武昌造船厂初中数学经典题型

2020年11月28日发(作者：朱良春)
. . word. .
综合知识讲解
目录
第一章 绪 论 ................... .................................................. ................. 2
1.1 初中数学的特点 .............. .................................................. .......... 2
1.2 怎么学习初中数学 .................... .................................................. 2
1.3 如何去听课 .................................. ................................................. 5
1.4 几点建议 ................................... .................................................. .. 6
第二章 应知应会知识点 ............................. ............................................. 8
2.1 代数篇 ...................................... .................................................. ... 8
2.2 几何篇 ................................ .................................................. ....... 12
第三章 例题讲解 .......................... .................................................. ........ 19
第四章 兴趣练习 ......................... .................................................. .......... 38
4.1 代数部分 ....................... .................................................. ............ 38
4.2 几何部分 ..................... .................................................. .............. 52
第五章 复习提纲 ................... .................................................. ............... 57


.. . ...
. . word. .
第一章 绪 论
1.1 初中数学的特点
１．
２．
３．
４．
５．
６．
７．
８．
９．
１０．
１１．
１２．
１３．
１４．
１５．
１６．

.. . ...
. . word. .
1.2 怎么学习初中数学
1，培养良好的学习兴趣。
两千多年前孔子说过：“知 之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，
干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐 在其中。“好”和“乐”
就是愿意 学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好 ，
爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。
在数学学习 中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认
识”过程，这自然会变为立志学好数学 ，成为数学学习的成功者。那么如何才能
建立好的学习数学 兴趣呢？
（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。
（2）听课中要配合老师讲课，满足 感官的兴奋性。听课中重点解决预习中
疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音 乐，及时回答
老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，
变 为鞭策学习的动力。
（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。
（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的
方法怎样是产生的？
（5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念
也回归于现实生活， 如角的概念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来
的。只有回归现实才能对概念的理解切实可* ，在应用概念判断、推理时会准确。
2，建立良好的学习数学习惯。
习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良
.. . ...
. . word. .
好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：
多质疑、勤 思 考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课
前自学、专心上课、及时复习、独立作业 、解决疑难、系统小结和课外学习几个
方面。学生在学习 数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成 为自己的特殊
语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便
加 宽知识面和培养自己再 学习能力。
3，有意识培养自己的各方面能力 。
数学能力包括 ：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和
分析解决问题能力共五大能力。这些能力是 在不同的数学学习环境中得到培养
的。在平时学 习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习 实践活动，
如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象
能力 是通过实例净 化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进
行分析推理。其它能力的培养 都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别
是，教师为了培养这些能 力，会精心设计“智力课” 和“智力问题”比如对习
题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等 ，
都是为数学能力的培养开设的好课型，在这些课型中，学生务必要用全身心投入、
全方位智力 参与，最终达到自己各方面能力的全面发展
4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。
学好初中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要
重点掌握的的数学思想有以上 几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合
思想，运动 思想，转化思想，变换思想。有了数学思 想以后，还要掌握具体的
方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在
.. . ...
. . word. .
具体的方法中，常 用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综
合，归纳与演绎 ，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。
解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考 ：选择什么角度来进
入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相
辅等。

5、逐步形成 “以我为主”的学习模式 。
数学不是老师教会的，而是在老师的引导下，自 己主动的思维活动去获取的。
学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思 考、
勇于 探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成
积极进取， 不屈不挠，耐挫折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，
善于开动 脑筋，积极主动去发现 问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于
现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧 面、多角度思考问题，
挖掘问题的实 质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题
不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，
寻找最佳学习方 法。
6、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施。
记数学笔记，特别是对概念理解 的不同侧面和数学规律，教师在课堂中扩展
的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题 ，以及你还存在的
未解决的问题，以便今后将其补上。
建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
.. . ...
. . word. .
争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反 面入手深入理解正确东西；
能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严 密。

1.3 如何去听课
认真听好每一节棵。
要上好每一节课，数 学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和
规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实 际的复习课。要上好这些课来
学会数学知识，掌握学习数学的方法。
概念课
要重视教学过程，要积极体验知识产生、发展的过程，要把知识的来龙去脉
搞清楚，认识知识发生的过程 ，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬
背的方法，这样我们就能从知识形成、发展过程当中， 理解到学会它的乐趣；在
解决问题的过程中，体会到成功的喜悦。
习题课
要掌 握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一
遍不如辩一辩”的诀窍。除了听老 师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且
要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同 学、老师辩一辩，坚
持真理，改正错误。在听课时要注意老师展示的解题思维过程，要多思考、多探究、多尝试，发现创造性的证法及解法，学会“小题大做”和“大题小做”的解
题方法，即对选择题 、填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意，就像对待
大题目一样，做到下笔如有神；对综合题这样 的大题目不妨把“大”拆“小”，
.. . ...
. . word. .
以“退”为“进”，也就是把一个比较复杂的问题， 拆成或退为最简单、最原始
的问题，把这些小题、简单问题想通、想透，找出规律，然后再来一个飞跃， 进
一步升华，就能凑成一个大题，即退中求进了。如果有了这种分解、综合的能力，
加上有扎实 的基本功还有什么题目难得倒我们。
复习课
在数学学习过程中，要有一个清醒的复习意 识，逐渐养成良好的复习习惯，
从而逐步学会学习。数学复习应是一个反思性学习过程。要反思对所学习 的知识、
技能有 没有达到课程所要求的程度；要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法，
这些 数学思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点；要反思基本问题(包
括基本图 形、图像等)，典 型问题有没有真正弄懂弄通了，平时碰到的问题中有
哪些问题可归结为这些基本问题；要反思自己的错误 ，找出产生错误的原因，订
出改正的措 施。在新学期大家准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错 误记
下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常拿出来看看、想想错在哪里，为什
么会错，怎 么改 正，通过你的努力，到高考时你的数学就没有什么“病例”了。
并且数学复习应在数学知识的运用 过程中进行，通过运用，达到深化理解、发展
能力的目的，因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量 的数学习题，做到举
一反三、熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术。
1.4 几点建议
1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高
考而加的 课外知识。如：我在讲课时的注解。
2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再
.. . ...
. . word. .
犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能 从反面入手深入理解正确东
西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推 理
严密。
3、记忆数学规律和数学小结论。
4、与同学建立好关系，争做“小老师”，形成数学学习“互助组”。
5、争做数学课外题，加大自学力度。
6、反复巩固，消灭前学后忘。
7、学会总结归类。①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分
类。
总 之，对初中生来说，学好数学，首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学，积极
展开思维的翅膀，主动地参与教 育全过程，充分发挥自己的主观能动性，愉快有
效地学数学。
其次要掌握正确的学 习方法。锻炼自己学数学的能力，转变学习方式，要改
变单纯接受的学习方式，要学会采用接受学习与探 究学习、合作学习、体验学习
等多样化 的方式进行学习，要在教师的指导下逐步学会“提出问题—实验 探究
—开展讨论—形成新知—应用反思”的学习方法。这样，通过学习方式由单一
到多样的转变 ，我 们在学习活动中的自主性、探索性、合作性就能够得到加强，
成为学习的主人。


.. . ...
. . word. .
第二章 应知应会知识点
2.1 代数篇
一 数与式
（一）有理数
1 有理数的分类
2 数轴的定义与应用
3 相反数
4 倒数
5 绝对值
6 有理数的大小比较
7 有理数的运算
（二）实数
8 实数的分类
9 实数的运算
10 科学记数法
11 近似数与有效数字
12 平方根与算术根和立方根
13 非负数
14 零指数次幂 负指数次幂
（三)代数式
.. . ...
. . word. .
15 代数式 代数式的值
16 列代数式
（四）整式
17 整式的分类
18 整式的加减 乘除的运算
19 幂的有关运算性质
20 乘法公式
21 因式分解
（五）分式
22 分式的定义
23 分式的基本性质
24 分式的运算
（六）二次根式
25 二次根式的意义
26 根式的基本性质
27 根式的运算
二 方程和不等式
（一）一元一次方程
28 方程 方程的解的有关定义
29 一元一次的定义
30 一元一次方程的解法
31 列方程解应用题的一般步骤
.. . ...
. . word. .
（二）二元一次方程
32 二元一次方程的定义
33 二元一次方程组的定义
34 二元一次方程组的解法（代入法消元法 加减消元法）
35 二元一次方程组的应用
（三）一元二次方程
36 一元二次方程的定义
37 一元二次方程的解法（配方法 因式分解法
38 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式
39 一元二次方程的应用
（四）分式方程
40 分式方程的定义
41 分式方程的解法（转化为整式方程 检验）
42 分式方程的增根的定义
43 分式方程的应用
（五）不等式和不等式组
44 不等式（组）的有关定义
45 不等式的基本性质
46 一元一次不等式的解法
47 一元一次不等式组的解法
48 一元一次不等式（组）的应用
三 函数
.. . ...
公式法十字相乘法）
. . word. .
（一）位置的确定与平面直角坐标系
49 位置的确定
50 坐标变换
51 平面直角坐标系内点的特征
52 平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置
53 对称问题：P(x,y)→Q(x,- y）关于x轴对称
P(x,y)→Q(- x,y)关于y轴对称
P(x,y)→Q(- x,- y)关于原点对称
54 变量 自变量 因变量 函数的定义
55 函数自变量 因变量的取值范围（使式子有意义的条件 图象法）
56 函数的图象：变量的变化趋势描述
（二）一次函数与正比例函数
57 一次函数的定义与正比例函数的定义
58 一次函数的图象：直线，画法
59 一次函数的性质（增减性）
60 一次函数y=kx+b(k≠0)中k b符号与图象位置
61 待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）
62 一次函数的平移问题
63 一次函数与一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程的关系（图象
法）
64 一次函数的实际应用
65 一次函数的综合应用
.. . ...
. . word. .
（1）一次函数与方程综合
（2）一次函数与其它函数综合
（3）一次函数与不等式的综合
（4）一次函数与几何综合
（三）反比例函数
66 反比例函数的定义
67 反比例函数解析式的确定
68 反比例函数的图象：双曲线
69 反比例函数的性质（增减性质）
70 反比例函数的实际应用
71 反比例函数的综合应用（四个方面 面积问题）
（四）二次函数
72 二次函数的定义
73 二次函数的三种表达式（一般式 顶点式 交点式）
74 二次函数解析式的确定（待定系数法）
75 二次函数的图象：抛物线 画法（五点法）
76 二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）
77 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a b c △与特殊式子的符号与图象位置
关系
78 求二次函数的顶点坐标 对称轴 最值
79 二次函数的交点问题
80 二次函数的对称问题
.. . ...
. . word. .
81 二次函数的最值问题（实际应用）
82 二次函数的平移问题
83 二次函数的实际应用
84 二次函数的综合应用
（1）二次函数与方程综合
（2）二次函数与其它函数综合
（3）二次函数与不等式的综合
（4）二次函数与几何综合
2.2 几何篇
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短
7 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行
9 同位角相等 两直线平行
10 内错角相等 两直线平行
11 同旁内角互补 两直线行
12 两直线平行 同位角相等
.. . ...
. . word. .
13 两直线平行 内错角相等
14 两直线平行 同旁内角互补
15 三角形两边的和大于第三边
16 三角形两边的差小于第三边
17 三角形三个内角的和等180°
18 直角三角形的两个锐角互余
19 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边 对应角相等
22 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)
23 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
24 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
25 有三边对应相等的两个三角形全等 (SSS)
26 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
27 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等
31 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和高互相重合
33 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角
.. . ...
. . word. .
所对的边也相等(等角对等边)
35 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中 如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的
一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点
在对称轴上
45 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两个图形关于
这条直线对称
46 直角三角形两直角边a b的平方和 等于斜边c的平方 即a+b=c
47 如果三角形的三边长a b c有关系a+b=c 那么这个三角形是直角三角
形
48 四边形的内角和等于360°
49 四边形的外角和等于360°
50 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51 任意多边的外角和等于360°
.. . ...
. . word. .
52 平行四边形的对角相等
53 平行四边形的对边相等
54 夹在两条平行线间的平行线段相等
55 平行四边形的对角线互相平分
56 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60 矩形的四个角都是直角
61 矩形的对角线相等
62 有三个角是直角的四边形是矩形
63 对角线相等的平行四边形是矩形
64 菱形的四条边都相等
65 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角
66 菱形面积=对角线乘积的一半 即S=(a×b)÷2
67 四边都相等的四边形是菱形
68 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69 正方形的四个角都是直角 四条边都相等
70 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角
71 关于中心对称的两个图形是全等的
72 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心
平分
.. . ...
. . word. .
73 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一 点平分 那么这
两个图形关于这一点对称
74 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75 等腰梯形的两条对角线相等
76 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77 对角线相等的梯形是等腰梯形
78 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等 那么在其他直线上截得的线段也相等
79 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰
80 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边
81 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半
82 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的 一半
L=(a+b) S=L×h
83 如果a:b=c:d 那么ad=bc
如果ad=bc 那么a:b=c:d
84 如果a/b=c/d 那么
(a±b)/ b=(c±d)/d
85 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0) 那么
(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例
87 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的对应线段
成比例
.. . ...
. . word. .
88 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例
那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三
边与原三角形三边对应成比例
90 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交 所构成的三
角形与原三角形相似
91 两角对应相等 两三角形相似(ASA)
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似(SAS)
94 三边对应成比例 两三角形相似(SSS)
95 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似
96 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97 相似三角形周长的比等于相似比
98 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的余
角的正弦值
100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
101 圆是定点的距离等于定长的点的集合
102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
.. . ...
. . word. .
104 同圆或等圆的半径相等
105 到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆
106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线
107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线
108 到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等
的一条直线
109 不在同一直线上的三个点确定一条直线
110 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧
112 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的
弦的弦心距相等
115 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦心距中
有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也
相等
118 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所
对的弦是直径
.. . ...
. . word. .
119 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角
形
120 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角
121 ①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
122 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123 圆的切线垂直于经过切点的半径
124 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线
平分两条切线的夹角
127 圆的外切四边形的两组对边的和相等
128 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等
130 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等
131 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比
例中项
132 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线
段长的比例中项
133 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段
长的积相等
.. . ...
. . word. .
134 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上
135 ①两圆外离d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
136 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切
正n边形
138 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆
139 正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
140 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141 正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142 正三角形面积√3a/4 a表示边长
143 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角 由于这些角的和应为 360°
因此k×(n-2)180°/n=360°化为
(n-2)(k-2)=4
144 弧长计算公式:L=n∏R/180
145 扇形面积公式:S扇形=n∏R/360=LR/2
146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
.. . ...
. . word. .
第三章 例题讲解
【例１】如图10，平 行四边形
ABCD
中，
AB
＝5，
BC
＝10，
B C
边上的高
AM
=4，
E
为
BC
边上的一个动点（ 不与
B
、
C
重合）．过
E
作直线
AB
的垂 线，垂足为
F
．
FE
与
DC
的延长线相交于点
G
，连结
DE
，
DF。

（1） 求证：Δ
BEF
∽Δ
CEG
．

（2） 当点
E< br>在线段
BC
上运动时，△
BEF
和△
CEG
的周长之 间有什么关系？
并说明你的理由．
（3） 设
BE
＝
x
，△
DEF
的面积为
y
，请你求出
y
和
x
之间的函数关系式，并
求出当
x
为何值时，
y
有最大值，最大值是多 少？

F
A
D








解析过程及每步分值
1） 因为四边形
ABCD
是平行四边形， 所以
ABDG
················································· 1分
所以
?B??GCE,
M
B
x
E
GC
图10
?G??BFE

所以
△BEF∽△CEG
·················································· ·················································· ········ 3分
（2）
△BEF与△CEG
的周长之和为定值． ···· ·················································· ·················· 4分
.. . ...
. . word. .
理由一：
过点
C
作FG
的平行线交直线
AB
于
H
，
因为
GF
⊥
AB
，所以四边形
FHCG
为矩形．所以
FH
＝
CG
，
FG
＝
CH

因此 ，
△BEF与△CEG
的周长之和等于
BC
＋
CH
＋
BH

由
BC
＝10，
AB
＝5，
AM
＝4，可得
CH
＝8，
BH
＝6，
所以
BC
＋
CH
＋
BH
＝24 ········ ·················································· ·················································· 6分
理由二：
由
AB
＝5，
AM
＝4，可知
F
H
A
D
在Rt△
BEF
与Rt△
GCE
中，有：
4343
EF?BE,BF?BE,GE?EC,GC?CE
，
5555
1212
所以，△
BEF
的周长是
BE
， △
ECG
的周长是
CE

55
B
M
xE
G
C
又
BE
＋
CE
＝10，因此
B EF与CEG
的周长之和是24． ················································ 6分
43
x,GC?(10?x)

55
1143622
所以
y?EFDG?
································· ········· 8分
x[(10?x)?5]??x
2
?x

2255255
655121
配方得：
y??
．
(x? )
2
?
2566
55
所以，当
x?
时，
y
有最大值． ········································ ·················································· · 9分
6
121
最大值为． ······················· ·················································· ·················································· ···· 10分
6
（3）设
BE
＝
x
，则
EF?

【例２】如图 二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
＞0)与坐标轴交于点A B C且OA
＝1 OB＝OC＝3 ．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）写出顶点坐标和对称轴方程．
.. . ...
. . word. .
（3）点M N在
y
＝
ax
2
＋
bx
＋< br>c
的图像上(点N在点M的右边) 且MN∥
x
轴 求以MN为直径且与
x
轴相切的圆的半径．














解析过程及每步分值
（1）依题意
A(?1，，0)B(3，，0)C(0，?3)
分别代入
y?ax?bx?c
·································· 1分
2
解方程组得所求解析式为
y?x?2x?3
············· ·················································· ···················· 4分
（2）
y?x?2x?3?(x?1)?4
·················· ·················································· ························· 5分
22
2
?
顶 点坐标
(1，?4)
，对称轴
x?1
················· ·················································· ····························· 7分
?r)
·································· 8分 （3）设圆半径为
r
，当
MN
在
x
轴下方时，
N
点坐标为
( 1?r，
2
把
N
点代入
y?x?2x?3
得
r?< br>?1?17
····································· ········································ 9分
2
同理可得另一种情形
r?
?1?17

2
.. . ...
. . word. .
?
圆的半径为
?1?17
1?17
或 10分
2
2
【
例3】已知两个关于
x
的二次函数
y
1
与y
2
，y
1
?a(x?k)
2
?2(k?0)，y1
?y
2
?x
2
?6x?12
，当
x?k时，
y
2
?17
；且
二次函数
y
2
的 图象的对称轴是直线
x??1
．
（1）求
k
的值；
（2）求函数
y
1
，y
2
的表达式；
（3）在同 一直角坐标系内，问函数
y
1
的图象与
y
2
的图象是否有交 点？请说
明理由．

解析过程及每步分值
22
（1）由
y
1
?a(x?k)?2，y
1
?y
2
?x?6x?12< br>
2222
得
y
2
?(y
1
?y
2
)?y
1
?x?6x?12?a(x?k)?2?x?6x?10?a(x?k)．
2
又因为当
x?k
时，
y
2
?17，即
k?6k?10?17
，
解得
k
1
?1
，或
k
2
??7
（舍去），故
k
的值为
1
．
222
（2）由
k?1
，得
y
2
?x?6 x?10?a(x?1)?(1?a)x?(2a?6)x?10?a
，
所以函数
y
2
的图象的对称轴为
x??
2a?6
，
2(1?a)
于是，有
?
2a?6
??1
，解得
a ??1
，
2(1?a)
22
所以
y
1
??x? 2x?1，y
2
?2x?4x?11
．
2
（3）由
y< br>1
??(x?1)?2
，得函数
y
1
的图象为抛物线，其开口 向下，顶点坐标为
(1，2)
；
22
由
y
2
?2 x?4x?11?2(x?1)?9
，得函数
y
2
的图象为抛物线，其开口向 上，顶点坐标
为
(?1，9)
； 故在同一直角坐标系内，函数
y
1
的图象与
y
2
的图象没有交点．
.. . ...
. . word. .
.. . ...
. . word. .
【例4】如图,抛物线
y?x?4x< br>与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB
所的直线沿y轴向上平移,使它经 过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
（1）求点A的坐标;
（2）以点A、B 、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接
写出这些特殊四边形的顶点P的 坐标;
（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当
2< br>4?62?S?6?82
时,求x的取值范围.

解析过程及每步分值
解：（1）∵
y?x?
4
x?
(x?
2)
?
4

22
∴A(-2,-4)
（2）四边形ABP
1
O为菱形时，P
1
(-2,4)
24
，
?
)
55
48
四边形ABP
3< br>O为直角梯形时，P
1
(
?
，
)
55
61 2
四边形ABOP
4
为直角梯形时，P
1
(
，
?< br>)
55
四边形ABOP
2
为等腰梯形时，P
1
(< br>（3）
.. . ...
. . word. .

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式 是y=-2x-8,所以直线
l
的函数关系式是
y=-2x
①当点P在第二象限时，x<0,
△POB的面积
S
?POB
?< br>∵△AOB的面积
S
?AOB
1
?4?(?2
x
)? ?4
x

2
1
??
4
?
4
?
8
，
2
∴
S
?
S
?AOB
?
S
?POB??4
x
?8(
x
?0)

∵
4?62?S?6?82
，
?
?
S?4?62
∴
?

?
?
S ?6?82
?
2?32
x?
?
?
?
?4x?8?4 ?62
?
2
即
?
∴
?

?
?
S?
1?42
?
?4x?8?6?82
?
2
?
∴x的取值范围是
1?422?32
?x?

22
②当点P在第四象限是，x>0,
过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′
则四边形POA′A的面积
S< br>POA
?
A
?S
梯形P
P
?
A
?< br>A
?S
?PP
?
O
?
4?2x1
?(x?2 )??(2x)?x?4x?4

22
.. . ...
. . word. .
∵△AA′B的面积
S
?AA?
B
?
1
?
4
?
2
?
4
2
∴
S
?
S
POA
?
A
?
S
?AA
?
B
?4
x
?8(
x
? 0)

∵
4?62?S?6?82
，
?
3
x?< br>?
??
?
S?4?62
?
4x?8?4?62
?∴
?
即
?
∴
?
2?2
2

?
?
S?6?82
??
4x?8?6?82
∴x的取值范围是
32?2
2
?x?42?1
2


.. .
?
S?
42?1
?
?
2
...
. . word. .
【例4 】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
某园林专业户计划投资种植花卉 及树木，根据市场调查与预测，种植树木的
利润
y
1
与投资量
x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润
y
2
与投资量
x
成 二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润
y
1
与
y
2
关于投资量
x
的函数关系式； （2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少
利润？他能获取的最大利 润是多少？

解析过程及每步分值
解：（1）设
y
1
=
kx
,由图①所示，函数
y
1
=
kx
的图像过（1 ，2），所以2=
k?1
，
k?2

故利润
y
1< br>关于投资量
x
的函数关系式是
y
1
=
2x
；
因为该抛物线的顶点是原点，所以设
y
2
=
ax
，由图12 -②所示，函数
y
2
=
ax
的图像
过（2，2），
所以
2?a?2
，
a?
2
22
1

2
1
2
x
；
2
故利润
y
2关于投资量
x
的函数关系式是
y?
（2）设这位专业户投入种植花卉x
万元（
0?x?8
），
则投入种植树木（
8?x
） 万元，他获得的利润是
z
万元，根据题意，得
.. . ...
. . word. .
z
=
2(8?x)
+1
1
2
1
2
x
=
x?2x?16
=< br>(x?2)
2
?14

22
2
当
x?2
时，
z
的最小值是14；
因为
0?x?8
，所以
?2?x?2?6

所以
(
x?
2)
?
36

2
1
(
x?
2)
2
?
18
2
1
2
所以
(
x?
2)
?
14
?
18
?
14
?
32
，即
z?32
，此 时
x?8

2
所以
当
x?8
时，
z
的最大值是32.

【例5】如图，已知
A(?4,0)
，
B(0,4)
， 现以A点为位似中心，相似比为9:4，
将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
（1）求C点坐标及直线BC的解析式;
（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正 半轴上，求该抛物线的
解析式并画出函数图象;
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交 与另一点P，请找出抛物线上
所有满足到直线AB距离为
32
的点P．

.. . ...
. . word. .
解析过程及每步分值
解:（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：

△ABO∽△ACD， ∴
AOBO4
AD
?
CD
?
9
．
由已知
A(?4,0)
，
B(0,4)
可知：
AO?4,BO?4
．
∴
AD?CD?9
．∴C点坐标为
(5,9)
．
直线BC的解析是为：
y?4x?0
9?4
?
5?0

化简得：
y?x?4

?
4?c
（2）设抛物线解析式为
y?ax
2
?bx?c(a?0)
，由题意得：
?
?
9?25a?5b?c
?
?
b
2
?4ac?0
?
?
?
a
1
2
?
解得：
?
a
1< br>?1
?
25
?
b4
?
4
1
???
b
2
?
?
?
c
1
?4
?< br>5
?
?
c
2
?4

?
∴解得抛物线 解析式为
y
2
1
?x?4x?4
或
y
2
?
1
25
x
2
?
4
5
x?4
． < br>又∵
y
2
?
1
25
x
2
?
4
5
x?4
的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为
y?x
2
?4x?4

.. . ...
，
. . word. .
（准确画出函数
y?x?4x?4
图象）
（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，
故P点应在与直线A B平行，且相距
32
的上下两条平行直线
l
1
和
l
2
上．
由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为
32
．
如图，设
l
1
与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中
EF?h?32
，
?EBF??ABO?45
，
∴
BE?6
．∴可以求得直线
l
1
与y轴交点坐标为
(0,10)

同理可求得直线
l
2
与y轴交点坐标为
(0,?2)
∴两直线解析式
l
1
:y?x?10
；
l
2
: y?x?2
．
2
?
y?x
2
?4x?4
?
y?x
2
?4x?4
根据题意列出方程组： ⑴
?
；⑵
?

?
y?x?10
?
y?x? 2
∴解得：
?
?
x
1
?6
?
x
2
??1
?
x
3
?2
?
x
4
?3< br>；
?
；
?
；
?

?
y
1< br>?16
?
y
2
?9
?
y
3
?0?
y
4
?1
∴满足条件的点P有四个，它们分别是
P
2
(?1,9)
，
P
4
(3,1)
.

1< br>(6,16)
，
P
3
(2,0)
，
P
2【例6】如图，抛物线
L
1
:y??x?2x?3
交
x
轴于A、B两点，交
y
轴于M点.抛物线
L
1
向右平移2个单位后得 到抛物线
L
2
，
L
2
交
x
轴于C、D两点 .
（1）求抛物线
L
2
对应的函数表达式；
（2）抛物线
L
1
或
L
2
在
x
轴上方的部分是否存在点N，使 以A，C，M，N为顶点的四
边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线
L
1
上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P 关于原点的
对称点Q是否在抛物线
L
2
上，请说明理由.
.. . ...
. . word. .

解析过程及每步分值




【
例7】如图，在 矩形
ABCD
中，
AB?9
，
AD?33
，点
P< br>是边
BC
上的动点（点
，过点
P
作直线
PQ∥BD< br>，交
CD
边于
Q
点，再把
P
不与点
B
，点
C
重合）
.. . ...
. . word. .
△PQC
沿着动直线
PQ
对折，点
C
的对应点是
R
点，设
CP
的长度为
x< br>，
△PQR
与矩形
ABCD
重叠部分的面积为
y
．
（1）求
?CQP
的度数；
（2）当
x
取何值时，点R
落在矩形
ABCD
的
AB
边上？
（3）①求
y
与
x
之间的函数关系式；
②当
x
取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的
D
Q
C
P
A
R

B
A
（备用图1）
B
A
（备用图2）
B

D C
7
？
27
C D
.. . ...
. . word. .
解析过程及每步分值
解：（1）如图，四 边形
ABCD
是矩形，
?AB?CD，AD?BC
．
又
AB?9
，
AD?33
，
?C?90
，
?CD?9
，
BC?33
．
?tan?CDB?
BC3
?
，
??CDB?30
．
CD3
PQ∥BD
，
??CQP??CDB?30
．
（2）如图1，由轴对称的性质可知，
△RPQ≌△CPQ
，
D
Q
C
P
B
??RPQ??CPQ
，
RP?CP
．
A
由（1）知
?CQP?30
，
??RPQ??CPQ?60
，
R
（图1）
??RPB?60
，
?RP?2BP
．
CP?x
，
?PR?x
，
PB?33?x
．
在
△RPB
中，根据题意得：
2(33?x)?x
，
解这个方程得：
x?23
．
（3）①当点
R
在矩形
ABCD
的内部或
AB
边上时，
11
0?x≤23
，< br>S
△CPQ
??CP?CQ?x
22
3x?
3
2x
，
2
3
2
x

2
△RPQ≌△C PQ
，
?
当
0?x≤23
时，
y?
当
R< br>在矩形
ABCD
的外部时（如图2），
23?x?33
，
在
Rt△PFB
中，
?RPB?60
，
D
Q
C
P
B
?PF?2BP?2(33?x)
，
又
RP?CP?x
，
?RF?RP?PF?3x?63
，
A
E
F
R
（图2）
在
Rt△ERF
中，
.. . ...
. . word. .
?EFR??PFB?30
，
?ER?3x?6
．
?S
△ ERF
?
133
2
ER?FR?x?18x?183
，
22
y?S
△RPQ
?S
△ERF
，
?
当
23?x?33
时，
y??3x
2
?18x?183
．
?
3
2
x(0?x≤23)
?
综上所述，
y
与
x
之间的函数解析式是：
y?
?
2
．
??3x
2
?18x?183(23?x?33)
?
②矩形面积
? 9?33?273
，当
0?x≤23
时，函数
y?
增大，所以
y
的最大值是
63
，而矩形面积的
3
2
x
随自变 量的增大而
2
77
的值
??273?73
，
27277
而
73?63
，所以，当
0?x?23
时，
y
的值不可能是矩形面积的；
27
当
23?x?33
时，根据题意，得：
?3x
2
?18x?183?73
，解这个方程，得
x?33?2< br>，因为
33?2?33
，
所以
x?33?2
不合题意，舍去．
所以
x?33?2
．
综上所述，当
x?33?2
时，
△PQR
与矩形
ABCD< br>重叠部分的面积等于矩形面积的
7
．
27



.. . ...
. . word. .
第四章 兴趣练习
4.1 代数部分
1. 已知：抛物线
y?ax?bx ?c
与
x
轴交于
A
、
B
两点，与
y
轴交于点
C
． 其中点
A
在
x
轴的负半轴上，点
C
在
y
轴的负半轴上，线段
OA
、
OC
的长（OA
<
OC
）是方程
2
x
2
?5x?4?0< br>的两个根，且抛物线的对称轴是直线
x?1
．
（1）求
A
、
B
、
C
三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点
D
是线段
AB
上 的一个动点（与点
A
、
B
不重合），过点
D
作
DE
∥
BC
交
AC
于点
E
，连结
CD
，设
BD
的长为
m
，△
CDE
的面积为
S
，求
S
与
m
的函数关系式，
y
并写出自变量
m< br>的取值范围．
S
是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时
D
点坐 标；若不存在，请说明理由．

A
O
D
B
x
E









.. . ...
C
. . word. .
2. 已知，如图1，过点
E
?
0，?1
?
作平行于< br>x
轴的直线
l
，抛物线
y?
1
2
x
上的两点
A、B
的
4
横坐标分别为
?
1和4，直线
AB
交
y
轴于点
F
，过点
A、B
分别作直线
l
的垂线，垂足分
别为点
C
、
D
，连接
CF、D F
．
（1）求点
A、B、F
的坐标；
（2）求证：
CF?DF
；
（3）点
P
是抛物线
y?
1
2
x
对称轴右侧图象上的一动点，过点
P
作
PQ⊥PO
交
x
轴
4
于点
Q
，是否存在点
P
使得
△OPQ
与
△CDF
相似？若存在，请求出所有符合条件的点
P
的坐标；若不存在，请说明理由．













3. 已知矩形纸片
OABC
的长为4，宽为3，以长
OA
所在的直 线为
x
轴，
O
为坐标原点建
y
B
F
A
O
D
l
C
E
（图1）

x
F
O
C
E
备用图
D
x
y
.. . ...
. . word. .
立平面直角坐标系；点
P
是
OA
边上的动点（与点
O、A
不重合），现将
△POC
沿
PC
翻折
得到
△PEC
，再在
AB
边上选取适当的点
D，
将
△PAD
沿
PD
翻折，得到
△PFD
，使得
直线
PE、PF
重合．
（1）若点
E
落在
BC
边上，如图①，求点
P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函
数关系式；
（2）若点
E
落在矩形 纸片
OABC
的内部，如图②，设
OP?x，AD?y，
当
x
为何值时，
y
取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点
P、C、D< br>三点的抛物线上是否存在点
Q，
使
△PDQ
是以
PD
为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点
Q
的坐标．


E


O






4. 如图，已知抛物线
y?x?4x?3
交
x
轴于
A
、
B
两点，交
y
轴于点
C
，?抛 物线的对称
轴交
x
轴于点
E
，点
B
的坐标为（?1
，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点
A
的坐标；
（2 ）在平面直角坐标系
xoy
中是否存在点
P
，与
A、B、C
三点构成一个平行四边形？
若存在，请写出点
P
的坐标；若不存在，请说明理由；
.. . ...
2
y
C
E
y
B
C
F
B
F
D
D
P
图①
A
x
O
P
图②
A
x
. . word. .
（3）连结
CA
与抛物线的对称轴 交于点
D
，在抛物线上是否存在点
M
，使得直线
CM
把四边 形
DEOC
分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线
CM
的解析式；若不 存在，
请说明理由．










.. .
y


C
D
A
E
B
O
x

...


. . word. .
5. 如图①， 已知抛物线
y?ax
2
?bx?
3
（
a
≠0）与
x
轴交于点< br>A
（1，0）和点
B
（－3，
0），与
y
轴交于点< br>C
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与
x轴交于点
M
，问在对称轴上是否存在点
P
，使△
CMP
为等腰三
角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点
P
的坐标；若不存在，请说明理 由．
（3）如图②，若点
E
为第二象限抛物线上一动点，连接
BE
、
CE
，求四边形
BOCE
面积的
最大值，并求此时
E点的坐标．





图①






二、动态几何
6. 如图，在梯形
AB CD
中，
DC∥AB，?A?90°，AD?6
厘米，
DC?4
厘米 ，
BC
的
坡度
i?3
动点
P
从
A
出发以2厘米/秒的速度沿
AB
方向向点
B
运动，动点
Q
从 点
B
出
∶4，
发以3厘米/秒的速度沿
B?C?D
方向向点
D
运动，两个动点同时出发，当其中一个动
图②
B
M
y
C
y
C
O
A
x
B
O
A
x
.. . ...
. . word. .
点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为
t
秒．
（1）求边
BC
的长；
（2）当
t
为何值时，
PC
与
BQ
相互平分； < br>（3）连结
PQ，
设
△PBQ
的面积为
y，
探求y
与
t
的函数关系式，求
t
为何值时，
y
有最 大
值？最大值是多少？



Q









7. 已知：直线
y?
A
B
P

D
C
11
x?1
与
y
轴交于
A
，与
x
轴交于
D< br>，抛物线
y?x
2
?bx?c
与直线
22
交于
A
、
E
两点，与
x
轴交于
B
、
C
两点，且
B
点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 动点
P
在
x
轴上移动，当△
PAE
是直角三角形时，求点< br>P
的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点
M
，使
|AM ?MC|
的值最大，求出点
M
的坐标．
.. . ...
. . word. .


y
E
A





D
O
B C
x
8. 已知：抛物线
y?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
的对称轴为
x??1
与
x
轴交于
A，B
两点， 与
y
轴
，
交于点
C，
其中
A
?
? 3，

0
?
、
C
?
0，?2
?
．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点
P
，使 得
△PBC
的周长最小．请求出点
P
的坐标．
（3）若点
D
是线段
OC
上的一个动点（不与点
O
、点
C
重合 ）．过点
D
作
DE∥PC
交
x
轴于点
E．
连接
PD
、
PE
．设
CD
的长为
m
，△PDE
的面积为
S
．求
S
与
m
之间的函数< br>关系式．试说明
S
是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．









A
O
B
x
y
C
.. . ...
. . word. .



9. 如图1，已 知抛物线经过坐标原点
O
和
x
轴上另一点
E
，顶点
M
的坐标为
(2，4)
；矩形
ABCD
的顶点
A
与 点
O
重合，
AD、AB
分别在
x
轴、
y
轴 上，且
AD?2
，
AB?3
．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形
ABCD
以每秒1个 单位长度的速度从图1所示的位置沿
x
轴的正方向匀速平
行移动，同时一动点
P
也以相同的速度从点
A
出发向
B
匀速移动．设它们运动的时间为< br>t
秒
．．．．．
（
0≤t≤3
），直线
AB
与该抛物线的交点为
N
（如图2所示）．
①当
t?
5
时， 判断点
P
是否在直线
ME
上，并说明理由；
2
②设以P、N、C、D
为顶点的多边形面积为
S
，试问
S
是否存在最大 值？若存在，求出这
个最大值；若不存在，请说明理由．










D
O
(A)
图1
E
x
C
y
M
B
C
y
N
B
P
D
O
A
图2
E
x
M
.. . ...
. . word. .


10. 已知抛物线：
y
1
??
1
2
x
?
2x
．
2
（1）求抛物线
y
1
的顶点坐标．
（2）将抛物线y
1
向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线
y
2
，求抛物线
y
2
的解析式．
（3）如下图，抛物线
y
2< br>的顶点为
P
，
x
轴上有一动点
M
，在
y1
、
y
2
这两条抛物线上是
否存在点
N
，使< br>O
（原点）、
P
、
M
、
N
四点构成以
OP
为一边的平行四边形，若存在，
求出
N
点的坐标；若不存在，请说明理 由．
【提示：抛物线
y?ax?bx?c
（
a?0
）的对称轴是< br>x??
2
b
顶点坐标是
，
2a
?
b4ac? b
2
?
?
?，
?
】
4a
??
2a












y
5
4
3
2
1
P
y
2

y
1

5 6 7 8 9
x
?1

O
1 2 3 4
?1

?2

?3

?4

.. . ...
. . word. .
11. 如图，已知抛物线
C
1
：
y?a
?
x?< br>2
?
?
5
的顶点为
P
，与x轴相交于
A、
B
两点（点
A
2
在点
B
的左边），点
B
的横坐标是1．
（1）求
P
点坐标及
a
的值；（4分）
（2）如图（1） ，抛物线
C
2
与抛物线
C
1
关于
x
轴对称 ，将抛物线
C
2
向右平移，平移
后的抛物线记为
C
3
，
C
3
的顶点为
M
，当点
P
、
M
关于点
B
成中心对称时，求
C
3
的解析式；
（4分） < br>（3）如图（2），点
Q
是
x
轴正半轴上一点，将抛物线
C< br>1
绕点
Q
旋转180°后得到抛
物线
C
4
． 抛物线
C
4
的顶点为
N
，与
x
轴相交于
E
、
F
两点（点
E
在点
F
的左边），当以点
P
、
N
、
F
为顶点的三角形是直角三角形时，求点
Q
的坐标．（5分）


C
1

y
M
A
O
P
图1
B
x
C
1

y
N
A
O
P
图2
B
Q
E
F
x
C
2

C
3

C
4

.. . ...
. . word. .
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形
ABCD
的三个顶点
B(4，
抛
0)
、
C(8，0)
、
D(8，8)
．
物线
y?ax?bx
过
A、C
两点．
（1）直接写出点
A
的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点
P
从点
A
出发，沿线段
AB
向终点
B
运动，同时点
Q
从点
C
出发，沿线段
CD
向
终点
D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为
t
秒．过点
P
作
PE⊥AB
交
AC
于
点
E
．
①过点
E< br>作
EF⊥AD
于点
F
，交抛物线于点
G
．当
t
为何值时，线段
EG
最长？
②连接
EQ
．在点
P、Q
运动的过程中，判断有几个时刻使得
△CEQ
是等腰三角形？
请直接写出相应的
t
值．









13. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经 过点
M
（－2，
1
），且
P
（
1
，
－2）为双曲线上的一点，
Q
为坐标平面上一动点，
PA
垂直于
x
轴，
QB
垂直于
y
轴，垂足
分别是
A
、< br>B
．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
O
B
y
A F
G
P
E
Q
D
2
C
x
.. . ...
. . word. .
（2）当点
Q
在直线
MO
上运动时，直线
MO
上是否存在这样的点
Q
，使得△
OBQ
与△
OAP
面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； < br>（3）如图2，当点
Q
在第一象限中的双曲线上运动时，作以
OP、OQ
为邻边的平行四边
形
OPCQ
，求平行四边形
OPCQ
周长的最小 值．

y


B
Q

A
O
x

M


P
图1









y


B
Q
A
O
.. .
x

M
C
...
??
??