人欲txt中考数学培优试题

2020年11月27日发(作者：杜光庭)
2020级初三数学中考培优试题
一．解答题：
1．如图，矩形OBCD的边O D、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，
OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针 旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合
（1）直接写出点A、B的坐标：A（ _________ ， _________ ）、B（ _________ ，
_________ ）；
（2）若抛物线y=﹣x
2
+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是
_________ ；
（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于 点N，问是否存在
点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由 ；
（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的
最 大值．






2．如图，在平面直角坐 标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长
的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动， M是线段AC的中点．将线段AM以点A
为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x 轴的垂线，垂足为E，
过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．
（1）当点B与点D重合时，求t的值；
（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？
（3）连接MB，当MB∥OA时，如 果抛物线y=ax
2
﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包
括边），求a的取值范围 ．


3．如果一条抛物线y=ax
2
+bx+c（a≠0）与 x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶
点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形 ”．
（1）“抛物线三角形”一定是 _________ 三角形；
（2）若抛物线y= ﹣x
2
+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的
值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x
2
+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否 存
在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达
式； 若不存在，说明理由．






4．如图 ，抛物线y=ax
2
+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第
三 象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为
线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交 于点F，连接BD交y
轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式；
，到 y轴的距离为1．点C关于直
（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M， 使得以点O、
F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说
明理由．





5．如图，抛物线y=ax2
+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C，三 个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作P M⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积
的最大值和此时P点的坐标；
（3）若P为抛物线在 第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当
点P的坐标为 _________ 时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为
_________ 时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．









6．如图，已知抛物线y=x
2
﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分
别交于点A、B（点A位于点B 的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为 _________ ，点C的坐标为 _________ （用含b的代数式
表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC
是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在， 求出点P的坐标；如果不存在，
请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的
任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果 存在，求出点Q的坐标；
如果不存在，请说明理由．





7．已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x+bx+c的 顶
点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求：①抛物线的解析式；②点N的坐标和线段
MN的长；
（2）抛物线y=﹣x
2
+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN 与△AOB相
似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2









8．如图， 二次函数y=x
2
+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，
0 ），经过B点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，
是 否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果
不存在，请说明理由 ．







9．如图，把两个 全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边
OB、OD在x轴上．已知点 A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、
F．抛物线y=ax
2
+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC 上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴
于点N，问是否存在这样的点P，使得四边 形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△ AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB
在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求
出这个最大值；若不存在，请说明理由．








10．如图 ，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax
2
+bx﹣3交于A、B两
点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不
与A、B点重合）， 过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC 把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m
的值，使这两个三角形的面积之比为9 ：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，
说明理由．


11．如 图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛
物线上．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛 物线上一动点，过点D
作直线y=2的垂线，垂足为E．
①用含y的代数式表示CD
2
，并猜想CD
2
与DE
2
之间的数量关系，请给出证明；
②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；
如果不存在 ，请说明理由．










12．如图1，已知抛物线y=ax
2
+bx（a≠0）经过 A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移 m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，
求m的值及点D的坐标；
（3）如 图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有
满足△POD∽△N OB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．