mexx全国高考理科数学试卷

2020年11月27日发(作者：郝德新)
数学月刊七月号
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题
编者说明
1984年，是中国高考改革有创意的一年。就在这一年，数学命题组提出了高考“出活题，< br>考基础，考能力”的命题指导思想。自1977年恢复高考以来，高考命题基本上是“模仿命题”，
模仿课本上的例习题，模仿教参上的参考题，考场上出现了“解题有套”的现象，高校传出
了“高分低 能”的说法。
1984年的数学试卷，创造了大批新题，即所谓活题。广大考生第一次见到这样的新题或
活题，感到非常之难。当年，北京市的分数，人均只有17分，创下了新中国成立以来，数
学高 考难度之“最”。
（这份试题共八道大题，满分120分
第九题是附加题，满分10分，不计入 总分）
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n+1）π，n是整数}与数集Y = {（4k1）π，k是整数}之间的关 系是（C）
（A）XY（B）XY（C）X=Y（D）X≠Y
22
2．如果圆x+y+ Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（C）
（A）F=0，G≠０，E≠0. （B）E=0，F=0，G≠0.
（C）G=0，F=0，E≠0. （D）G=0，E=0，F≠0.
3.如果n是正整数，那么
1
8
[1(1)](n
n2
1)
的值（B）
（A）一定是零
（C）是整数但不一定是偶数
4.
arc cos(x)
大于
arccosx
的充分条件是
（A）
x
（ C）
x
(0,1]
[0,1]
（B）一定是偶数
（D）不一定是整数
（A）
(1,0)
[0,
]
2
sin
2
1 sin,
那么
2
（B）
x
（D）
x
且满足
cos
5．如果θ是第二象限角，
（A）是第一象限角
（C）可能是第一象限角，编者说明
2
（B）
也可能是第三象限角
（B）是第三象限角
（D ）是第二象限角
数学试题选择题，同上一年，即1983年一样多，也是5道小题，但考生感到比上年难
得多。有的考生拿到第1小题就不能动笔。
首先是因为1984年对选择题的考题要求很严。第 一次也是唯一一次提出“得负分”的评分
要求。
第二是选择题的设计，命题人第一次考虑到选择 题“淘汰法”解题方法。比如第1小题，
排除3个错误答案比选择1个正确答案要迅速得多。可是，在刚 刚出现选择题（1983年第一
次用选择题）的考场上，考生几乎没有这种解题思想。许多交白卷的考生 ，首先就被第1题
挡住了“去路”。
二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4 分只要求直接写出结果）
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积
1
答：
4
或
8
.
2
2.函数
log
0.5
(x
答：x＜-2.
4x4)
在什么区间上是增函数？
3． 求方程
(sinx
答：
{x|x
4．求
(|x|
答：-20
5．求
lim
n
答：0
12
3
n
ncosx)
n,n
3
2
1
2
的解集
{x|xn
,
nZ
}
7
12
1
|x|
Z}
1 2
2)
的展开式中的常数项
1
的值
6．要排一张有6个歌唱节目和4 个舞蹈节目的演出节目单，
种不同的排法（只要求写出式子，
答：
P
7
4
6!
编者说明
不必计算）
任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少
1984年的第二大题，含6个小题，比1983年的2个小题多出了4个，从而使整个试卷
的题量比1 983年多出了3道。题目很活，题量又大，多数考生在规定的时间不能完成解答，
这也是1984年数 学得分很低的原因之一。
三．（本题满分12分）本题只要求画出图形
1．设H(x)
0,
当
x
1,
当
x
0,
0,
画出函数y= H(x-1)的图象
0)
的曲线2．画出极坐标方程
(
解（1）
2) (
4
)0(
（2）
2
解：
1. 2.
编者说明
1984年的第三大题，是1983年第二大题的发展。虽然仍为作图题，但比1983年的考题
难得多。1983年的题设式子是简单式子，看式便可作图；而1984年的题设式子是“复杂式子”，
需要首先将式子变形化简，从而增加了试题难度。
四．（本题满分12分）
已知三个平面两两 相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行
c,
.
b,a.
证：设 三个平面为α，β，γ，且
c,b,c,b
从而c与b或交于一点或互相平行
1．若c 与b交于一点，设
c
又由Pb,b,有P.于是P
bP.由Pc,且c,有P;
a
，∴所以
a
，
b
，
c交于一点（即P点）
2. 若c∥b
，
则由b,有c//.又由c,且a,可知c//a
所以
a
，b，c互相平行
编者说明
1984年的第四大题，考查立体几何内容。题目从表面看去，似乎 不难。然而，
题人故意没有给“题图”，使得广大考生不知如何画图，从而陷入困境。
由于命< br>3
五．（本题满分14分）
设c
，
d
，
x为实数， c≠０，x为未知数讨论方程log
解
解：原方程有解的充要条件是：
x
cx
cx
(cx
0,
d
x
d
x
d
x< br>)
(1)
0,
0,
1
(cx
d
x
)
x
1在什么情况下有解有解时求出它的
(2)
(3)
x
d< br>x
)
(4)
1
，所以
cx
d
x
2< br>由条件（4）知
x
(
cx
又由
x
(
cxd
x
)
d
，可得
1
再由c≠０
x
2< br>1d
c
.
1
及x＞0，知
cx
d
x
)
0
，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中
再由条件（3）及
x
(
cx
x
x
x
2
1
，知x1.因此，原条件可简 化为以下的等价条件组：
0,
1,
1d
.
c
(1)
(5)
(6)
1
c
d
0.
这个不等式仅在以下两种情形下成 立：由条件（1）（6）知
①c＞0
，
1-d＞0
，
即c＞0
，
d＜1；②c＜0
，
1-d＜0
，
即c＜0
，
d＞1.
再由条件（1）（5）及（6）可知c
从而，当c＞0
，
d＜1且 c
1d
1d时，原方程有解，它的解是1d时，或者当c＜0
，
d＞1且c< br>编者说明
1984年的第五题，考查对数函数。具体考查对数方程的有解条件。然而设计“创新到 了
对数底数”，使得一直看惯了“底数只为单一字母”的考生不知所云。
x
1d
c
六．（本题满分16分）
1．设
p0
，实系数一元二次方程
z< br>2
2pzq0
有两个虚数根z
1
，z
2
.再设z1
，z
2
在复平面内的对应
点是Z
1
，Z
2< br>求以Z
1
，Z
2
为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长
4 （7分）
2．求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为
1
2
的 椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）
解：1.因为p，q为实数，
(2p)
2
p
p
2
0
，z
1
，
z
2
为虚数，所 以
04q0,q
由z
1
，
z
2
为共轭复数，知Z< br>1
，Z
2
关于x轴对称，
所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点，< br>可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的 关系，可得椭圆的
短轴长=2b=|z
1
+z
2
|=2|p|，焦距离=2c=|z
1
-z
2
|=|(z
1
长轴长=2 a=2
b
2
z
2
)
2
4z
1
z< br>2
|2qp，
2
c
2
2
q
.
2.因 为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴
设椭圆左顶点为A （x
，
y），因为椭圆的离心率为
所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的
从而左焦点F的坐标为
(
3x
2
,
y
)
1
2
，
1
2
，
设d为点M到y轴的距离，则d=1
(
3x
2
1)
2
3
2
|MF|
根据
d
1
及两点间距离公式，
2
(y
4(y
2)
2可得
(),
即
2
2
1
2
9(x)
2< br>2)1
这就是所求的轨迹方程
编者说明
1984年的第六题，
求椭圆的 轨迹方程，
考查解析几何。第1小题将椭圆参数藏在复数方程的根中；第2小题
给出的“衍生轨 迹”而不是“直接轨迹”。使得广大考生无模式可套。本
当年考生，能解答到本卷第六大题的人很少。题 得分率也很低。事实上，
七．（本题满分15分）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分 别为
a
，b，c，且c=10，
5