盏记2019全国各地中考数学考试真题及答案

2020年11月27日发(作者：明哲晖)
1
2019全国各地中考数学考试真题及答案
一、函数与几何综合的压轴题
1.（2018安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，
AB
、
CD
都垂直 于
x
轴，垂足分别为
B
、
D
且
AD
与B
相交于
E
点.已知：
A
(-2,-6),
C
(1,-3)
(1)求证：
E
点在
y
轴上；
(2)如果有 一抛物线经过
A
，
E
，
C
三点，求此抛物线方程.
(3)如果
AB
位置不变，再将
DC
水平向右移动
k
(< br>k
>0)个单位，此时
AD
与
BC
相交于
E
′点，如图②，求△
AE
′
C
的面积
S
关于
k的函数
解析式.
y
y
B
D
B
D
O x
O
x
E
E′
C
（1，-
C
A
A
（2，-
（2 ，-
图②
图①
[解]（1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E
作
EO
′⊥
x
轴，垂足
O
′∴
AB
∥
EO
′∥
DC
∴
EODOEOBO
ABDB,
CDDB
又∵
DO
′＋
BO
′＝
DB
∴
EOEO
ABDC
1
∵AB=6，DC=3，∴EO′=2
又∵
DOEOEO
DBAB
，∴
DO
AB
DB
2
6
31
∴
DO
′＝
DO
，即
O
′与O
重合，
E
在
y
轴上
方法二：由D（1，0），A（- 2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①
再由
B
（-2，0），
C（1，-3），得BC直线方程：
y
=-
x
-2 ②
联立①② 得
x0
y2
∴
E
点坐标（0，-2），即
E
点在< br>y
轴上
（2）设抛物线的方程y=ax
2
+bx+c(a≠0)过A（ -2，-6），C（1，-3）
4a2bc6
E（0，-2）三点，得方程组
abc3
c2
解得
a
=-1,
b
=0,
c
=-2
∴抛物线方程y=-x
2
-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当
DC
水平向右平移
k
后，过
AD
与
BC
的交点
E
′作
E
′
F
⊥
x
轴
垂足为
F
。
同（1）可得：
EFEF
ABDC
1< br>得：E′F=2
方法一：又∵
E
′
F
∥
AB
EFDF
，∴
DF
1
ABDB3
DB
S
△AE′ C
=
S
△ADC
-
S
△E′DC
=
1
2
DCDB
1
DCDF
1
22
DC
23
DB
=
1
3
DCDB
=DB=3+
k
S=3+k为所求函数解析式
2
方法二：∵ BA∥DC，∴S
△
BCA
=S
△
BDA
∴
S
△AE′C
=
S△BDE′
1
2
BDEF
1
2
3k23k
∴< br>S
=3+
k
为所求函数解析式.
证法三：S
△
DE
′
C
∶S
△
AE
′
C
=DE′∶AE′＝ DC∶AB=1∶２
同理：
S
22
△DE′C
∶
S
△DE′B
=1∶2,又∵
S
△DE′C
∶
S
△ABE′< br>=
DC
∶
AB
=1∶４
∴
S
221
AEC
9
S
梯形
ABCD
92
ABCDBD3k
∴
S
=3+
k
为所求函数解析式.
2. （2018广东茂名）已知 ：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）
为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于A、D两点. < br>（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙ Ｍ
的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S
S
1
h
1
、⊙Ｍ面积为S
2
，若
S
2
4
，
抛物线
y＝ax
2
＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到
x
轴的距离为
h
.求这条抛
物线的解析式.
[解]（1 ）解：由已知AM＝
2
，OM＝1，
在Rt△AOM中，AO＝
AM
2
OM
2
1
，
∴
点A的坐标为A（0，1）
（2） 证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x
＋1
令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0），
2
AB＝
BOAO
21
2
1
2
2
在△ABM中，AB＝
2
，AM＝
2
，BM＝2
3
AB
2
AM
2
(2)
2
(2)
2
4BM
2
∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝ 90°
∴
直线AB是⊙Ｍ的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝2
，AC＝2
2
，
∴BC＝
AB
2
AC
2
(2)
2
(22)
2
10
∵∠BAC＝90°∴△AB C的外接圆的直径为BC，
∴
S
BC
1
(
2
)2
(
10
2
5
y
2
)
2
A
而
S
AC
2
(
2
)
2
(
22
2
)
2
2
B
·
M
x
S
h
5
1
即　　
2
h
D
C < br>S
2
4
5
，
24
,
　　　
h
设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：
y＝a（＋1）（x－1），（a≠0 ）即y＝ax
2
－a，∴－a＝±5，∴a＝
±５
∴抛物线的解析式为y＝5 x
2
－5或y＝－5x
2
＋5
解法二：（接上）求得∴h＝5
由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、
0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得 抛物线的顶点坐标为（0，
±5）
∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）
2
± ５
又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0，
a＝±５
∴抛物线的 解析式为 y＝5x
2
－5或y＝－5x
2
＋5
解法三：（接上）求得∴h＝5
因为抛物线的方程为y＝ax
2
＋bx＋c（a≠0）
4
abc0 a
＝－
5a5
由已知得abc0
　　　解得
b0
　　或　　
b0
4acb
2
5
　
c5c5
4a
∴抛物 线的解析式为 y＝5x
2
－5或y＝－5x
2
＋5.
3.(2 018湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2
为半径作圆，交x轴于A、B 两点，抛物线
yax
2
bxc
(
a
0)
过点A、B ，
且顶点C在⊙Ｐ上.
(1)求⊙Ｐ上劣弧
AB
⌒
的长；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求 出
点D的坐标；若不存在，请说明理由.
y
[解]（1）如图，连结PB，过P作PM⊥ｘ轴，垂足为M.
A
B
O
·
x
在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,
P（1，－
∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°
C
AB
⌒
的长＝
120
180
2
4
3
y
（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝
3
.
又OM=1，∴A（1－
3
，0），B（1＋
3
，0），
A
M
O
B
由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，
·
x
P（1，－
则C(1，－3).
C
点A、B、C在抛物线上，则
5
0a(13)
2
b(13)ca1
0a(13)
2
b(13)c
解之得
b2
3abc
c2
抛物线解析式为
yx
2
2x2
（3）假设存在点D，使 OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边
形，且PC∥OD.
又PC∥ｙ轴，∴点D 在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.
又点D（0，－2）在抛物线
yx
2
2
x
2
上，故存在点D（0，－2），
使线段OC与PD互相平分.
4.（2018湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△
ABC
的直角顶点C
（0，
3
）在
y
轴的正半轴上，
A、B
是< br>x
轴上是两点，且
OA
∶
OB
＝
3∶1，以
OA、OB
为直径的圆分别交
AC
于点
E
，交
BC
于点
F
.直线
EF
交
OC
于点
Q
. （1）求过
A、B、C
三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线
EF
与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.
（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个 动点，过M作MN∥AB交OC
于点
N
.试问：在
x
轴上是否存在点
P
，使得△
PMN
是一个以
MN
为一直角
边的等腰 直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由
y
.
E
C
Q
F
A
O
1
O
O
2
B
x
[解] (1)在Rt△
ABC
中，
OC
⊥
A B
，
∴△
AOC
≌△
COB
.
∴
OC
2
＝
OA
·
OB
.
∵< br>OA
∶
OB
＝3∶1,
C
(0,
3
),
∴
(3)
2
3OBOB.
y
M
E
C
3
1
Q
2
4
F
6
∴OB＝1.∴OA＝3.
∴
A
(-3,0),
B
(1,0).
设抛物线的解析式为
yax
2
bxc.
a
3
9a3bc0,
3
,
则
abc0,
解之，得
b
2
c3.
3
3 ,
c3.
∴经过
A、B、C
三点的抛物线的解析式为
(2)
EF
与⊙
O
1
、⊙
O
2
都相切.
证明： 连结
O
1
E
、
OE
、
OF
.
∵ ∠
ECF
＝∠
AEO
＝∠
BFO
＝90°，
∴四边 形EOFC为矩形.
∴
QE
＝
QO
.
∴∠1＝∠2.< br>∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，
∴
EF
与⊙
O
1
相切.
同理：EF理⊙
O
2
相切.
(3)作
MP⊥
OA
于
P
，设
MN
＝
a
,由题意可 得
∵
MN∥OA
,
∴△
CMN
∽△
CAO
.
∴
MNCN
A OCO
.
∴
a3a
3
3
.
y
3
2
2
3
x
3
3x3.
MP
＝
MN
＝
a
.
7
解之，得
a
333
2
.此时，四边形
OPMN
是正方形.
∴
MNOP
333
2
.
∴
P(
333
2
,0).
考虑到四边形
PMNO
此时为正方形，
∴点
P
在原点时仍可满足△
PNN
是以
MN
为一直角边的等腰直角三角形.
故
x
轴上存在点
P
使得△
PMN
是一个以
MN
为一直角边的等腰直角三角形
且
P(
333
2
,0)
或
P(0,0).
5.（ 2018湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(
15
4
，
23
8
)，P
是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点 D在y
轴，抛物线y＝
ax
2
+b
x
+1以P为顶点．(1)说明点A、C、E在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y＝
ax
2+b
x
+1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y＝
ax
2
+b
x
+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与
△FAO的 面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这
时能确定
a
、b的值吗? 若能，请求出
a
、b的值；若不能，请确定
a
、b
的取值范围．(本题图形仅供分析参考用)
Y
[解]（1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析
D
C
式
为：y=
1
x
+1.
P
2
A
B
将点E的坐标E(
15
4
，
23
8
) 代入y=
1
2
x
+1中，左
O
X
边=
23
，右边=
1
×
15
8
24
+1=
23
8
，
∵左边=右边，∴点E在直线y=
1
2
x
+1 上，即点A、C、E
8
在一条直线上.
（2）解法一：由于动点P在矩形ABC D内部，∴点P的纵坐标大于点A
的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有
最高点，抛物线的开口向下
解法二：∵抛物线y=
ax
2
+b
x
+c的顶点P的纵坐标为
4a
—
b
2
4a
，且 P在矩
形ABCD内部，∴1＜
4a
—
b
2
4a
＜ 3，由1＜1—
b
2
b
2
4a
得—
4a
＞ 0，∴
a
＜0，∴
抛物线的开口向下.
（3）连接GA、FA，∵S
△GAO
—S
△FAO
=3 ∴
1
2
GO·AO—
1
2
FO·AO=3 ∵
OA=1，∴GO—FO=6. 设F（
x
1
,0）、G（
x2
,0），则
x
1
、
x
2
为方程
ax
2
+b
x
+c=0的两个根，且
x
1
＜
x
2
，又∵
a
＜0，
∴x
1
·x
2
=
1
a
＜0，∴x
1
＜0＜x
2
，
Y
D
C
P
∴GO=
xx
E
2
，FO= —
x
1
，∴
2
—（—
x1
）=6，
A
B
即x
2
+x
1
= 6，∵x
2
+x
1
= —
b
a
∴—
b
a
=6，
F
O G
X
∴b= —6
a
,
∴抛物线解析式为：y=
ax
2
—6
ax
+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9
a
）,
∵顶点P在矩形ABCD内部，
∴1＜1—9
a
＜3, ∴—
2
9
＜
a
＜0.
y=
ax
2
—
由方程组
6
ax
+1 得：
ax
2
—（6
a
+
1
2
）
1
x
=0
∴x=0或x=
6a
2
1
2
a
=6+
1
2a
.
当
x
=0时，即抛物线与线段 AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两
个不同的交
点，则有：0＜6+
1
2a
≤
15
4
，解得：—
2
9
≤a＜—
1
12
9
综合得：—
2
1
9
＜
a
＜—
12
∵b= —6
a
，∴
1
2
＜b＜
4
3
6.（2018湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙Ａ过点B且与x轴
分别相交于点O、C，⊙Ａ被
y
轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直
线
l
与⊙Ａ切于点O，抛物线的顶点在直线
l
上运动.
（1）求⊙Ａ 的半径；
（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；
（3）过
l
上 一点P的直线与⊙Ａ交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的
坐标；
（4）若抛物线与
x
轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为
m
，
求△PEC的面积关 于
m
的函数解析式.
y
[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o
再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2
0
x
(2)⊙Ａ的切线
l
过原点，可设
l
为< br>y
＝
kx
任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45o可得：
b
＝－
kb
或
b
＝
kb
，得
k
＝ －1或
k
＝1，
∴直线
l
的解析式为
y
＝－
x
或
y
＝
x
又由r＝
2
，易得C(2，0)或C(－2，0)
由此可设抛物线解析式 为
y
＝
ax
(
x
－2)或
y
＝
a x
(
x
＋2)
再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1
∴抛物线 为
y
＝
x
2
－2
x
或
y
＝
x
2
＋2
x
……６分
(3)当
l
的解析式为y
＝－
x
时，由P在
l
上，可设P(m，－m)(m＞0) < br>过P作PP′⊥
x
轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2
，
又由切割线定理可得：OP
2
＝PC·PE,且PC＝CE，得PC ＝PE＝m＝PP′７
分
∴Ｃ与P′为同一点，即PE⊥
x
轴于C，∴m＝－ 2，E(－2，2)…８分
同理，当
l
的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2 )
(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵Ｐ与点O、点C不重合，∴m≠０且
m≠ 2，
当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|y
p
|即为－m，
∴S＝2(2m)(m)
2
2
m2m
同理当0＜m＜2时，S＝－m
2
＋2m；当m＞2时，S＝m
2
－2m；
10 11
∴S＝
m
2
2
2m(m0
或
m
2)
2)
m2m (0m
又若C(－2，0)，
m
2
2
此时
l
为y
＝
x
，同理可得；S＝
2m(m
2m(2
2
或
m
m0)
0)
m
A A
7.（2018江苏连云港）如 图，直线
ykx4
与函数
y
m
x
(x0,m0)
的 图
像交于
A
、
B
两点，且与
x
、
y
轴分别交于
C
、
D
两点．
（1）若
COD
的面积 是
系式；
AOB
的面积的
2
倍，求
k
与
m
之间的函数关
（2）在（1）的条件下，是否存在
k
和
m
， 使得以
AB
为直径的圆经过
点
P(2,0)
．若存在，求出
k
和
m
的值；若不存在，请说明理由．
[解]（1）设
A
(
x
1
,
y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
(其中
x
1
由
S
∴
1
2
COD
x
2
,y
1
S
BOD
y
2
)，
CA
2S
AOB
，得
S
2
(
2
COD
2(S
AOD
)
2(y
1
P< br>B
y
2
)
，
D
·
OC
·
O D
4
，∴
(
y
1
m
x
1
2
·
OD
·
y
1
8
，即
(y
1
k x
1
2
y
2
)
·
OD
·
y
2
)，
OC
O
2
又
OC
由
y
y
2
)
4y
1
y
2
2
8
，
km0
可得
x
m
，代入
y
y
4
可得
y4y
①
∴
y
1
y
2
4
，
y< br>1
y
2
km
，
∴
164km8
，即
k
2
A
m
．
C
又方程①的判别式
164km80< br>，
B
∴所求的函数关系式为
k
2
m
(m0)
．
OM
P
ND
（2）假设存在
k
,
m
，使 得以
AB
为直径的圆经过点
P(2,0)
．
则
APBP，过
A
、
B
分别作
x
轴的垂线，垂足分别为
M
、
N
．
∵
MAP
与
BPN
都与
A PM
互余，∴
MAP
BPN
．
∴Rt
MAP
∽Rt
NPB
，∴
AMMP
PNNB
．
∴
y
1< br>2x
1
2)
mm
xy
，∴
(
x
1< br>2)(
x
2
y
1
y
2
0
，∴
(
2
2
2
y
2)(
1
y
2
0< br>，
1
y
2)y
2
即
m
2
2
m
(
y
1
y
2
)4
y
1
y
2
(
y
1
y
2
)
2
0
②
由（1）知
yy
4
，
y
2
121
y
2< br>2
，代入②得
m8m120
，
6
∴
m2
或< br>6
，又
k
2
，∴
m2
m
m
k1或
k
1
，
3
m6
∴存在
k
,
m
，使得以
AB
为直径的圆经过点
P(2,0)
，且
m2< br>k1
或
k
1
．
3
8.（2018江苏镇江）已知抛物 线
ymx
2
(m5)x5(m0)
与
x
轴交于
两点
A(x
1
,0)
、
B(x
2
,0)(x
1
x
2
)
，与y轴交于点C，且AB=6.
（1）求抛物线和直线BC的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线
BC
.
（3）若P过
A
、
B
、
C
三点，求P的半径. < br>（4）抛物线上是否存在点
M
，过点
M
作MNx轴于点
N，使MBN被
直线BC分成面积比为13的两部分？若存在，请求出点M的坐标；
若不存在 ，请说明理由.
[解]（1）由题意得：
x
1
x
m5
2< br>m
,x
5
1
x
2
m
,x
2
x
1
6.
12
(x
1
x
2
)
2
4x
1
x
m5
2
20
2
36,
m m
36,
解得
m
5
1
1,m
2
7
.
y
经检验
m
=1，∴抛物线的解析式为：
yx
2
4x5.
或：由
mx
2
(m5)x50
得，
x1
或
x
5
O
x
m
m>0,
1
5
m
6,m1.
抛物线的解析式为
yx
2
4x5.
由
x
2
4x50
得
x
1
5,x
2
1.
∴
A
（－5，0），
B
（1，0），
C
（0，－5）.
设直线BC的解析式为
ykxb,
则
b5,b5,
kb0.k5.< br>∴直线BC的解析式为
y5x5.
(2)图象略.
（3）法一：在
R tDAOC
中，
OAOC5,OAC45.
BPC90.
又
BCO B
2
OC
2
26,
∴P的半径
PB26
2
2
13.
法二：
13 14
由题意，圆心
P
在
A B
的中垂线上，即在抛物线
yx
2
4x5
的对称轴直
线x2
上，设
P
（－2，－
h
）（
h
＞0），< br>连结PB、PC，则
PB
2
(12)
2
h
2
,PC
2
(5h)
2
2
2
，
由
PB
2
PC
2
，即
(12)
2
h
2
(5h)
2
2
2
，解得h=2.
P(2,2),P
的半径
PB(12)
2
2
2
13
.
法三：
延长
CP
交P于点
F
.
CF
为P 的直径，
CAFCOB90.
又
ABCAFC,DACF~DOCB.
CFA C
BCOC
,CF
ACBC
OC
.
又
AC5
2
5
2
52,CO5,BC5
2
1
2
26,CF
5226
5
213.
P的半径为
13.
（4）设M N交直线BC于点E，点M的坐标为
(t,t
2
4t5),
则点
为< br>(t,5t5).
若
S
DMEB
:S
DENB
1:
3,
则
ME:EN1:3.
EN:MN3:4,t
2
4t5
4
3
(5t5).
解得
t
5
5
1< br>1
（不合题意舍去），
t
2
3
,M
3
,40
9
.
若
S
DMEB
:S
DENB
3
:
1,
则ME:EN3:1.
EN:MN1:4,t
2
4 t54(5t5).
解得
t
3
1
（不合题意舍去），
t4
15,
M15,280.
的坐标
E
存在点M，点M的坐标为< br>5
3
,
40
9
或（15，280）.
9. 如图 ，⊙
M
与
x
轴交于
A
、
B
两点，其坐标分 别为
A(3，0)
、
B(1，0)
，
直径
CD
⊥< br>x
轴于
N
，直线
CE
切⊙
M
于点
C
，直线
FG
切⊙
M
于点
F
，交
CE
于
G
，已知点
G
的横坐标为3.
(1)若抛物线
yx< br>2
2xm
经过
A
、
B
、
D
三点，求
m
的值及点
D
的
坐标.
(2)求直线
DF
的解析式.
(3)是否存在过点
G
的直 线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横
坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式； 若不存
在，请说明理由.
[解] (1) ∵抛物线过
A
、
B
两点，
y
D
∴
(3)1
m
1
，
m
=3.
F
∴抛物线为
yx
2
2
x
3
.
M
又抛物线过点
D
，由圆的对
N
O
称性知点
D
为抛物线的顶点.
A
C G
E
x
∴D点坐标为
(1，4)
.
(2) 由题意知：
AB
=4.
（第9题图）
∵
CD
⊥
x
轴，∴
NA
=
NB
=2. ∴
ON
=1.
由相交弦定理得：
NA
·
NB
=
ND
·
NC，
∴
NC
×4=2×2. ∴
NC
=1.
∴C点坐标为
(1，1)
.
设直线
DF
交
CE
于
P
，连结
CF
，则∠
CFP
=90°.
∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.
15 16
∵GC、GF是切线，
∴
GC
=
GF
. ∴∠3=∠4.
∴∠1=∠2.
∴
GF
=
GP
.
∴
GC
=
GP
.
可得
CP
=8. ∴P点坐标为
(7，1)
设直线
DF
的解析式为
y
k< br>kxb
A
C
M
N
4
y
D
F
3 2
O
1
x
P
E
G
5
8
27
8
5
8
x
27
8
则
k
7k
b
b
4
1
解得
b
∴直 线
DF
的解析式为：
y
(3) 假设存在过点
G
的直线为< br>yk
1
xb
1
，
则
3
k
1
b
1
y
y
2
1
，∴
b
1
k
1
x
x
k
1
2
3k
1
1
31
.
2
由方程组
由题意得
当
k
1
3k
1
2x
得
x
(2
k
1
)
x< br>43
k
1
0
4
，∴
k
1
400，
6
.
6
时，
∴方程无实数根，方程组无实数解
∴ 满足条件的直线不存在
10.（2018山西）已知二次函数
.
y
1
2
x
2
.
bxc
的图象经过点A（ －3，
6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函
数的图象；
17
（2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是 否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的
直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标 ；若不存在，请
说明理由.
[解]（1）解：∵二次函数
y
1
x< br>2
bxc
的图象过点A（－3，6），B
2
（－1，0）
9< br>2
3bc6
b1
y
得
1
解得
c
3
2
bc0
2
∴这个二次函数的解析式为：
y
1
x< br>2
x
3
22
O
x
由解析式可求P（1，－2）， C（3，0）
画出二次函数的图像
（2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°
又已知：∠DPC＝∠BAC∴△DPC∽△BAC
∴
DCPC
BCAC
易 求
AC62,PC22,BC4
∴
DC
4
3
∴
OD 3
45
∴
D
5
333
,0
解法二：过A作AE⊥x 轴，垂足为E.
设抛物线的对称轴交x轴于F.
亦可证△AEB∽△PFD、
∴
PEEB
PFFD
. 易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2
∴
FD
2
∴
OD
2
33
1
5
∴
D
5
3
3
,0
（3）存在.