乌鸦之神的缰绳1985年全国统一高考数学试卷(文科)

2020年11月27日发(作者：彭述之)

1985年全国统一高考数学试卷（文科）

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（ ）
A ． B． C． D．


2．（3分）的（ ）
A ．必要条件 B．充 分条件
C ．充分必要条件 D．既 不充分又不必要的条件

3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1 ，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）
∪Z是（ ）
A ．{0，1，2，6， B．{ 3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{ 1，3，6，7，
8} 8}

4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既 是区间上的增函数又是以π为周期的偶函
数？（ ）
A ．y=x
2
（x∈R） B． y =|sinx|（x∈R）C． y=cos2x D．y =e
sin2x
（x∈R）
（x∈R）

5．（3分）用1， 2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复
数字的五位数 ，共有（ ）
A ．96个 B．7 8个 C．72个 D．6 4个

二、解答题（共11小题，满分90分）
6．（4分）求函数．

7． （4分）求圆锥曲线3x
2
﹣y
2
+6x+2y﹣1=0的离心率．

8．（4分）求函数y=﹣x
2
+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．

9．（4分）设（3x﹣1）
6
=a
6
x
6< br>+a
5
x
5
+a
4
x
4
+a
3
x
3
+a
2
x
2
+a
1
x+ a
0
，求a
6
+a
5
+a
4
+a
3
+a
2
+a
1
+a
0
的值．

10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）
6
的值．

11 ．（14分）设S
1
=1
2
，S
2
=1
2
+2
2
+1
2
，S
3
=1
2
+2
2
+3
2
+2
2
+1
2
，…，
S
n
=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2+…+3
2
+2
2
+1
2
，…
用数学归纳法证明：公式

12．（13分）证明三角恒等式


对所有的正整数n都成立．
．

13．（16分）（1）解方程lg（3 ﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；
（2）解不等式
14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥< br>底面的内切圆半径．


15．（15分）已知一个圆C：x
2< br>+y
2
+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线 L
的对称的圆的方程．

16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等 比数列的前n项之和为S
n
，又设T
n
=
．

，n=1，2，…．求



1985年全国统一高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（ ）
A ． B． C． D．


考点：
专题：
分析：
解答：
棱柱、棱锥、棱台的体积．
计算题．
画出图形，直接求解即可．
解：如图四面体A′﹣ABD的体积是
V=
故选D．
点评：

2．（3分）

本题考查棱锥的体积，是基础题．
的（ ）
A ．必要条件 B．充 分条件
C ． 分必要条件 充D．既 不充分又不
必要的条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 计算题．
分析： 先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．
解答： 解：
由tanx=1
得，
， 当k=1时，x=
固由前者可以推出后者，
所以tanx=1是的必要条件．
点评：

3．（3分）设集合X={ 0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）
∪Z是（ ）
A ．{0，1，2，6， B．{ 3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{ 1，3，6，7，

故选A．
此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．

8}

考点：
分析：
解答：
点评：

8}
交、并、补集的混合运算．
根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．
解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，
故选C
本题考查集合的基本运算，较简单．
上的增函数又是以π为周期的偶函4．（3分）在下面给 出的函数中，哪一个函数既是区间
数？（ ）
A ．y=x
2
（x∈R） B． y =|sinx|（x∈R）C． y=cos2x D．y =e
sin2x
（x∈R）
（x∈R）

考点： 三角函数的周期性及其求法．
专题： 压轴题．
分析： 根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．
解答： 解：y=x
2
（x∈R）不是周期函数，故排除A．
∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．
故选B．
点评： 本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．

5．（3分） 用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复
数字的 五位数，共有（ ）
A ．96个 B．7 8个 C．72个 D．6 4个

考点： 排列、组合的实际应用．
专题： 计算题；压轴题；分类讨论．
分析： 根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数
字， 由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情
况数目，由 乘法原理，计算可得答案．
解答： 解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，
分2种情况讨论，
当首位是3时，百位数不是数字3，有A
4
4
=24种情况，
当首 位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A
4
4
﹣A
3
3
）=54种情况，
综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，
故选B．
点评： 本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要
求．

二、解答题（共11小题，满分90分）


6．（4分）求函数

考点：
分析：
解答：
．
函数的定义域及其求法．
只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．
解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．
点评： 本题考查具体函数的定义域，属基本题．

7．（4分）求圆锥曲线3x
2
﹣y
2
+6x+2y﹣1=0的离心率．

考点： 圆锥曲线的共同特征．
专题： 计算题．
分析： 先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．
解答：
解：方程整理成标准方程得（x+1）
2
﹣=1，
即a=1，b=
∴c==2
∴e==2
点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．

8．（4分）求函数y=﹣x
2
+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 计算题．
分析： 先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．
解答： 解：y=﹣（x﹣2）
2
+2，则开口向下，对称轴方程是x=2
结合函数的图象可得，当x=2时，y
max
=2；
当x=0时，y
min
=﹣2
故最大值是2，最小值是﹣2．
点评： 二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问< br>题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．

9．（4分）设（3x﹣ 1）
6
=a
6
x
6
+a
5
x
5< br>+a
4
x
4
+a
3
x
3
+a
2
x
2
+a
1
x+a
0
，求a
6
+a
5
+a
4
+a
3
+a
2
+a
1
+a
0
的值．

考点： 二项式系数的性质．
专题： 计算题．
分析： 对等式中的x赋值1求出各项系数和．
解答： 解：令 x=1得2
6
=a
6
+a
5
+a
4
+a< br>3
+a
2
+a
1
+a
0

故a6
+a
5
+a
4
+a
3
+a
2
+a
1
+a
0
=2
6

点评： 本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．

10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）
6
的值．

考点： 复数代数形式的乘除运算．