健康饮食习惯全国高考数学试题.docx

2020年11月27日发(作者：席明真)






















1 9 7 8

年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试

数学

（理科考生五，六两题选做一题 文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七

题）

一．（下列各题每题 4 分，五个题共 20 分）

1．分解因式： x
2
-4xy+4y
2
-4z
2
.

解：原式 =（x-2y)
2
-(2z)
2
=(x-2y-2z)(x-2y+2z)

2. 已知正方形的边长为
a
，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方
形边长的直圆柱体的体积


解：设底面半径为 r ，则底面周长 2πr=
a



则
r












a
2

, 体积 r a

2
2
a

2


a

a
2

.

4



3．求函数
y

解：

lg(2 x)
的定义域

∵lg(2+x) ≥0, ∴ 2+x≥1. 故 x≥-1 为其定义域

4．不查表求 cos80
0
cos35
0
+cos10
0
cos55
0
的值

解：原式 =sin10
0
cos35
0
+cos10
0
sin35
0
=sin(10
0
+35
0
)=sin45
0
=

2

2


5. 化简：
1

1

2
( 4ab

23
1
)

3

4
解 : 原式

二 . （本题满分 14 分）
1

4

(0.1) (a b )
42

1

.
b
2

.

已知方程





25
kx
2
+y
2
=4，其中 k 为实数 对于不同范围的 k 值，分别指出方程所

代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图

解： 1）k>0 时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①

时, 长轴在 y 轴上，半长轴 =2，半短轴 =

k

k>1

2


②k=1 时, 为半径 r=2 的圆





③k<1 时, 长轴在 x 轴上，半长轴 =

2

，半短轴 =2


k





Y

Y

Y


k=2 A

k=1 (0,2)

k=1/4


O


A X

O B X

OX



y

2



如图
x
2

y

2


1


4 4
3）k<0 时，方程为

k

这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在

y 轴上 如图：

Y

Y

y=2

k=-4



A


O


O

X

B

X

y=-2

径，C是半圆上一点，直线 MN切半圆于 C点，AM⊥MN于 M点，
点，

CD⊥AB于 D点，


求证： 1)CD=CM=CN.

2)CD
2
=AM·BN

1) 证：连 CA，CB，则∠ ACB=90∠ACM=
0

M

ACD=∠ABC
C


N

∴∠ ACM=∠ACD∴△ AMC≌△ADC

A

B

D

∴ CM=CD同理 CN=CD∴CD=CM=CN
如图：

2)k=0 时，方

程为 y
2
=4图
形

是两条平行于

x 轴的直线

三．（本题满分

14 分）


（如图） AB

是半圆的直

BN⊥MN于 N


∠ABC ∠
































2）∵ CD⊥AB，∠ ACD=90


0



∴ CD
2
=AD·DB
由 1）知 AM=AD，BN=BD
∴CD=AM·BN

2


四．（本题满分 12 分）



五．（本题满分 20 分）



已知△ ABC的三内角的大小成等差数列， tgAtgC=
2





3
求角

A，B，C的大

小又已知顶点 C的对边 c 上的高等于
4 3
求三角形各边
a
,b,c

要时可验证
(1



的长（提示：必

3)
2
4 2 3
）

解 : A B C 180 又 2B A C. B 60 , A C 120

tgAtgC

而 tgA

2

3


(1)

C)


tgC

(1-tgAtgC)tg(A

(3

由(1) (2)可知 tgA,tgC 是 x
2

x
1

1,x
2

A

2

(-1- 3)(

3)

3

3. (2)

0的两根 .解这方程
3) x

2

3

得 :

1,tgC

2


3

设 A


C ,则得 tgA


45



3.

3



45 , C

120

75

a






又知 c上的高等于 4 3,




4

3

sin 60

8;

b


4


4



6;


sin 45


c

AD

DB

b cos 45


a cos 60

4

3

4.

六．（本题满分 20 分）




由3sin
2

由3sin 2

2sin
2

2sin 2

1,得 : 3sin
2

0, 得 : sin 2

cos 2 .

3
2

sin 2




3sin cos

1.

..


sin
2
2


sin





cos
2

9sin
2

cos
2

1


(

为锐角 )


3


2

)

sin

cos 2

3sin

(sin
2

.

2

9sin
4



9sin
2



七．（本题满分


sin(



cos

sin 2

cos
2

) 3sin

sin


(3sin
2

1


) cos (3sin cos )




20 分，文科考生不要求作此题）





2 2
已知函数 y=x +(2m+1)x+m-1(m

为实数）




1）m是什么数值时， y 的极值是 0？

2）求证：不论 m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线

L
1
上 画出 m=-1、0、1 时抛物线的草图，来检验这个结论

3）平行于 L
1
的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行

于 L
1
而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等









解：用配方法得：



2

y


x

2m

2


14m

4


y的极小值
5

为


4m 5
.

4






所以当极值为

0时 ,4m


5

0, m


5

4




2.函数图象抛物线的顶点坐标为 (





即


x -
2m 1

2

m


1
2m

1
,

4m

2


4


5
),


, y

二式相减得 : x y



3
4

直线 ,方程中不含 m,因此 ,不论 m是什么值 ,抛物线的顶点都在这条

当 m 1,0,1时 , x, y之间函数关系为
y

1

( x

4


2

.
此即各抛物线顶点坐标所满足的方程
2

4m 5

4


m

5
,

4


.它的图象是一条

直线上 .

1
2
) , y





5

( x

4


2

1
)
2
, y

9

(x

4


3
)
2
2


图略 .

3. 设 L：x-y=
a
为任一条平行于 L
1
的直线

2 2
与抛物线 y=x +(2m+1)x+m-1

方程联立求解，消去 y，得

2 2

2
x +2mx+m-1+

a
=0∴（

x+m) =1-
a


因而当 1-
a
≥0 即
a
≤1 时，直线 L 与抛物线相交，而
a
＞1 时，直线 L 与抛物
线不相交



当 a

1时, x

m

1 a ,

m 1

m

a .即直线 L与抛物线两交点横坐标

为

1 a.



因直线 L的斜率为 1, 它的倾斜角为 45

直线 L被抛物线截出的线段等 于[( m 1 a ) ( m


1 a)] 2 2 2(1 a)

而这与 m无关