塑料树(完整)高三数学试卷

2020年11月27日发(作者：权正环)
江苏省南通中学高三数学检测试卷
06.4
本试卷分第Ⅰ卷(选择题共60分)和第Ⅱ 卷(非选择题共90分),考试时
间为120分钟,满分为150分.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号、考试科目用铅笔涂在答
题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中 发生的概率是p,那么n次独立重复试验中恰好发
生k次的概率P
n
(k)=
C
p
(1－p)
2
k
n
kn－k
球的表面积公式S =4πR,其中R表示球的半径
球的体积公式V=πR,其中R表示球的半径
3
43
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个
选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据 的平均
数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是
A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 C.81.2,84.4
D.78.8,75.6
2. 下表是某市7个县级行政管理区人口数与土地面积:
x
1
x
2
x< br>3
x
4
x
5
x
6
x
7
行政 区代号
人口（万）63.46 59.44 103.23 38.11 21.67 6.46 6.61
面积(万
0.33 0.20 0.45 0.15 0.07 0.02 0.02
2
km)
经统计比较可知,其中人口密度(人口/面积)最大的行政区是
A.
x
2
B.
x
3
C.
x
5
D.
x
7
3. .已知|p|=2
2
,|q|=3,p、q的夹角为
4
，如下 图所示，若
AB
=5
p
+2
q
,
AC
=< br>p
－3
q
，且
D
为
BC
的中点，则
AD
的长度为
C
D
AB
A.
15
2
15< br>B.
2
C.7 D.8
2
4．函数f(x)=b(1－
x< br>)+sinx+3(a、b为常数),若f(x)在(0,+∞)上有最
12
大值10, 则f(x)在
(－∞,0)上有
A.最大值10
最大值13
5.如果
A.
k
≤0
k
<
20
20
x
B.最小值－5 C.最小值－4 D.< br>5
≠
kx
对一切
x
≥15均成立,则有
B.
k
≤0或
k
>
20
20
C.
k
≤0或k
>
10
15
D.0≤
6. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如图(a),有以下四个函数解析
式:
①y= f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x－
其中与图(b)所对应的函数解析式为
1
2
);④y=f(－x+1).
A.①②B.②③C.③④D.①④
7.2 003年9月1日,某中学按年利率5%(利息按年以复利计算)从银行贷款
500万元,用于建造一所 可容纳1000人住宿的学生公寓,2004年9月1日投入使
用,同时向每位学生收取一年住宿费a元 用于还贷,照此方式,预计15年还清贷款,
15
则a的值约为(提供:1.05≈2.08)
A.412 B.482 C.500 D.512
8. 已知F、F分别是双曲线
12
x
a
2
2
－
y
b
2
2
=1的左、右焦点,P为双曲线左支上任
一点,若
|PF
2
|
2< br>|PF
1
|
的最小值为8a,则双曲线的离心率范围为
A.(1,3] B.(0,3] C.(1,2]
D.(1,+∞)
9.设函数f(x)=(x－1)(x －2)(x－3)(x－4),则f′(x)=0有
A.分别位于区间(1,2),(2,3),(3, 4)内三个根
B.四个实根分别为x
i
=i(i=1,2,3,4)
C.分 别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内四个根
D.分别位于区间(0,1), (1,2),(2,3)内三个根
10.如下图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按 逆时针方
向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象
大致为
普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷
数学
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）
11. 氨基 酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一.某肽链由7种不同
的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基 酸的位置，其他4种不变，则不同的改变
方法共有___________种.
x2y
x
0
12,
a,
2x
0
y
y10,
12 .设不等式组所围成的平面区域的面积为S,当6≤S≤22
时,a的取值范围是__________ _.
13.△A′B′C′是用“斜二测画法”画出的等腰直角三角形
设
△A′B′ C′的面积为S′,△ABC的面积为S,则
14.设x
1
、x
2
∈ R,定义运算
则动点P(x)=
x
m
2
S
S
2ABC的直观图,
=_______.
2
:x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)－(x
1
－x
2
),若x≥0,常数m>0,
的轨迹方程是_______.
y
x
2
15. 记min{a,b}为a、b两数的最小值,当正数x、y变 化时,t=min{x,
也在变化,则t的最大值为___________.
y
2
}
16.设x、y∈R,且满足
(x1)
2005< br>2005
2004(x1)
2004(y1)
1,
1,(y1)
则x+y=___________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说 明、证明过程或
演算步骤）
17.(本小题满分12分)
二人掷一颗骰子,两人各掷 一次,点数大者为胜,但这个骰子可能不太规则,
以致k点出现的概率是P
k
(k=1 ,2,3,4,5,6).在这种情况下,
(1)求二人平局的概率
P
.
111
(2)证明
P
≥;并证明如果
P
=,则
P
k
=(
k
=1,2,3,4,5,6).
666
18.(本小题满分14分)
在正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,侧棱是底面边长的2倍,P是侧棱CC1
上的一点.
D
1
A
1
B
1
C1
P
D
AB
C
(1)求证:不论P在侧棱CC
1
上何位置,总有BD⊥AP;
(2)若CC
1
=3C
1
P,求平 面AB
1
P与平面ABCD所成的二面角的正切值;
(3)当P点在侧棱CC
1
上何处时,AP在平面B
1
AC上的射影是∠B
1
AC的平分线 ?
19.(本小题满分12分)
如图,给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列 ,从第3行起,每
一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第
i
行第
j
列的数为
a
ij
(
i
≥
j
,
i< br>、
*
j
∈N).
1
4
11
,
24
3
4
,
3
8
,
3
16
……
(1)试写出a
ij
关于i、j的表达式,并求a
83
;
(2)设这个数阵共有
n
行,求数阵表中的所有数之和.
20.(本小题满分16分)
已知集合A={(x,y)|y≥|x－a|},B={(x, y)|y≤－a|x|+2a}(a≥0).
(1)证明A∩B≠;
(2)当0≤a≤4时,求由A∩B中点组成图形面积的最大值.
21.(本小题满分16分)
已知椭圆C
1
:
x
2
4
+y=1的左、右顶点分别是A、B,点P是双曲线C
2
:
2
x
2
4
－y=1
2
在第一象限部分上的一点,连结AP交椭圆C
1
于点C,连结PB并延长交椭圆C
1
于点
D.
(1)若直线P A与PB的斜率分别为k
1
、k
2
,求证:k
1
·k
2
是定值;
(2)若△ACD与△PCD的面积相等,求直线CD的倾斜角;
(3)直线CD的倾斜角是否会随着点P的不同而改变?并说明理由.
高三数学试卷详细解答
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个
选项中,只有一 项是符合题目要求的)
1．一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均
数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是
A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 C.81.2,84.4
D.78.8,75.6
解析:数据变化后,平均数改变而方差不变.
答案: A
2. 下表是某市7个县级行政管理区人口数与土地面积:
x
1
x
2
x< br>3
x
4
x
5
x
6
x
7
行政 区代号
人口（万）63.46 59.44 103.23 38.11 21.67 6.46 6.61
面积(万
2
0.33 0.20 0.45 0.15 0.07 0.02 0.02
km)
经统计比较可知,其中人口密度(人口/面积)最大的行政区是
A.x
2
B.x
3
C.x
5
D.
x
7
xi
解析:区的人口密度为
a
i
(
i
=1,2,…,7) ,
a
1
=192.30,
a
2
=297.20,
a
3
=229.40,
a
4
=254.07,
a
5< br>=
309.57,
a
6
=323.00,
a
7=330.50.
答案: D
3. .已知|p|=2
2
,|q|= 3,p、q的夹角为
4
，如下图所示，若
AB
=5
p
+2< br>q
,
AC
=
p
－3
q
，且
D
为
BC
的中点，则
AD
的长度为
C
D
AB
A.
15
2
1
2
2
B.
15
2
1
2
225
4
C.7
q
,
D.8
解析:
AD
=(
AB
+
AC
)=3
p< br>－
∴|
AD
|=9
p
+
q
－3
p< br>·
q
=
4
2
1
2
.
∴|
AD
|=
答案: A
15
2
.
4．函数f(x)=b(1－
大值10,则f(x)在
(－∞,0)上有
A.最大值1 0
最大值13
解析: 令F(x)=f(x)
则F(－x)=b
2
x
2
12
x
)+sinx+3(a、b为常数),若f(x)在(0,+∞ )上有最
B.最小值－5
－3=b(1－
2
12
2
xx
x
C.最小值－4
2
x
D.
)+sinx=b1
x
12
+sinx,
1
x
12
+sin( －x)=b
12
1
－sinx=－F(x),
∴F(x)为奇函数,F(x)在(0,+∞)上有最大值7.
∴F(x)在(－∞,0)上有最小值－7.
∴f(x)在(－∞,0)上有最小值－4.
答案: C
5.如果
A.k≤0
k
<
20
20
x5
≠
kx
对一切
x
≥15均成立,则有
B.k≤ 0或k>
20
20
C.k≤0或k>
10
15
D.0≤解析: 令
y
=
x5
,
y
=
kx
,显 然
k
≤0时成立,
由
y
y
2
x5
kx< br>k
x
－
x
+5=0(
k
>0),
22
由Δ=0,得
k
=
20
;
20
y< br>2
x5,
由
y
xx
得=10,而≥15,
2020
x
10
15
∴当
x
=15时,
k
=
∴
k
≤0或
k
>
答案: C
10
15
.
.
6. 已知函数f(x)=sinπx的图象的一部分如图(a),有以下四个函数解析
式:
①y= f(2－x);②y=f(x+1);③y=f(x－
其中与图(b)所对应的函数解析式为
1
2
);④y=f(－x+1).
A.①②B.②③C.③④D.①④
解析: ∵图形(a)、(b)关于y轴对称,
∴图(b)的函数解析式为y=－f(x).
∵f(x)=sinπx,
∴①y=f(2－x)=sinπ(2－x)=sin(2π－π x)=－sinπx=－f(x)成立.
②y=f(x+1)=sinπ(x+1)=sin(π+πx)=－sinπx=－f(x). ③y=f(x－
1
2
)=sinπ(x－
1
2
)=si n(πx－)=－cosπx≠－f(x).
④y=f(－x+1)=sinπ(－x+1)=sin(π－πx)=sinπx=f(x).
故函数解析式①②满足图(b).
答案: A
7.2003年9月1日,某中学 按年利率5%(利息按年以复利计算)从银行贷款
500万元,用于建造一所可容纳1000人住宿的学 生公寓,2004年9月1日投入使
用,同时向每位学生收取一年住宿费a元用于还贷,照此方式,预计 15年还清贷款,
15
则a的值约为(提供:1.05≈2.08)
A.412 B.482 C.500 D.512
15214
解析: 500(1+5%)=0.1a(1+1.05+1.05+…+1.05),
a=
2501 .05
1.05
15
15
1
≈482(元).
2
2
2
2
答案: B
8. 已知F
1
、 F
2
分别是双曲线
x
a
－
y
b
=1的左、 右焦点,P为双曲线左支上任
一点,若
|PF
2
|
2
|PF
1
|
的最小值为8a,则双曲线的离心率范围为
C.(1,2] A.(1,3] B.(0,3]
D.(1,+∞)
解析: ∵|PF
2
|－|PF
1
|=2a,
222
|PF
2
|(|PF
1
|2a)4a4a
∴==|PF
1
|++ 4a≥2
|PF
1
|
+4a=8a,
|PF
1
| |PF
1
||PF
1
||PF
1
|
2
其中 |PF
1
|=2a时等号成立.
又设P(x,y)(x≤－a),则由第二定义,得
a
)e=－ex－a≥c－a,
c
c
即2a≥c－a,∴e=≤3,又∵e>1,∴1a
2
|PF
1
|=(－x－
答案: A
9.设函 数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4),则f′(x)=0有
A.分别位于区间(1 ,2),(2,3),(3,4)内三个根
B.四个实根分别为x
i
=i(i=1,2 ,3,4)
C.分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内四个根
D .分别位于区间(0,1),(1,2),(2,3)内三个根
解析: f(x)=0有四根x
i
=i(i=1,2,3,4).故在区间(1,2),(2,3),(3,4)必存在
极值点 ,使f′(x)=0,故选A.
答案: A
10.如下图,设点A是单位圆上的一定点,动 点P从A出发在圆上按逆时针方
向旋转一周,点P所旋转过的弧
大致为
的长为l,弦A P的长为d,则函数d=f(l)的图象
解析: 连结OP,设∠AOP为θ角,
则
d
2
=OP·sin
2
=sin
2
,