陈德彰中考数学中的“新概念数学”

2020年11月27日发(作者：华楠)
中考数学中的“新概念数学”
近年来，各地中考出现了一类在新定义下求解的试题，即所谓“新 概念数学题”
文列举如下，供读者练习参考．
一、以平行四边形、菱形为载体的“
例1
n阶准菱形”
，本
）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形， 称为第一
又余下一个四边形，称为第二次操作；,
n阶准菱形．
次操作；在余下的四边 形纸片中再剪去一个菱形，
依次类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为
如图1(1)，
□
ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则
□
ABCD为1阶 准菱形．
(1)判断与推理：
①邻边长分别是2和3的平行四边形是_______阶准菱形；
1(2)，把
□
ABCD沿BE折叠（点E
ABFE是菱形．
②小明 为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图
在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE ．请证明四边形
(2)操作、探究与计算：
①已知
□
ABCD的邻边长分别为
减线的示意图，并在图形下方写出
1，a(a>1)，且是3阶准菱形，请画出
□ABCD及裁
a的值；
a，b(a>6)，满足a＝6b＋r，b＝5r，请写出
□
ABCD②已知
□
ABCD的邻边长分别是
是几阶准菱形．
解(1 )①2阶；
②由折叠知∠ABE＝∠EBF，AB＝BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，< br>∴AE∥BF，∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
1
∴AB＝A E，AE＝BF．
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴四边形ABFE是菱形．
(2)
①
评析此试题以平行四边形、菱形、一元一次方程等核心知识为载体，要求学生通过
阅 读理解、判断推理、操作计算、抽象概括等方式进行即时的学习和研究，倡导了以学生
自主学习为主体的 新课程理念，很好地引导师生转变教与学的方式，问题的设置简洁而内
涵丰实，试题呈现方式新颖独特， 很清晰地展示了开展一类课题学习的研究模式：定义—
—问题——推理判断——操作探究——抽象概括． 试题以能力立意，要求学生灵活运用分
类讨论等数学思想，以及从具体到抽象、从特殊到一般、正逆向并 存的思维方式．
二、以函数、正方形为载体的“伴侣正方形”
例2 已知点A、B分别是x轴、 y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当
四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为 正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴
侣正方形．例如：如图3，正方形ABCD是一次函数y＝x ＋1图象的其中一个伴侣正方形．
(1)若某函数是一次函数
(2)若某函数是反比例函数m)(m<2)在反比例函数图象上，求
(3)若某函数是二次函数
y＝x＋1，求它的图 象的所有伴侣正方形的边长；
y＝
k
x
(k>0)，它的图象的伴侣正方形为 ABCD，点D(2，
m的值及反比例函数解析式；
2
y＝ax
＋c(a≠0 )，它的图像的伴
(3，4)．写出伴侣
2
侣正方形为ABCD，C、D中的一个点 坐标为
正方形在抛物线上的另一个顶点坐标
的其中一条抛物线解析式
_______， 写出符合题意
_______，并判断你写出的抛物线的
_______．
ABCD的 边长为
a，易得3a＝
伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？
解(1)当点A在x轴正半 轴，点B在y轴负半轴上时，正方形
B在y在半轴上时，设正方形的边长为
2
；
当点A在x轴负半轴、点
2
，解得
2
，所以正方形边长为
a＝3
1
3
2
；
(2)如图3，作DE，CF分别垂直于x、y轴，
易知△ADF△BAO△CBF．
此时，m<2，DE＝OA＝BF＝m，
OB＝CF ＝AE＝2－m．
∴OF＝BF＋OB＝2．
∴C点坐标为（2－m，2），
∴2m＝ 2(2－m，)，解得m＝1．
反比例函数的解析式为y＝
2
x
(3)(－1 ，3)；（7，－3）；（－4，7）；(4，1)．
对应的抛物线分别为：
所求出的任何抛物 线的伴侣正方形个数为偶数．
评析此试题以一次函数、反比例函数、二次函数和正方形等核心知识为载体 ，以能
力立意，要求学生灵活运用分类讨论、数形结合等数学思想，以及从易到难、正逆向并用
的思维方式进行推理．学生对函数概念的理解有一个逐步发展的过程，此题对函数内容的
编排体现了螺旋 上升的、不断深化的过程，
三、以抛物线、等腰三角形、中心对称为载体的“抛物线三角形”
3
例3 如果一条抛物线y＝ax
＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线．
2
的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”
(1 )“抛物线三角形”一定是
2
_______三角形；
b的值；
(2)若抛物 线y
1
＝－x＋bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求
(3)如图 4，△OAB是抛物线
O为对称中心的矩形
说明理由．
解(1)等腰；
y2
＝－
2
x＋bx(b>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点
若不 存在，ABCD?若存在，求出过D、C、D三点的抛物线的表达式；
(2) ∵“抛物线三角形”是等 腰直角三角形，
∴该抛物线的顶点坐标
∴b＝2：
(3)存在．作△OCD与△OAB 关于原点O中心对称，则四边形
当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形．
AE⊥OB，< br>ABCD是平行四边形，
(
b
2
，
b
2
4< br>)满足
b
2
＝
b
2
4
(b>0)，
又∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，作
评析此题以抛物线、等腰三角形等核心知识为载体，引出 抛物线三角形这个数学新
概念，结合中心对称、矩形知识，考察学生的认知、应用等能力．
四、 以坐标系中两点之间距离为载体的“非常距离”
例4 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1
（x
1
，y
1
）与P
2
(x
2，y
2
)的“非常
距离”，给出如下定义：
若
x
1x
2
≥
y
1
y
2
，则点P
1
与P
2
的“非常距离”为
4
x
1
x
2
；
若
x
1
x
2
＜
y
1
y
2
，则点P
1
与P
2
的“非常距离”为
y
1
y
2
；
例如：点P
1
(1，2)与P
2
(3，5) ，因为
13
＜
25
，所以点P
1
与P
2
的 “非常距离”为
25
＝3．
(1)已知点A(－
1
2
，0) ，B为y轴上的一个动点．
2，写出一个满足条件的点B的坐标；①若点A与点B的“非常距离”为②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．
(2)已知C是直线y＝
3
4< br>x＋3上的一个动点．
C的坐①点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值 及相应的点
标；
②E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点
的最小值及 相应的点
解
E和点C的坐标．
C与点E的“非常距离”
(1)①（0，－2） 或(0，2)；②0.5
点C与点D的“非常距离”的最小值
评析
1．
此题 将坐标系中两点之间距离、一次函数、直线与圆的位置关系等核心知识相
结合，从求两个定点的非常距离 ，到求定点与动点非常距离的最小值，由浅入深、由易到
难，体现数学知识的迁移性．
5