溴系阻燃剂公务员考试 数学类

2020年11月27日发(作者：万梓良)数学基础知识－数学推理比较弱的一定要看

基础知识



如 果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个数与另一个数的关系，不能 单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。





”倍”与”倍数”是不同的两个概念，”倍”是指两个数相除的商， 它可以是整数、小数或者分数。”倍数”只是在数的整除的范围内，相对于”约数”而言的一个数字的概念，表示 的是能被某一个自然数整除的数，它必须是一个自然数。





几个自然数，公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12 、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4， 4是12与16的最大公约数，一般记为（12、16） =4。12、15、18的最大公约数是3，记为（12、15、18）=3。


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几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小 的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：4的倍数有4、8、12、 16，……，6的倍数有6、12、1 8、24，……，4和6的公倍数有12、24，……，其中最小的是12，一般记为[4、6]=12。12、 15、18 的最小公倍数是180。记为[12、15、18]=180。





1、 分解质因数法



把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是

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这几个数的最大公约数。例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×3 ，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，



所以，（24、60）=12。




把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的 积就是这几个数的最小公倍数。例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6=2×3，15=3×5， 6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包 含 6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以 [6，15]=30。





2、 短除法


短除法求最大约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然



后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。例如，求2 4、48、60的最大公约数。





（24、48、60）=2×3×2=12
< br>

短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除， 并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得 的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小

公倍数。





（12、15、18）=3×2×2×5×3=180



无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难。这时就 需要用新的方法。





3、 辗转相除法


先看一个例子：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可 能



大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下 一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是___________毫 米。





解：剪的过程如图所示





第一， 二次剪下848×847平方毫米的正方形。



第二， 三次剪下边长308毫米的正方形



第五次剪下边长231毫米的正方形。



第六、七、八次剪下边长77毫米的正方形。



以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法-- 辗转相除法。以上过程可用算式表示如下：



2002=847×2+308



847=308×2+231



308=231×2+77



231=77×3



由以上算式可以看 出，这种方法就是用大数除以小数再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直到余数为零。最后一个除数就 是两数的最大公约数。这是因为：两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数。拿此题来讲， 2002和847的公约数，也就是847和308的公约数。由于231是77的倍数，所以它们的最大公约数 就是77，即2002与847的最大公约数。



辗转相除法的竖式格式如下：





在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论：



（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。



例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。



（2）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最 大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。



例如18与3，18÷3 =6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。



（3）两上数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。



例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互 质数。



（4）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。



例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48 =12×16，即（12，16）×[12，16]=12×16。



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高中代数：排列、组合



看了点概率论，竟然忘记 排列、组合 ，又从箱子底翻出高中代数下册，重温 排列、组合 的概念。

...

附：阶乘、排列、组合 公式计算程序



u3000加法原 理：做一件事，完成它可以有N类加法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方 法，...，在第N类办法中有MN 种

不同的方法。那么完成这件事共有 N=M1+M2+...+MN 种不同的方法。

u3000乘法原理：做一件事，完成它需 要分成N个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，...，做第N步有MN种不同 的方法，那么完成这件事共有 N=M1×M2×... ×MN 种不同的方法。

u300 0排列：从N个不同元素中，任取M（M<=N）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出 M个元素的一个排列。

u3000排列数：从N个不同元素中取出M（M<=N）个元素的所 有排列的个数，叫做从N个不同元素中取出M个元素的排列数。记作：Pmn

u3000排列数公式： Pmn =n(n-1)(n-2)...(n-m+1)

u3000全排列：N个不同元素全部取出的一个排列，叫做N个不同元素的一个全排列。

自然数1到N的连乘积，叫做N的阶乘。记作：n! （0!=1）

u3000全排列公式： Pnn =n!

u3000排列数公式还可写成： Pmn = n!/(n-m)!

u3000

u3000组合：从N个不同元素中，任取M（M<=N）个 元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合。

u3000排列 与元素的顺序有关，u3000组合 与元素的顺序无关。

u3000组合数：从N个不同元 素中取出M（M<=N）个元素的所有组合的个数，叫做从N个不同元素中取出M个元素的组合数。记作：Cmn

u3000组合数公式： Cmn = Pmn / Pmm = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/m! = n!/m!/(n-m)!

u3000

u3000组合性质1： Cmn = Cn-mn ( C0n =1)

u3000组合性质2： Cmn+1 = Cmn + Cm-1n







二、两个基本计数原理及应用



(1)加法原理和分类计数法



1．加法原理



2．加法原理的集合形式



3．分类的要求



每一类中的每一种方 法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法 ，都属于某一类(即分类不漏)



(2)乘法原理和分步计数法



1．乘法原理



2．合理分步的要求



任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成 此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同



[例题分析]排列组合思维方法选讲



1．首先明确任务的意义



例1. 从 1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________ 个。



分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排 列组合问题。



设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，

又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，… …，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2 =180。



例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间 的间距相同，如图。若规定

只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同 的走法?



分析：对实际背景的分析可以逐层深入



（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。



（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。



（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。



从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，

∴ 本题答案为：=56。



2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合



例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种 种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。 < br>


分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个 包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。



第一类：A在第一垄，B有3种选择；



第二类：A在第二垄，B有2种选择；



第三类：A在第三垄，B有一种选择，



同理A、B位置互换 ，共12种。



例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。

(A)240 (B)180 (C)120 (D)60



分析：显然本题应分步解决。



（一）从6双中选出一双同色的手套，有种方法；



（二）从剩下的十只手套中任选一只，有种方法。



（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法；



（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共2 40种。



例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每 一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。



分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有 关系，共有三纵列，从而有=90种。



例6．在11名工人中，有5人只 能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有 多少种不同的选法?



分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何 做到这一点？分类的标准必须前后统一。



以两个全能的工人为分类的对象 ，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。



第一类：这两个人都去当钳工，有C(5.2)*C(4.4)=10种；



第二类：这两人有一个去当钳工，有C(2.1)*C(5.3)*C(5. 4)=100种；



第三类：这两人都不去当钳工，有C(5.4)*C(6.4)=75种。



因而共有185种。



例7．现有印着 0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个
< br>不同的三位数?



分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9 的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。



抽出的三数含0，含9，有4*4*2=32种方法；



抽出的三数含0不含9，有 6*4＝24种方法；



抽出的三数含9不含0，有 6*6*2=72种方法；



抽出的三数不含9也不含0，有4×6＝24种方法。



又因为数字9可以当6用，因此共有152种方法。

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例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方 法是________种。



分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九 个元素排列，因而共有P(9.8)种停车方法。



3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑



例9．六人站成一排，求

(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数

(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数



分析：

（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

第一类：乙在排头，有P(5.5)种站法。

第二类：乙不在排头，当然他 也不能在排尾，有C(4.1)C(4.1)P(4.4)种站法，

法2:P(6.6)-P(5.5)*2+P(4.4)

（2）

第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。

第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。

第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。

第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。

共312种。

法2:甲乙相邻的排法数

C(4,1)*C(3,1)*2*P(3,3)+P(4,4)+P(4,4)=192

头尾取非甲乙，乙头，甲尾。

504-192=312



例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若 所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?

分析：本题意指 第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次测试的有C(4.1)种可能；

第二步：前四次有一件正品有C(6.1)种可能。

第三步：前四次有P(4.4)种可能。

C(4.1)*C(6.1)*P(4.4)



4．捆绑与插空



例11. 8人排成一队

(1)甲乙必须相邻

(2)甲乙不相邻

(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻

(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻

(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻



分析：

(1)甲乙必须相邻 ，就是把甲乙 捆绑(甲乙可交換) 和7人排列 P(7.7)*2

(2)甲乙不相邻 P(8.8)-P(7.7)*2

(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻

先求甲乙必须相邻且与丙相邻 P(6.6)*2*2

甲乙必须相邻且与丙不相邻 P(7.7)*2-P(6.6)*2*2

(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 P(6.6)*2*2

(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻

P(8.8)-P(7.7)*2*2+P(6.6)*2*2



例12. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的

情况?

分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中 的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即P(5.2).



例13. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电 又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求 满足条件的关灯方法共有多少种?

分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯 之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。

∴ 共C(6.3)=20种方法。



例19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?

分析：

三个相同的红球,有4個空，两个不同的白球， 可以一個一個插，也可以2個一起插、

P(4.2)+P(4.1)*2=20



4．间接计数法.(1)排除法



例14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?

分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。

所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，C(9.3)-8



例15．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?

分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，

∴ 共C(8.4)-12=70-12=58个。



例16. l，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?

分析：由于底数不能为1。

（1）当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。

（2）当不选1时，从2-- 9中任取两个分别作为底数，真数，共P(8.2)其中log2 4=log3 9，log4 2=log9 3, log2 3=log4 9, log3 2=log9 4.

因而一共有P(8.2)+1-4=53个。



例17. 六人排成一排，

要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法?

如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?

分析：

1.实 际上,甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称,具有相同的排法数。因而有P(6.6)/2=360种。

2.先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复 了P(3.3)种， ∴ 共P(6.6)/P(3.3)=120种。



例 18．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?

分析： 首先不考虑男生的站位要求，共P(9.9)种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法 重复了P(5.5)次。因而有P(9.9)/P(5.5)=9×8×7×6=3024种。

若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。



5．挡板的使用

例20．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?

分析：把10

个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位 置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共C(9.7)=36种。


6．注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补 充一个阶段(排序)可转化为排列问题。



例21. 从0，l，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数?

分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。

（一）两个选出的偶数含0,C(4.1)*C(5.3)*4*P(4.4)

（二）两个选出的偶数字不含0，C(4,2) C(5.3)P(5.5)



例22. 电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同 一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法?

分析：

（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有C(7.3)C(4.2)种。

（二）选择10层中的四层下楼有C(7.3)C(4.2)种。

C(7.3)C(4.2)*C(7.3)C(4.2)



例23. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，

(1)可组成多少个不同的四位数?

(2)可组成多少个不同的四位偶数?

(3)可组成多少个能被3整除的四位数?

(4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?



分析：

（1）有P(6,4)-P(5,3)个。

（2）分为两类：

0在末位，则有p(5,3)种

0不在末位，则有c(2,1)c(4,1)p(4,2)种。

∴ 共p(5,3)+c(2,1)c(4,1)p(4,2)种。

（3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选

0，1，2，3

0，1，3，5

0，2，3，4

0，3，4，5

1，2，4，5

它们排列出来的数一定 可以被3整除，再排列，有：4×c(3,1)p(3,3)+p(4,4)=96种。

（4）将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?

首位为1的有p(5,3)=60个。

前两位为20的有p(4,2)=12个。

前两位为21的有p(4,2)=12个。

因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。





7．分组问题



例24. 6本不同的书

(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?

(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？

(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？

(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?

(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?

分析

(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法? C(6.2)C(4.2)

(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？ C(6.2)C(4.2)/P(3.3)

(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？ C(6.3)C(3.2)

(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法? C(6.3)C(3.

2)

(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?

C(6.3)C(3.2)P(3.3)

(每堆两本),(一堆一本，一堆两本，一堆三本，)区别在哪里清楚不。



例25. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为_______。

分析：

（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。

第一类：平均分成3人一组，有c(6.3)种方法。

第二类：分成2人，4人各一组，有c(6.2)种方法。

（二）再考虑分别上两辆不同的车。

综合（一）（二）， c(6.3)*p(2.2)+c(6.2)*p(2.2)



例26. 5 名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有_______ _种.

分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。

其中涉及到平均分成四组，有=种分组方法。

（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有种，

由（一）（二）可知，共240种。