∴m＝－2，E(－2，2 )…８分
同理，当
l
的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)
分< br>(4)若C(2，0)，此时
l
为
y
＝－
x
，∵Ｐ与 点O、点C不重合，∴m≠０且m≠2，
当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|y
p
|即为－m，
∴S＝
2(2m)(m)
2
m
2
2m
同理当0＜m＜2时，S＝－m
2
＋2m；当m＞2时，S＝m
2
－2m；
2
∴S＝
m2m(m0
或
m2)
m
2
2m (0m2)
又若C(－2，0)，
此时
l
为
y
＝
x
，同理可得；S＝
m
2
2m(m2
或
m0)
m2
2m(2m0)
A A
7.（2006江苏连云港）如图，直线
yk x4
与函数
y
m
x
(x0,m0)
的图像交于
A< br>、
B
两点，且与
x
、
y
轴分别交于
C
、
D
两点．
13 14
（1）若
存在，求出
COD的面 积是AOB的面积的
2
倍，求k与
m
之间的函数关系式；
P(2,0 )
．若（2）在（1）的条件下，是否存在k和
m
，使得以
AB
为直 径的圆经过点
k和
m
的值；若不存在，请说明理由．
[解]
（1）设
由
S
∴
COD
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
(其中
x
1
AOB
x
2
,y
1
S
BOD
y
2
)，
)
2(y
1
8
，
km0
①
C A
2S
，得
S
COD
2(S
1
2
AOD< br>1
2
OC
··
OD2
(
1
2
OD< br>·
y
1
·
2
OD
·
y
2
) ，
OC
·
y
2
)
，
O
P
B
D
又OC
由
y
∴
y
1
∴16
4，∴(y
1
y
2
)
m
y
8
，即
( y
1
kx
y
2
)
2
2
4y
1y
2
4y
m
x
可得
x
，代入
y4可得
y
y
2
4km
4
，
y
1
y
2
8，即
k
16
km
，
2
m
．
CA
又方程①的判别式
∴所求的函数关系式为
（2）假设存在
则AP
4km80
，
B
k
2
m
(m0)
．
P(2,0)
．
OM
P
ND
k
,
m，使得以
AB
为直径的圆经过点
BP
，过
A
、
B
分别作
x
轴的垂线，垂足分别为
BPN
都与
M
、 N．
BPN
．∵
MAP
与
∴Rt
∴
APM
互余，∴
AM
PN
2)(
x
2
MP
NB
2 )
2
MAP
MAP
∽Rt
y
1
2
2
2
NPB，∴
，∴
(
x
1
．
x
1
y
2
x
2
y
1
y
2
0
②
0
，∴
(
m
y
1
2)(
m
y
2
2)y
1
y
2
0
，
即
m2m(y
1
y
2
)
y
2
4y
1
y
2
(y
1
y
2
)
由（1）知
y
1
∴
m
4
，
y
1
y
2
2
或
6
，又
k
2
，代入②得
m
m6
m2
2
1< br>，或
，∴
k
k1
m
3
2
8m120
，
∴存在k,
m
，使得以
AB
为直径的圆经过点
P(2,0 )
，且
2
m
k
2
1
m
或
k
6
1
．
3
8.（2004江苏镇江）已知抛物线
ymx(m5)x 5(m0)
与
x
轴交于两点
A(x
1
,0)
、B(x
2
,0)(x
1
x
2
)
，与
y
轴交于点
C
，且
AB
=6.
（1）求抛物线和直线
BC
的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线
BC
.
（3）若
P
过
A
、
B
、
C
三点，求
P
的半径 .
（4）抛物线上是否存在点
M
，过点
M
作
MNx
轴于点
N
，使
MBN
被直线
BC
分成面积比为
1 3
的两部分？若存在，请求出点
M
的坐标；若不存在，请说明
理由.
[解]
（1）由题意得：
x
m55
1
x
2
m,x
1
x
2
m
,x
2
x
1
6 .
2
(x
1
x
2
)
2
4x
20< br>1
x
2
36,
m5
mm
36,
解得
m
5
1
1,m
2
y
7
.
经检验
m
=1，∴抛物线的解析式为：
yx
2
4x5.
或：由
mx
2
(m5)x50
得，
x1
或
O x
x
5
m
m>0,
1
5
m
6,m1.
抛物线的解析式为
yx
2
4x5.
由
x
2
4x50
得
x
1
5,x
2
1.
∴
A
（－5，0），
B
（1，0），
C
（0，－5）.
15
设直线BC的解析式为< br>ykxb,
则
b5,b5,
kb0.k5.
∴直线BC的解析式为y5x5.
(2)图象略.
（3）法一：在
RtDAOC
中，
OAOC5,OAC45.
BPC90
.
又
BCOB
2
O C
2
26,
∴
P
的半径
PB26
2
213.
法二：
由题意，圆心
P
在
AB
的中垂线上，即在 抛物线
yx
2
4x5
的对称轴直线
上，设
P
（－2 ，－
h
）（
h
＞0），
连结PB、PC，则
PB
2
(12)
2
h
2
,PC
2
(5h)
22
2
，
由
PB
2
PC
2
，即
(12)
2
h
2
(5h)
2
2
2
，解得< br>h
=2.
P(2,2),P
的半径
PB(12)
2
2
2
13
.
法三：
延长
CP
交
P
于点
F
.
CF
为
P
的直径，
CAFCOB90.
x2
16
又
ABCAFC,DACF~DOCB.
CFACACBC
BCOC
,CF
OC
.
又
AC5
2
5
2
52,CO 5,BC5
2
1
2
26,
CF
5226
5
213.
P
的半径为
13.
（4）设
MN
交直线
B C
于点
E
，点
M
的坐标为
(t,t
2
4t 5),
则点
E
的坐标为
(t,5t5).
若
S
DM EB
:S
DENB
1
:
3,
则
ME:EN1:3.
EN:MN3:4,t
2
4t5
4
3
(5t5).
解得
t
5
1
1
（不合题意舍去），
t
2
3
,M
5
3
,
40
9
.
若
S
DMEB
:S
DENB
3:1,
则
ME:EN3:1.
E N:MN1:4,t
2
4t54(5t5).
解得
t
3
1< br>（不合题意舍去），
t
4
15,M15,280.
存在点
M< br>，点
M
的坐标为
540
3
,
9
或（15，2 80）.
9. 如图，⊙
M
与
x
轴交于
A
、B
两点，其坐标分别为A(3，0)、B(1，0)，直径
CD
⊥
x轴于
N
，直线
CE
切⊙
M
于点
C
，直 线
FG
切⊙
M
于点
F
，交
CE
于
G
，已知点
17
G
的横坐标为3.
(1)若抛物线
yx
2
2xm
经过
A
、
B
、
D
三点， 求
m
的值及点
D
的坐标.
(2)求直线
DF
的解析式.
(3)是否存在过点
G
的直 线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等
于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式； 若不存在，请说明理由.
[解]
(1) ∵抛物线过
A
、
B
两点，
y
D
F
∴
(3)1
m
1
，
m
=3.
M
∴抛物线为
yx
2
2x3
.
N
O
又抛物线过点
D
，由圆的对称性知
A
C G
E
x
点
D
为抛物线的顶点.
（第9题图）
∴
D
点坐标为(1，4).
(2) 由题意知：
AB
=4.
∵
CD
⊥
x
轴，∴
NA
=
NB
=2. ∴
ON
=1.
由相交弦定理得：< br>NA
·
NB
=
ND
·
NC
，
∴NC
×4=2×2. ∴
NC
=1.
∴
C
点坐标为(1，1).
设直线
DF
交
CE< br>于
P
，连结
CF
，则∠
CFP
=90°.
∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.
18 19
∵
GC
、GF
是切线，
∴
GC
=
GF
. ∴∠3=∠4.
y
D
∴∠1=∠2.
F
M
∴
GF
=
GP
.
3 2
N
O
x
∴
GC
=
GP
.
A
4
1
C G
P
E
可得
CP
=8.
∴
P
点坐标为(7，1)
设直线
DF
的解析式为ykxb
5
则
kb4
k
8
7kb1
解得
b
27
8
∴直线
DF
的解析式为：
y
5
x
27
88
(3) 假设存在过点
G
的直线为yk
1
xb
1
，
则3
k
1
b
1
1，∴
b
1
3 k
1
1
.
由方程组
yk
1
x3k
11
yx
2
2x3
得
x
2
(2k
1)x43k
1
0
由题意得2
k
1
4，∴
k1
6
.
当k
1
6
时，
400
，∴方程无实数根，方程组无实数解.
20
∴满足条件的直线不存在.
10. （2004山西）已知二次函数
y
1
2
x
2
bxc
的图象经过点A（－3，6），并
与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P.
（1）求 这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）设D为线段OC上的一点， 满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、 PC所在的直线及
y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
2
.
[解]
（1）解：∵二次函数
y
1
2
xbxc
的图象过点A（－3，6），B（－1，0）
b
解得
9
2
得
1
2
3bc
bc
6
0
y
1
2
x
2
1
3
2
y
c
3
2
∴这个二次函数的解析式为：
x
O
x < br>由解析式可求P（1，－2），C（3，0）
画出二次函数的图像
（2）解法一：易证： ∠ACB＝∠PCD＝45°
又已知：∠DPC＝∠BAC
∴
∴△DPC∽△BAC
DC
BC
PC
AC
4
3
易求
∴
O D
AC
3
62,PC
4
3
5
3
E. 22,BC
∴
D
4
∴
DC
5
3
,0< br>解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为