竖蛋数学亮点试卷答案

2020年11月27日发(作者：祁之铄)
数学亮点试卷答案


【篇一：高考数学试题新亮点——类比推理题】

s=txt>“多考一点想，少考一 点算”，以能力立意的数学高考试题不断
推出一些思路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，它们往往不是以 知
识为中心，而是以问题为中心，并不拘泥于具体的知识点，而是将
数学知识、方法和原理融于 一体，突出对数学思想方法的考查，体
现数学的思维价值。

类比推理是根据两个对 象具有某些相同的属性而推出当一个对象具
有一个另外的性质时，另一个对象也具有这一性质的一种推理 方式。
因此求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项。换言
之，不能把类比仅停留 在叙述方式或数学结构等外层表象之上，还
需要对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的 思想
方法、思维策略等层面寻求内在的关联。

一、 数列中的类比推理

例1 （2000年上海卷）在等差数列?an?中，若a10?0，则有等式
a1?a2?????an 则有等式 成立.

分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：< br>等差数列m,n,p,q?n*,且

类比上述性质，相应地：在等比数列?bn?中 ，若
b9?1，?a1?a2?????a19?n(n?19,n?n?)成立，

m?n?p?q,则am?an?ap?aq）；

等比数列 m,n,p,q?n*,且

m?n?p?q,则am?an?ap?aq）.

由此，猜测本题的答案为：
b1b2???bn?b1b2???b17?n(n?17,n ?n*).

事实上，对等差数列?an?，如果ak?0，则
an?1?a2k? 1?n?an?2?a2k?2?n????

?ak?ak?0. 所以有：
a 1?a2?????an?a1?a2?????an?(an?1?an?2?????

（n?2k?1,n?n*）.从而对等比数列?bn?，如果bk?1，则有等式：
a2k?2?n? a2k?1?n）

b1b2???bn?b1b2???b2k?1?n(n?2k?1,n?n*)成立.

评注 本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，
抽象概括能力，考查运用类比

的思想方法由等差数列?an?而得到等比数列?bn?的新的一般性的
结论。

例2 （2004年北京高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果
每一项与它的后一 项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和
数列，这个常数叫做该数列的公和.

已知数列?an?是等和数列，且a1?2，公和为5，那么a18的值为，
这个数列的前n项和sn的 计算公式为 .

分析 由等和数列的定义，易知a2n?1?2，a2n?3（n=1，2，…），
故a18?3. 当n为偶数时，sn?

551

n；当n为奇数时，sn?n?. 222

评注 本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等
差数列的有关知识及其数学

活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。

二、 函数中的类比推理

2?2

式的方法，可求得f(?4)?????f(0)?????f(5)?f(6)的值为.

分析 此题利用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，
观察每一个因式的特点，尝试

1

着计算f(x)?f(1?x)： ?f(x)?x，

2?21?2xx

122f(1?x)?1?x??， xx2?22?2?22?2

11??2x

22?f(x)?f(1?x)??， x

2?2

例3（2003年上海春招高考题）设函数f(x)?

1

x

，利用课本中推导等差数列前n项和公

发现f(x)?f(1?x)正好是一个定值， ?2s?

2

?12，?s?2. 2

评注 此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧 ，将
分析和解决问题的能力的考查放在了突出的位置.本题通过弱化或强
化条件与结论，揭示出 它与某类问题的联系与区别并变更出新的命
题.这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解 题思维
的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，
从而有效于发展学 生创新的思维。 例4 （2003年上海春招高考题）
已知函数f(x)?

x?x5

13

?

13

，g(x)?

x?x5

13

?

13

.

（1） 证明f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间.

（2） 分别计算f(4)?5f(2 )g(2)和f(9)?5f(3)g(3)的值，由此概括出涉
及函数f(x)和g(x)的对所有不 等于零的实数x都成立的一个等式，并
加以证明.

分析 （1）略； （2）分 别计算得f(4)?5f(2)g(2)和f(9)?5f(3)g(3)的
值都为零，由此概括出对所 有不等于零的实数x有：
f(x2)?5f(x)?g(x)?0.如果将式子

f (x2)?5f(x)?g(x)?0中的5改成字母?(??0)，可进一步推广
f(x2)??f( x)?g(x)?0.

评注 由数字型向字母型类比推广相当于从特例向一般推广，但其 实
质都是一般化策略.正如波利亚在其《怎样解题》中所阐述的一般化
思想：“一般化就是从考 虑一个对象，过渡到考虑包含该对象的一个
集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小 的集
合的更大集合。”

三、排列组合中的类比推理

x(x?1)???(x?m?1)

，其中x?r，m是正整数，且

m!

0mcx?1，这是组合数cn(n,m是正整数，且m?n)的一种推广.

例5 （2002年上海高考题）规定：cx?

m

5

（1） 求c?15的值；

mn?mmm?1mm（2） 组合数的两个性质（cn?cn,cn?cn?cn?1）
是否都能推广到cx

（ x?r,m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出
证明；若不能，则说明理由；

mm

（3）已知组合数cn是正整数，证明：当x?z，m是正整数时，
cx?z.

mm分析 本题“新的规定cx（x?r,m是正整数）”是组合数cn
（n,m是正整数，且m?n ）的一

种推广.这个结论是中学数学教学内容中没有的，目的是考查考生对
相关的 数学思想方法的自觉运用以及创新思维能力. 解：（1）根据
新规定直接进行演算即可

5

c?15?

(?15)(?16)(?17)(?18)(?19)

??11628.

5!

（2）性质①不能推广.反例：当x?且推广形式不变：

2,m?1时，c12有意义，但c2?1

无意义.性质②能推广，2

mm?1m

cx?cx?cx?1(x?r,m是正整数）.

证明如下：

x(x?1)(x?2)???(x?m?1)x(x?1)(x?2)???(x?m?2)

?

m!(m?1)!

x(x?1)(x?2)???(x?m?2)

?(x?1) =

m!

1m

?(x?1)?(x?1)?1??(x?1)?2?????(x?1)?m?1?=cx=?1 m!

（3）需要就x与m的大小作出逻辑划分并进行严密的论证.

m

当x?m时，x,m都是正整数，cn就是组合数，结论显然成立；

x(x?1)(x?2)???0???(x?m?1)m

?0?z，结论也成立； 当0?x?m时，cx?

m!

x(x?1)(x?2)???(x?m?1)1m

?(?1)m(?x?m?1)(?x?m?2) 当x?0时，cx?

m!m!mm

???(?x?1)(?x)?(?1)c?x?m?1

mm?1cx?cx?

mmm

??x?m?1?0，?c?)mc?x?m?1是正整数，故cx?(?1x?m?1?z. m
综上所述，当x?z，m是正整数时，cx?z.

评注 本题以组合数为载体 考查运用类比推理和分类讨论的数学思想
方法，考查运算能力和创新思维能力。

例6 （2003年上海高考题）已知数列?an?（n为正整数）的首项
为a1，公比为q的等比数 列.

0123012

（1） 求和：a1c2；a1c3. ?a2c3?a3c3?a4c3?a2c2?a3c2

（2） 由（1）的结果，归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加
以证明. 分析 本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般
性的结论：

012

（1）a1c2=a1?2a1q?a1q2?a1(1?q)2， ?a2c2?a3c2

0123

?a1?3a1q?3a1q2?a1q3?a1(1?q)3. a1c3?a2c3?a3c3?a4c3

（2）归纳概括的结论为：若数列?an?是首项为a1，公比为q的等
比数列，则

0123na1cn?a2cn?a3cn?a4cn?????(?1)nan?1cn?a1(1?q)n.
（证明略）

评注 本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创
新能力的考查；通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以
由特殊型命题直接归纳概括出 一般型命题。

四、立体几何中的类比推理 例7 （2002年上海春招题）若从点o
所作的两条射线om、on上分别有点m1、m2与点n1、n2，则三
角形面积之比为：
s?om1n1s?om2n2

?

om1on1

?. 若从点o所作的不在同一个平面内的三条射线op、om2on2

oq和or上分别有点p1、p2与点q1、q2和r1、r2，则类似的结
论为：. 分析 在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空
间应是体积之比，故猜想

vo?p1q1r1vo?p2q2r2

?

opoq1or11

.(证明略) ??

op2oq2or2

评注 本题主要考查由平面到空间的类比.要求考生由平面上三角形
面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论.又在2004年
广东高考数学试卷中出现 本题的类题。例8 （2003年全国高考题）
在平面几何中，有勾股定理：“设?abc的两边ab、 ac互相垂直，

则ab?ac?bc.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱 锥
的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱
锥a- bcd的三个侧面abc、acd、adb两两相互垂直，则.”

分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下
对应关系作对比： 多面体多边形； 边

体 积 积 ； 二面角 面 积 … …由此，可类比猜测本题的答案：

2222

s?s??s?s?adbabc?acd?bcd （证明略）.

2

2

2

评注 本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广，因此平时
的教学与复习中要注意类比等思想 方法的学习，更要注意研究性学
习在数学中的适时切入。例9 （2004年上海春招高考题）在?def中
有余弦定理：

de2?df2?ef2?2df?efcos?dfe. 拓展到空间，类比三角形的余弦定
理，写出 斜三棱柱abc-a1b1c1的3个侧面面积与其中两个侧面所成
二面角之间的关系式，并予以证明.

分析 根据类比猜想得出
saa1c1c?sabb1a1?sbcc1b1? 2sabb1a1?sbcc1b1cos?.其中?为
侧面为abb1a1与bcc1b1所成的二面 角的平面角.

证明： 作斜三棱柱abc?a1b1c1的直截面def，则?dfe为面
abb1a1与面bcc1b1所成角，在?def中有余弦定理：

2

2

2

de2?df2?ef2?2df?efcos??，

2

同乘以aa1，得

de2?aa12?df2?aa12?ef2?aa12?2df?aa1?ef?aa1cos??

即 saa1c1c?sab1bs a1?sbc1cb1?2sab1ba1?sbc1cb1co?

评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，
因为类比是数学发现的重

2

2

2

要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。

五、 解析几何中的类比推理 例10 （2001年上海高考题）已知两
个圆：x2?y2?1， ①

与x2?(y?3)2?1② 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，
将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一
般的命题，而已知命题要成为所推广命 题的一个特例，推广的命题
为.

分析 将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况： 设
圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，③

与(x?c)2?(y?d)2?r2 ④

其中a?c或b?d，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程.

评注 本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型
命题。

例11 （2 003年上海春招题）已知椭圆具有性质：若m、n是椭圆
c上关于原点对称的两个点，点p是椭圆上任 意一点，当直线pm、
pn的斜率都存在，并记为kpm、kpn时，那么kpm与kpn之积是

x2y2

与点p的位置无关的定值.试对双曲线2?2?1写出具有类似特性的
性质，并加以证明.

ab

x2y2

分析 类似的性质为：若m、n是双曲线2?2?1上关于原点对称的
两个点，点p是双曲线上任

ab

意一点，当直线pm、pn的斜率都存在，并记为kpm、kpn时，那< br>么kpm与kpn之积是与点p的位置

无关的定值.

证明：设点m、p的坐标为（m,n）、（x,y），则n（?m,?n）.

b22b22 222因为点m（m,n）在已知双曲线上，所以n?2m?b，同
理y?2x?b.

aa

222222

y?ny?ny?nbx?mb

??2???则kpm?kpn?（定值）. 22222

x?mx?mx?max?ma

2

评注 本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线
的概念与方程，考查数学运算

能力。

x2y2

是与点p的位置无关的定值.试对双曲线2?2?1写出具有类似特性
的性质，并加以证明.

abx2y2

分析 类似的性质为：若m、n是双曲线2?2?1上关于原点对称的
两个点，点p是双曲线上任

ab

意一点，当直线pm、pn的斜率都存在，并记为kpm、kpn时，那< br>么kpm与kpn之积是与点p的位置无关的定值.

证明：设点m、p的坐标为（m,n）、（x,y），则n（?m,?n）.

b22b22 222因为点m（m,n）在已知双曲线上，所以n?2m?b，同
理y?2x?b.

aa

2

则kpm?kpn

y?ny?ny2?n2b2x2?m2b2

???2?2?2?2（定值）. 22

x?mx?mx?max?ma

评注 本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线
的概念与方程，考查数学运算

能力。同类之间的类比在圆锥曲线中，常常以姐妹题形式出现，这
样对学生思维和素质的考查 具有很好的功能，而且题型新颖，避免
了传统的考法的单调。

六.新定义、新运算中的类比

例13、若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即a?b?

a?b