开心时刻1985年全国统一高考数学试卷(理科)

2020年11月27日发(作者：罗让)


1985年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（ ）
A ． B． C． D．


2．（3分）的（ ）
A ．必要条件 B．充 分条件
C ． 分必要条件 充D．既 不充分又不
必要的条件

3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间 上的增函数又是以π为周期的偶函
数？（ ）
A ．y=x
2
（x∈R） B． y =|sinx|（x∈R）C． y=cos2x D．y =e
sin2x
（x∈R）
（x∈R）

4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（ ）
A ． B． C． D．



5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比 20000大，并且百位数不是数字3的没有重复
数字的五位数，共有（ ）
A ．96个 B．7 8个 C．72个 D．6 4个

二、解答题（共13小题，满分90分）
6．（4分）求方程解集．

7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．

8．（4分）求曲线y
2
=﹣16x+64的焦点．

9．（4 分）设（3x﹣1）
6
=a
6
x
6
+a
5
x
5
+a
4
x
4
+a
3
x
3+a
2
x
2
+a
1
x+a
0
，求a< br>6
+a
5
+a
4
+a
3
+a
2+a
1
+a
0
的值．

10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x
2
）的定义域．

11．（7分）解方程log
4
（3﹣x）+log
0.25< br>（3+x）=log
4
（1﹣x）+log
0.25
（2x+1）．

12．（7分）解不等式





13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的< br>一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设
PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．


14．（15分）设O为复平面的原点，Z
1
和Z
2
为复平面内的两动点，并且满足：
（1）Z
1
和Z
2
所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ； （2）△OZ
1
Z
2
的面积为定值S求△OZ
1
Z2
的重心Z所对应的复数的模的最小值．


15．（15分）已知 两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线
L上移动，如 图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）


16．（14分）设
（1）证明不等式
，
对所有的正整数n都成立；
（2）设

17．（12分）设a，b是两个实数，

，用定义证明


A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，
B={（x，y）|x=m，y=3m
2
+15，m是整数}，
C={（x，y）|x
2
+y
2
≤144}，
是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同时成立．

18．已知曲线y=x
3
﹣6x
2
+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该 点的切线在
y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．





1985年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（ ）
A ．

B．

C．

D．


考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 计算题．
分析： 画出图形，直接求解即可．
解答： 解：如图四面体A′﹣ABD的体积是
V=
故选D．
点评： 本题考查棱锥的体积，是基础题．

2．（3分）的（ ）
A ．必 要条件 B．充 分条件
C ． 充分必要条件 D．既 不充分又不
必要的条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 计算题．
分析： 先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．
解答： 解：
由tanx=1
得，
当k=1时，x=，
固由前者可以推出后者，
所以tanx=1是的必要条件．
故选A．
点评： 此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．





3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周 期的偶函
数？（ ）
A ．y=x
2
（x∈R） B． y =|sinx|（x∈R）C． y=cos2x D．y =e
sin2x
（x∈R）
（x∈R）

考点： 三角函数的周期性及其求法．
专题： 压轴题．
分析： 根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．
解答： 解：y=x
2
（x∈R）不是周期函数，故排除A．
∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．
故选B．
点评： 本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．

4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（ ）
A ． B． C． D．



考点：
专题：
分析：
解答：
简单曲线的极坐标方程．
计算题；压轴题．
先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．
解：∵极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）
∴ρ
2
=aρsinθ，
∴x
2
+y
2
=ay，它表示圆心在（0，）的圆．
点评：
故选C．
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标 刻画点的位置，体会在极坐
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互 化．利用直角坐
标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ
2
=x
2
+y
2
，进行代换即得．

5．（3分）用1， 2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复
数字的五位数 ，共有（ ）
A ．96个 B．7 8个 C．72个 D．6 4个

考点： 排列、组合的实际应用．
专题： 计算题；压轴题；分类讨论．
分析： 根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数



解答：
点评：
字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论 ，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情
况数目，由乘法原理，计算可得答案．
解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，
分2种情况讨论，
当首位是3时，百位数不是数字3，有A
4
4
=24种情况，
当首 位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A
4
4
﹣A
3
3
）=54种情况，
综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，
故选B．
本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要
求．

二、解答题（共13小题，满分90分）
6．（4分）求方程

考点：
专题：
分析：
解答：
解集．
任意角的三角函数的定义．
计算题．
直接化简方程，利用正弦函数的定义，求出方程的解．
解：方程
所以
方程解集为：
化为：


点评： 本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．

7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．

考点： 反三角函数的运用．
专题： 计算题．
分析： 直接应用反函数的运算法则，求解即可．
解答： 解：arccosa+arccos（﹣a）=arccosa+π﹣arccosa=π
点评： 本题考查反函数的运算，是基础题．

8．（4分）求曲线y
2
=﹣16x+64的焦点．

考点： 抛物线的简单性质．
专题： 计算题；转化思想．
分析： 先把曲线方程整理成标准方程 ，设x﹣4=t，则可求得y
2
=﹣16t的焦点坐标，则抛物线y
2
=﹣1 6
（x﹣4）的焦点坐标可得．
解答： 解：整理曲线方程可得y
2
=﹣16（x﹣4）
令x﹣4=t，则y
2
=﹣16t，焦点坐标为（﹣4，0）
∴y
2
=﹣16（x﹣4）的焦点为（0，0）
点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础的灵活运用．

9．（4分） 设（3x﹣1）
6
=a
6
x
6
+a
5
x< br>5
+a
4
x
4
+a
3
x
3
+a
2
x
2
+a
1
x+a
0
，求a
6
+a
5
+a
4
+a
3
+a
2
+a
1
+a
0
的值．

考点： 二项式系数的性质．