无花果有花吗中考数学经典难题解答集锦

2020年11月27日发(作者：龚六堂)
经典难题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
C

E



G

A
B
D O
F

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15
0
．
A D
求证：△PBC是正三角形．（初二）
假设三角形PBC不是正三角形，则必能在正方形内找
一点Q，使三角形QBC是正三角形
如图，连接QB、QC，
则有QB=AB=QC=CD，角ABQ=DCQ=30度，
角BAQ=BQA=CDQ=CQD=75度
角QAD=QDA=15度
而角PAD=PDA=15度，
B
从而角QAD与PAD，角QDA与PDA重合，
从而点P与Q重合，三角形PBC与QBC重合
所以三角形PAB是正三角形。
P
C


3、如图，已知四边形ABCD、A
1
B
1
C
1
D
1
都是正方形，A
2
、B
2、C
2
、D
2
分别是AA
1
、BB
1
、
CC
1
、DD
1
的中点．
求证：四边形A
2< br>B
2
C
2
D
2
是正方形．（初二）
连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，
连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，
由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ，EB2= AB= BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和
∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ，
可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ，
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,
从而可得∠A2B2 C2=900 ，
A
D
D
2
A
2
同理可得其他边垂直且相等，
A
1
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
D








1
B
1
C
1
B
2
B
C
2
C

4、已知：如图 ，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC
的延长线交MN于E 、F．
求证：∠DEN＝∠F．

求∠DEN，不是吧，这求不出来的吧，是不是求证：∠DEN＝∠MFC．

F

E
连接AC,取AC中点G,连接MG,NG
∵N,G是CD,AC的中点
∴GN‖AD,GN=0.5DA
N
∴∠GNM=∠DEN
D
同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC
∵AD=BC
A
M
∴MG=NG
∴∠GMN=∠GNM
∴∠DEN＝∠MFC


C
B
经典难题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
（1）求证：AH＝2OM； A
（2）若∠BAC＝60
0
，求证：AH＝AO．（初二）

O

·
H
E


B
C
M D



2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条 直线，交圆于B、C
及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
G
E
求证：AP＝AQ．（初二）


O
·
C


B
D



M
P

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：


A
Q
N





D


4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方 形
D
CBFG，点P是EF的中点．
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）

C

E
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN
E
于P、Q．
C
求证：AP＝AQ．（初二）
A
Q
M
·
N
P
·
O
B
G

P


A
B
Q
分别过P、C、E、F作AB的垂线，垂足依次是Q、H、M、N。
∵ACDE是正方形，∴ ∠EAM、∠CAH互余，又∠CAH、∠ACH互余，∴∠
EAM＝∠ACH，
∵ACDE 是正方形，∴AE＝CA，显然有∠AME＝∠CHA＝90°，∴△AEM≌△
CAH，∴EM＝AH 。

∵CBFG是正方形，∴∠FBN、∠CBH互余，又∠FBN、∠BFN互余，∴∠B FN
＝∠CBH，
∵CBFG是正方形，∴BF＝CB，显然有∠BNF＝∠CHB＝90° ，∴△BFN≌△
CBH，∴FN＝BH。

由EM＝AH、FN＝BH，得：EM＋FN＝AH＋BH＝AB。
由PQ⊥AB、EM⊥A B、FN⊥AB，得：FN∥PQ∥EM，又EP＝FP，∴PQ是
梯形EFNM的中位线，
∴由梯形中位线定理，有：PQ＝（EM＋FN）/2，结合证得的EM＋FN＝AB，
得：
PQ＝AB/2。


F
经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
求证：CE＝CF．（初二）
A

D
F
E
证明：连接BD交AC于点O，过点E作EG⊥AC.


B
C